СПРОСИ ПРОФИ
👍
+1
👎 15

Корректно ли поставка олимпиадной задачи??

Объясните, пожалуйста, корректно ли условие задачи:

Дано, что сумма кубов двух чисел равна их разности.
Доказать, что сумма их квадратов меньше 1.

Вроде, очевидно, что лажа в условии.

Взято отсюда http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=2021
Там тоже выясняют корректность условия.

Может быть так надо:

Доказать, что найдутся два таких числа x,y>0 (или x,y<0) с суммой кубов, равной их разности, что с их сумма квадратов будет меньше единицы.
олимпиады по математике математика обучение     #1   21 ноя 2010 17:42   Увидели: 11 клиентов, 1 специалист   Ответить
👍
0
👎 0
Или так?

Доказать, что сумма квадратов меньше 1 всех таких чисел x,y>0 (или x,y<0), сумма кубов которых равна их разности.
  #2   21 ноя 2010 17:46   Ответить
👍
+2
👎 2
, то получаем [m]x^3-1000=x+10[/m],
или [m]x^3-x-1010=0[/m].
Кубическое уравнение имеет по крайней мере один вещественный корень,
но при этом будет [m]x^2+y^2>1[/m].

Если [m]x=-10[/m], то получаем [m]-1000+y^3=-10-y[/m],
или [m]y^3+y-990=0[/m].
Опять кубическое уравнение, опять имеется вещественный корень,
и при этом опять [m]x^2+y^2>1[/m].

Поэтому и в самом деле, разумно доказывать неравенство
[m]x^2+y^2<1[/m] в предположении, что [m]x>0[/m] и [m]y>0[/m].

Предлагаю сделать замену [m]x=a\cos t[/m], [m]y=a\sin t[/m],
где [m]a>0[/m], [m]0<t<\pi/2[/m].
Тогда доказать нам нужно, что [m]a<1[/m], при условии, что
[m](a\cos t)^3 + (a\sin t)^3 = a\cos t — a\sin t[/m].

Выполняем преобразования:
[m]a^3\cos^3 t + a^3\sin^3 t = a(\cos t — \sin t)[/m],
[m]a^3(\cos^3 t + \sin^3 t) = a(\cos t — \sin t)[/m],
[m]a^2(\cos^3 t + \sin^3 t) = \cos t — \sin t[/m],
[m]a^2(\cos t + \sin t)(\cos^2 t — \cos t\sin t + \sin^2 t) = \cos t — \sin t[/m],
[m]a^2(\cos t + \sin t)(1 — \cos t\sin t) = \cos t — \sin t[/m],
Если мы докажем, что
[m](\cos t + \sin t)(1 — \cos t\sin t) > \cos t — \sin t[/m],
то из этого и будет следовать, что [m]a<1[/m].
Доказываем, выполняя преобразования:
[m]\cos t + \sin t — \cos^2 t\sin t — \cos t\sin^2 t > \cos t — \sin t[/m],
[m]2\sin t > \cos^2 t\sin t + \cos t\sin^2 t[/m],
[m]2> \cos^2 t + \cos t\sin t[/m],
и последнее неравенство очевидно, так как в правой части стоит сумма
двух слагаемых, каждое из которых меньше единицы.
👍
0
👎 0
В первой строке должно было быть написано:
Пусть [m]x^3+y^3=x-y[/m].

Вопрос на засыпку в самом конце:
где мы здесь использовали, что [m]0<t<\pi/2[/m]?
👍
+1
👎 1
При замене, т.к. x>0,y>0.

Если [m]0<t<\frac{\pi}{2}[/m], то [m]\sin{t}>0[/m] и [m]\cos{t}>0[/m].
  #5   22 ноя 2010 18:27   Ответить
👍
0
👎 0
Правильно, но потом, когда из предположения, что
[m](a\cos t)^3 + (a\sin t)^3 = a\cos t — a\sin t[/m]
мы выводим в качестве следствия, что [m]a<1[/m], то в
длинной цепочке преобразований мы в двух местах этим пользуемся.

Задайте свой вопрос по математике
профессионалам

Сейчас онлайн 75 репетиторов по математике
Получите ответ профи быстро и бесплатно

Другие вопросы на эту тему:

👍
0
👎 011

Олимпиадная задачка   11 ответов

Длины диагоналей ромба a и b – целые числа. В ромб вписан квадрат с длиной
стороны q = 2001. Найдите a и b. Сколько имеется таких ромбов разной формы?
  18 дек 2015 12:42  
👍
0
👎 04

Математика, олимпиада 8 класс   4 ответа

Здравствуйте! Ничего не смогла придумать во второй задаче.
В пятой мне кажется, сто СМ равно половине диагонали, но доказать не могу.
  05 дек 2016 10:59  
👍
+2
👎 232

Раскраска сеток   32 ответа

В школе олимпиада 8 класс. Задачи про раскраску сеток. Учительница ничего не объясняет.
Покажите на каком-либо примере принципы решения таких задач. Там вопросы типа.Какое наименьшее число квадратов покрасить, чтобы вся сетка оказалась покрашенной?
  25 окт 2016 13:05  
👍
0
👎 09

Задача олимпиады Ломоносов   9 ответов

В задании олимпиады Ломоносов есть такая задача.
Равнобедренный треугольник с углом 120 сложен ровно из трёх
слоёв бумаги. Треугольник развернули — и получился прямоугольник.
Нарисуйте такой прямоугольник и покажите пунктиром линии сгиба.
Я не понимаю однозначно условие задачи.. Например, три слоя по всей площади треугольника или может быть не по всей. Мои знакомые тоже не понимают. Поясните.
  08 окт 2012 16:42  
👍
0
👎 07

1001 олимпиадная и занимательная задачи по математике Раздел 1 Условия задач 5 класс   7 ответов

Можно ли число 2007 представить в виде суммы нескольких натуральных чисел так, чтобы произведение всех этих чисел тоже было равно 2007?
ASK.PROFI.RU © 2020-2022