Планиметрия, 9 класс

Всем привет, второй день бьюсь над этой задчей, очень надеюсь на вашу помощь :) А вот и сама задача:
"Точка A1 лежит на стороне BC, точка B1 лежит на стороне AC треугольника ABC, прямые AA1 и BB1 пересекаются в точке O.Известно, что BO:OB1=3:1 и AO:OA1 =5:2. Найти отношение BA1 : A1C; AB1 : B1C и определить в каком отношении прямая CO делит сторону AB."
На ум приходит только теорема Менелая и Чевы, так как подобием треугольников там и не пахло. Но из семи полученных уравнений, естественно, у меня ничего путного не вышло.
Может, у вас есть какие-то идеи? Спасибо.

Система из 2 уравнений: 1) теорема Менелая для треугольника AA1C; 2) теорема Менелая для треугольника BB1C.

Но ведь в полученной системе всё равно осталось четыре неизвестных соотношения, а про отношение[извиняюсь за тавтологию], в котором прямая CO делит сторону AB, нет ни слова из полученных 2х уравнений... ><
Подскажите чуть-чуть, пожалуйста, я в тупике

Переменных всего 2. Обозначьте B1C:B1A=x, A1C:A1B=y.
Вторая часть задачи решается просто после решения первой.

Можно (возможно и нужно) обойтись вовсе без уравнений.

Задача афинно-эквивалентная, в том смысле, что ответ зависит только от отношений и не зависит от конкретного треугольника. Так что можно взять любой удобный треугольник с таким пересечением чевиан и просто посчитать нужные отрезки.

Можно, например, сделать одну из чевиан высотой, причем образующей пифагоров треугольник. Или можно сделать чевианы перпендикулярными конкретной удобной длины. Возможно есть и более удобные варианты, где ответ сразу виден без счета.

А если совсем просто — надо использовать "геометрию масс". Нагрузите точки A,B и C массами 8,7,13, тогда О — центр тяжести треугольника ABC, а A1,B1,C1 — центры тяжести отдельных сторон. Откуда сразу находится ответ.

Чтобы найти нагрузку (8:7:13) — придется решить единственное линейное уравнение.

Пытаясь найти простое решение предложенной задачи,
я стал возиться со всякими формулами,
решать всевозможные системы уравнений
и в конце концов "открыл" "новую" геометрическую теорему.
Как известно, медианы точкой пересечения
делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
А если считать от стороны и делить маленький отрезок медианы
не на оставшуюся часть, а на всю медиану, то получим 1/3.
А если эти числа просуммировать по всем трём медианам,
то получим 1/3 + 1/3 + 1/3 = 1.
Так вот, оказывается, если вместо точки пересечения медиан взять
произвольную точку и через неё провести три чевианы и составить
сумму соответствующих трёх чисел, то всё равно получится 1.
Я был поражён.
Неужели мне удалось открыть новую геометрическую теорему?

Опять же из геометрии масс это совершенно тривиальное утверждение. Действительно, поставьте в каждую вершину массы так, чтобы центр масс оказался в вашей точке.
Тогда ваши отношения это просто отношение одной из масс к сумме всех трех. Естественно, что сумма таких чисел равна 1.

Но потом я сообразил, что ведь эти три числа —
не что иное, как барицентрические координаты точки.
А барицентрическим координатам полагается в сумме давать 1.

Для тех, кто не знает, объясню, что такое барицентрические координаты.
Возьмём произвольную точку P вне плоскости треугольника ABC.
Векторы PA, PB, PC образуют базис в трёхмерном пространстве.
Для любой точки D плоскости ABC вектор PD является линейной
комбинацией базисных векторов, коэффициенты этой линейной
комбинации — это и есть барицентрические координаты точки D.

Например, барицентрические координаты вершин треугольника ABC:
(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1).
Барицентрические координаты точки пересечения медиан: (1/3, 1/3, 1/3).

Теперь переходим к решению задачи старт-поста.
Никаких уравнений составлять и решать не нужно.
Две барицентрические координаты точки O находим сразу:
OA1:AA1 = 2/(5+2) = 2/7,
OB1:BB1 = 1/(3+1) = 1/4.
Затем находим третью координату:
OC1:CC1 = 1 — 2/7 — 1/4 = 13/28.

Итак, барицентрические координаты точки O: (2/7, 1/4, 13/28).
Или, если угодно: (8/28, 7/28, 13/28).

Барицентрические координаты точки A1: (0, 7/28, 13/28) — но это если
не заботиться о нормировке, а только о пропорциональности,
как предлагают некоторые авторы.
Если же пронормировать, чтобы сумма равнялась 1, то
барицентрические координаты точки A1: (0, 7/20, 13/20).
Но в любом случае сразу видно, что
BA1/A1C = 13/7.
И аналогично:
AB1/B1C = 13/8,
BC1/C1A = 8/7.

Я очень благодарен автору старт-поста,
которая подтолкнула меня к тому, чтобы я для себя прояснил эти вещи.

В трапеции ABCD отношение длин оснований AD и BC равно 3. Диагонали трапеции пересекаются в точке O, площадь треугольника AOB равна 6. Найдите площадь трапеции.

Знаю, что треугольники, образованные диагоналями и боковыми сторонами, равновеликие. Т.е. Площадь AOBравна площади COD. И площади треугольников AOD и BOC относятся как 3^2, т.е. 9. Как из этих данных вывести решение, не знаю.

3
Через кінець A відрізка AB проведено площину. Через кінець B і точку C, що належить цьому відрізку, проведено паралельні прямі, які перетинають площину в точках B1 і C1 . Знайдіть довжину відрізка BB1 , якщо CC1 = 15 см, AC:BC = 2:3 .

 Точка C — середина відрізка AB, який не перетинає площину b. Через точки A, B і C проведено паралельні прямі, які перетинають площину b у точках A1, B1 і C1 відповідно. Знайдіть відрізок AA1, якщо BB1 = 18 см, CC1 = 15 см.

Задача
На сторонах треугольника АВ, ВС и АС треугольника АВС взяты точки K, L, M. Причем AK:KB=2:3; BL:LC=1:2; CM:MA=3:1.
В каком отношении отрезок KL делит отрезок BM?

Пытаюсь составить векторные уравнения, но не получается.

ДАна прямоугольная трапеция ABCD, у которой боковая сторона АВ перпендикулярна основаниям. В трапецию вписана окружность. М — точка пересечения диагоналей. Найти радиус окружности, если площадь треугльника CMD равна S

Знаю про то, что суммы противоположных сторон равны, и знаю ответ — корень из S. Но ничего дельного в голову не приходит