Геометрия. Дан треугольник ABC в котором угол C= 40 и угол A=80

Помогите пожалуйста разобраться с задачей до вечера .

Дан треугольник ABC в котором угол C= 40 и угол A=80 . Точка P на стороне AC и точка Q на стороне BC таковы, что угол PBC=10 и угол QAC=20. найдите угол AQP

я пыталась брать за x но в уравнении ни сокращаются и не получается а других догадок нет .

Я начал расставлять на рисунке величины углов (в градусах),
руководствуясь простыми соображениями:
сумма смежных углов должна составлять 180 градусов,
сумма углов любого треугольника 180 градусов,
вертикальные углы равны,
внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних,
которые с ним не смежны.
Сначала расстановка величин углов движется быстро,
но в некоторый момент простые соображения перестают помогать.
Нужно применять нечто более серьёзное, вроде теоремы синусов.
Искомый угол AQP я обозначил буквой x.
Угол BPQ я обозначил буквой y.
Из рисунка видно, что в треугольнике ABQ все углы по 60 градусов.
Значит, треугольник ABQ — равносторонний. Это должно помочь.
Например, AQ=BQ.
По теореме синусов для треугольника BQP: BQ/QP = (sin y)/(sin 10).
По теореме синусов для треугольника AQP: AQ/QP = (sin (y+50))/(sin 20).
(Всюду подразумеваются градусы. Кружочки я не пишу.
Не подумайте, что у меня радианы.)
Но так как AQ=BQ, можно написать уравнение для нахождения y:
(sin y)/(sin 10) = (sin (y+50))/(sin 20).
Попробуем его упростить, для начала воспользовавшись формулой
sin 20 = 2(sin 10)(cos 10).
Тогда 2(sin y)(cos 10) = (sin (y+50)).
Воспользуемся формулой для синуса суммы:
2(sin y)(cos 10) = (sin y)(cos 50) + (cos y)(sin 50),
(sin y)(2(cos 10)-(cos 50)) = (cos y)(sin 50).
tg y = (sin 50) / (2(cos 10)-(cos 50)).
Можно ли дальше упрощать выражение для tg y ? Я так сразу не вижу.
Но формально можно уже написать:
y = arctg ( (sin 50) / (2(cos 10)-(cos 50)) ),
x = 180 — 70 — y,
x = 110 — arctg ( (sin 50) / (2(cos 10)-(cos 50)) ).
Годится ли такой ответ?

Кажется, я сообразил, какое можно сделать упрощение:
2 (cos 10) = 2 cos (60-50) = 2 (cos 60)(cos 50) + 2 (sin 60)(sin 50) =
= cos 50 + sqrt(3)(sin 50);
tg y = (sin 50) / ( sqrt(3)(sin 50) ) = 1/sqrt(3);
y = 30;
x = 180 — 70 — 30 = 80.

А можно было сразу заметить, что треугольник BAP — равнобедренный
(так как углы при основании равны).
Но тогда и треугольник PAQ тоже равнобедренный,
и у него тоже углы при основании равны: x = y+50 = (180-20)/2 = 80.