Боравлев Юрий Анатольевич

Ответ на «Геометрия. Дан треугольник ABC в котором угол C= 40 и угол A=80»

А можно было сразу заметить, что треугольник BAP — равнобедренный
(так как углы при основании равны).
Но тогда и треугольник PAQ тоже равнобедренный,
и у него тоже углы при основании равны: x = y+50 = (180-20)/2 = 80.

Ответ на «Геометрия. Дан треугольник ABC в котором угол C= 40 и угол A=80»

Кажется, я сообразил, какое можно сделать упрощение:
2 (cos 10) = 2 cos (60-50) = 2 (cos 60)(cos 50) + 2 (sin 60)(sin 50) =
= cos 50 + sqrt(3)(sin 50);
tg y = (sin 50) / ( sqrt(3)(sin 50) ) = 1/sqrt(3);
y = 30;
x = 180 — 70 — 30 = 80.

Ответ на «Геометрия. Дан треугольник ABC в котором угол C= 40 и угол A=80»

Я начал расставлять на рисунке величины углов (в градусах),
руководствуясь простыми соображениями:
сумма смежных углов должна составлять 180 градусов,
сумма углов любого треугольника 180 градусов,
вертикальные углы равны,
внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних,
которые с ним не смежны.
Сначала расстановка величин углов движется быстро,
но в некоторый момент простые соображения перестают помогать.
Нужно применять нечто более серьёзное, вроде теоремы синусов.
Искомый угол AQP я обозначил буквой x.
Угол BPQ я обозначил буквой y.
Из рисунка видно, что в треугольнике ABQ все углы по 60 градусов.
Значит, треугольник ABQ — равносторонний. Это должно помочь.
Например, AQ=BQ.
По теореме синусов для треугольника BQP: BQ/QP = (sin y)/(sin 10).
По теореме синусов для треугольника AQP: AQ/QP = (sin (y+50))/(sin 20).
(Всюду подразумеваются градусы. Кружочки я не пишу.
Не подумайте, что у меня радианы.)
Но так как AQ=BQ, можно написать уравнение для нахождения y:
(sin y)/(sin 10) = (sin (y+50))/(sin 20).
Попробуем его упростить, для начала воспользовавшись формулой
sin 20 = 2(sin 10)(cos 10).
Тогда 2(sin y)(cos 10) = (sin (y+50)).
Воспользуемся формулой для синуса суммы:
2(sin y)(cos 10) = (sin y)(cos 50) + (cos y)(sin 50),
(sin y)(2(cos 10)-(cos 50)) = (cos y)(sin 50).
tg y = (sin 50) / (2(cos 10)-(cos 50)).
Можно ли дальше упрощать выражение для tg y ? Я так сразу не вижу.
Но формально можно уже написать:
y = arctg ( (sin 50) / (2(cos 10)-(cos 50)) ),
x = 180 — 70 — y,
x = 110 — arctg ( (sin 50) / (2(cos 10)-(cos 50)) ).
Годится ли такой ответ?

Ответ на «Я никак не могу решить, помогите пожалуйста»

Вы не поняли подсказку Николая Алексеевича.
Он задавал теоретические вопросы, а не уточнял у Вас,
что именно дано, а что не дано в условии задачи.
Хотел подтолкнуть Вас к самостоятельному решению задачи.
Но я думаю, что в данной ситуации будет проще
не мучить Вас вопросами, а показать решение:

В треугольнике ABC провели биссектрису BL.
Чтобы доказать, что AB > AL, достаточно доказать,
что угол ALB больше угла ABL
(так как в любом треугольнике, в том числе и в треугольнике ABL,
напротив большего угла лежит большая сторона).
Но угол ALB — это внешний угол треугольника BLC и он равен сумме
двух внутренних углов треугольника BLC, не смежных с ним.
А один из этих внутренних углов как раз равен углу ABL.

Ответ на «Доказать утверждение»

Вторая часть доказательства. ДОСТАТОЧНОСТЬ.
Нужно доказать, что ЛЮБЫЕ диагональные матрицы A и D перестановочны (AD=DA).

Для матриц размера 3х3 — это очень просто.
В общем виде две произвольные диагональные матрицы
размера 3х3 записываются так:

Матрица A

 
a   0   0 
0   b   0 
0   0   c 

Матрица D

 
d   0   0 
0   e   0 
0   0   f 

Вычисляем их произведение AD:

 
ad  0  0 
0  be  0 
0   0 cf 

Вычисляем их произведение DA:

 
da  0  0 
0  eb  0 
0   0 fc 

Убеждаемся в том, что AD=DA
(перестановочность диагональных матриц следует из перестановочности
обычного умножения чисел: ad=da, be=eb, cf=fc).

Точно так же доказывается перестановочность любых диагональных
матриц размера 2х2, 4х4, 5х5, . . .

Но у нас нет физической возможности до бесконечности выписывать
и перемножать матрицы всех возможных размеров.

Требуется общее рассуждение, доказывающее сразу для любого n,
что любые диагональные матрицы размера n x n перестановочны.

Ответ на «Доказать утверждение»

Да, Вы правы.
Для доказательства необходимости нужно для КАЖДОЙ недиагональной
матрицы A построить диагональную матрицу D, не коммутирующую с A.
Одного примера матрицы A недостаточно.
Спасибо за справедливое замечание.
Приношу свои извинения читателям форума за грубые ошибки,
допущенные мною в #4, #7, #8.

Ответ на «Доказать утверждение»

Как я понял, в #2 была попытка изобразить следующие матрицы:

 
Матрица A 
3 -1 -1 
2  0  1 
1  1  1 

Матрица D 
1  0  0 
0  0  0 
0  0  3 

Их произведение AD 
3  0 -3 
2  0  3 
1  0  3 

Произведение AD матриц A и D найдено правильно.
И правильно указано, что матрица DA не будет равна матрице AD.
Таким образом, это можно считать ПЕРВОЙ ЧАСТЬЮ доказательства
утверждения (НЕОБХОДИМОСТЬ) для n=3. (Но не для любого n.)

Если Вы перемножите две диагональные матрицы (как предлагают в #6),
то получите диагональную матрицу. Это хорошее упражнение.
Но это не будет являться ВТОРОЙ ЧАСТЬЮ доказательства (ДОСТАТОЧНОСТЬ),
так как доказывать, что так будет всегда, нужно в общем виде с помощью
рассуждения, а не на примере.

Ответ на «Доказать утверждение»

Небольшое уточнение.
В #4 я предполагаю, что мы заранее зафиксировали размер матриц, например, 3x3.
И это же как бы подразумевается и в старт-посте.
Но строго говоря, утверждение старт-поста должно формулироваться так:

Пусть n — произвольное натуральное число.
Для того, чтобы квадратная матрица А размера n x n была перестановочна
со всеми диагональными матрицами размера n x n, необходимо и достаточно,
чтобы матрица А сама была диагональна.

Если мы зафиксировали n, например, n=3, то в ПЕРВОЙ ЧАСТИ доказательства
(НЕОБХОДИМОСТЬ) можно привести один какой-нибудь пример двух матриц A и D
размера 3x3 таких, что D — диагональная, A — не диагональная,
и матрицы A и D не перестановочны (AD не равно DA).

Но если мы не зафиксировали n, то одного примера не достаточно.
Необходимо некоторое рассуждение, показывающее, что при любом n
такой пример существует.

Ответ на «найти условие»

Введём обозначение для функции: y = x^5+a*x^3+b.
Производная этой функции должна обращаться в ноль в точке,
являющейся двойным корнем многочлена x^5+a*x^3+b.

Ответ на «Доказать утверждение»

В формулировке утверждения присутствуют слова "необходимо и достаточно".
Это означает, что Ваше доказательство должно состоять из двух частей:

Часть первая. НЕОБХОДИМОСТЬ.
Вы должны привести пример двух матриц A и D таких, что D — диагональная,
A — не диагональная, и матрицы A и D не перестановочны (AD не равно DA).

Часть вторая. ДОСТАТОЧНОСТЬ.
Здесь уже примерами не обойтись. Требуется рассуждение.
Нужно доказать, что ЛЮБЫЕ диагональные матрицы A и D перестановочны (AD=DA).