👍 0 👎 |
Олимпиадная задачкаДлины диагоналей ромба a и b – целые числа. В ромб вписан квадрат с длиной
стороны q = 2001. Найдите a и b. Сколько имеется таких ромбов разной формы?
олимпиады по математике математика обучение
Альберт
|
👍 +1 👎 |
Если задачу понимать буквально, то придется рассматривать все варианты вписанности, что немного усложнит решение, добавив туда геометрии.
Если быть реалистом и предположить ошибку авторов, то есть то, что они рассматривают только такую вписанность, когда стороны квадрата параллельны диагоналям ромба — все еще проще, останется простенькое диофантово уравнение и никакой геометрии. |
👍 +2 👎 |
Тогда стоит ввести новое понятие — реалист )
|
👍 0 👎 |
А как это уравнение получить?
|
👍 +1 👎 |
Взять да и выразить длину стороны вписанного квадрата через длины a и b диагоналей ромба, и подставить в это уравнение 2001
|
👍 +1 👎 |
Нетрудно показать, что квадрат в ромб вписывается однозначно.
И найти число целых решений уравнения 2001(a + b) = ab. |
👍 0 👎 |
Если не трудно показать, то покажите, пожалуйста! По всему интернету ищу, как доказать, что если квадрат вписан в ромб, то его стороны(квадрата) параллельны диагоналям ромба. Самой не получается.
|
👍 0 👎 |
Ну вообще-то это верно в случае, если ромб не является квадратом.
Теперь набросок доказательства. Вписанность понимаем в том смысле, что каждая вершина квадрата лежит на своей стороне ромба. Рассмотрим более общий случай, когда квадрат вписан в параллелограмм. Пусть [m]\alpha[/m] и [m]\beta[/m] — углы между горизонтальными сторонами квадрата и сторонами параллелограмма, тогда углы между вертикальными сторонами квадрата и сторонами параллелограмма равны [m]\frac {\pi}2 — \alpha[/m] и [m]\frac {\pi}2 — \beta[/m], а углы при вершинах параллелограмма равны [m] {\pi} — \alpha — \beta[/m] и [m] \alpha + \beta[/m] Согласно теореме синусов, стороны параллелограмма равны [m] a \frac{\sin \beta}{\sin \left({\pi} — \alpha — \beta \right)} + a \frac{\sin \left( \frac{\pi}2 — \beta \right)}{\sin \left( \alpha + \beta \right)} = a \frac {\sin \beta + \cos \beta}{\sin \left( \alpha + \beta \right)} [/m] и [m] a \frac{\sin \alpha}{\sin \left({\pi} — \alpha — \beta \right)} + a \frac{\sin \left( \frac{\pi}2 — \alpha \right)}{\sin \left( \alpha + \beta \right)} = a \frac {\sin \alpha + \cos \alpha}{\sin \left( \alpha + \beta \right)} [/m] ([m]a[/m] — сторона квадрата). Поэтому параллелограмм является ромбом в случае, когда [m] \sin \beta + \cos \beta = \sin \alpha + \cos \alpha[/m] Это равенство справедливо либо в случае [m]\beta = \alpha[/m] (стороны квадрата параллельны диагоналям ромба), либо в случае [m]\beta =\frac {\pi}2 — \alpha[/m] (описанный ромб сам является квадратом) Способ, что называется, лобовой. Наверняка есть и более изящные подходы. |
👍 0 👎 |
И вот что занятно: если мы будем в ромб вписывать не квадрат, а прямоугольник, то тем же путём придём к уравнению
[m] a \sin \beta + b \cos \beta = a \sin \alpha + b \cos \alpha [/m] ([m]a,b[/m] — стороны прямоугольника). И если зафиксировать [m]\alpha[/m], то это уравнение, наряду с очевидным [m]\beta=\alpha [/m], имеет и другое решение (за исключением значения [m]\alpha[/m], при котором правая часть имеет максимум). Выходит, что прямоугольник в ромб можно вписать как "прямо" (стороны параллельны диагоналям ромба), так и "косо" — не говоря уж о том, что возможен вариант вписанности, когда одна из пар противоположных сторон прямоугольника лежит на противоположных сторонах робма. |
👍 0 👎 |
Если квадрат касается ромба вершинами, то а ( 2001, бесконечность), b ( бесконечность, 2001), а если квадрат вписан сторонами, то он совпадает с ромбом , тогда а и b диагонали квадрата.
|
👍 0 👎 |
На #7.
Какие ещё "бесконечности", Владимир Александрович?! Вот пара вариантов: a = b = 4002; a = 4006002, b = 2002. (Естественно, далеко не все.) В 1-м случае, кстати, ромб становится квадратом. И никакого "вписывания сторонами". |
👍 +1 👎 |
Помогите решить олимпиадную задачу для 4 го класса
|
👍 +2 👎 |
Раскраска сеток
|
👍 +1 👎 |
Олимпиадная задача 6 класс
|
👍 +3 👎 |
Задачка с районной олимпиады
|
👍 0 👎 |
Уравнения в целых числах
|
👍 +1 👎 |
Корректно ли поставка олимпиадной задачи??
|