Олимпиадная задачка

Длины диагоналей ромба a и b – целые числа. В ромб вписан квадрат с длиной
стороны q = 2001. Найдите a и b. Сколько имеется таких ромбов разной формы?

Если задачу понимать буквально, то придется рассматривать все варианты вписанности, что немного усложнит решение, добавив туда геометрии.

Если быть реалистом и предположить ошибку авторов, то есть то, что они рассматривают только такую вписанность, когда стороны квадрата параллельны диагоналям ромба — все еще проще, останется простенькое диофантово уравнение и никакой геометрии.

Тогда стоит ввести новое понятие — реалист )

А как это уравнение получить?

Взять да и выразить длину стороны вписанного квадрата через длины a и b диагоналей ромба, и подставить в это уравнение 2001 :)

Нетрудно показать, что квадрат в ромб вписывается однозначно.
И найти число целых решений уравнения
2001(a + b) = ab.

Если не трудно показать, то покажите, пожалуйста! По всему интернету ищу, как доказать, что если квадрат вписан в ромб, то его стороны(квадрата) параллельны диагоналям ромба. Самой не получается.

Ну вообще-то это верно в случае, если ромб не является квадратом.
Теперь набросок доказательства. Вписанность понимаем в том смысле, что каждая вершина квадрата лежит на своей стороне ромба.
Рассмотрим более общий случай, когда квадрат вписан в параллелограмм. Пусть [m]\alpha[/m] и [m]\beta[/m] — углы между горизонтальными сторонами квадрата и сторонами параллелограмма, тогда углы между вертикальными сторонами квадрата и сторонами параллелограмма равны [m]\frac {\pi}2 — \alpha[/m] и [m]\frac {\pi}2 — \beta[/m], а углы при вершинах параллелограмма равны [m] {\pi} — \alpha — \beta[/m] и [m] \alpha + \beta[/m]
Согласно теореме синусов, стороны параллелограмма равны

[m] a \frac{\sin \beta}{\sin \left({\pi} — \alpha — \beta \right)} + a \frac{\sin \left( \frac{\pi}2 — \beta \right)}{\sin \left( \alpha + \beta \right)} = a \frac {\sin \beta + \cos \beta}{\sin \left( \alpha + \beta \right)} [/m]
и
[m] a \frac{\sin \alpha}{\sin \left({\pi} — \alpha — \beta \right)} + a \frac{\sin \left( \frac{\pi}2 — \alpha \right)}{\sin \left( \alpha + \beta \right)} = a \frac {\sin \alpha + \cos \alpha}{\sin \left( \alpha + \beta \right)} [/m]

([m]a[/m] — сторона квадрата). Поэтому параллелограмм является ромбом в случае, когда [m] \sin \beta + \cos \beta = \sin \alpha + \cos \alpha[/m]
Это равенство справедливо либо в случае [m]\beta = \alpha[/m] (стороны квадрата параллельны диагоналям ромба), либо в случае [m]\beta =\frac {\pi}2 — \alpha[/m] (описанный ромб сам является квадратом)
Способ, что называется, лобовой. Наверняка есть и более изящные подходы.

И вот что занятно: если мы будем в ромб вписывать не квадрат, а прямоугольник, то тем же путём придём к уравнению
[m] a \sin \beta + b \cos \beta = a \sin \alpha + b \cos \alpha [/m]
([m]a,b[/m] — стороны прямоугольника). И если зафиксировать [m]\alpha[/m], то это уравнение, наряду с очевидным [m]\beta=\alpha [/m], имеет и другое решение (за исключением значения [m]\alpha[/m], при котором правая часть имеет максимум). Выходит, что прямоугольник в ромб можно вписать как "прямо" (стороны параллельны диагоналям ромба), так и "косо" — не говоря уж о том, что возможен вариант вписанности, когда одна из пар противоположных сторон прямоугольника лежит на противоположных сторонах робма.

Если квадрат касается ромба вершинами, то а ( 2001, бесконечность), b ( бесконечность, 2001), а если квадрат вписан сторонами, то он совпадает с ромбом , тогда а и b диагонали квадрата.

Что за бред ?

На #7.
Какие ещё "бесконечности", Владимир Александрович?! Вот пара вариантов:
a = b = 4002;
a = 4006002, b = 2002.
(Естественно, далеко не все.) В 1-м случае, кстати, ромб становится квадратом. И никакого "вписывания сторонами".

Квадрат площадью 25 см в кв. разрезали на два прямоугольника. Периметр первого равен 12 см. Найдите площадь второго прямоугольника.

В школе олимпиада 8 класс. Задачи про раскраску сеток. Учительница ничего не объясняет.
Покажите на каком-либо примере принципы решения таких задач. Там вопросы типа.Какое наименьшее число квадратов покрасить, чтобы вся сетка оказалась покрашенной?

При пилке бревен на чурбаки было сделано 52 распила, в результате напилили 72 чурбака. Сколько было брёвен и сколько распилов делали на каждом бревне.
Я сделала, но.... хочется увидеть профессиональное решение.

Почитал и решил предложить новые вопросы.
Сколькими способами можно из ящика, в котором ничего нет, вытащить ничего.
Решить уравнение х^х =1 и х!=1.
Решить в целых числах х!=у^2 — олимпиадная задача для 8-го класса.

Объясните, пожалуйста, корректно ли условие задачи:

Дано, что сумма кубов двух чисел равна их разности.
Доказать, что сумма их квадратов меньше 1.

Вроде, очевидно, что лажа в условии.

Взято отсюда http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=2021
Там тоже выясняют корректность условия.

Может быть так надо:

Доказать, что найдутся два таких числа x,y>0 (или x,y<0) с суммой кубов, равной их разности, что с их сумма квадратов будет меньше единицы.