Планиметрия, и непросто

ДАна прямоугольная трапеция ABCD, у которой боковая сторона АВ перпендикулярна основаниям. В трапецию вписана окружность. М — точка пересечения диагоналей. Найти радиус окружности, если площадь треугльника CMD равна S

Знаю про то, что суммы противоположных сторон равны, и знаю ответ — корень из S. Но ничего дельного в голову не приходит

Ответ можно было и не сообщать. Есть не совсем честный способ — "угадайка", когда фигура условиями задачи определяется не однозначно, но раз требуют ответ, значит, он не зависит от фигуры. У нас можно играть положением наклонной боковой стороны, в частности, ответ (предположительно) останется справедливым, если трапеция выродится в квадрат, а уж отсюда найти [m]S=R^2[/m] несложно.
Способ становится честным, если доказать, что при изменении фигуры величина S не изменится (но мы так поступать не будем).

Вот начало честного решения. Проведите отрезок KMN через точку M параллельно основаниям (K лежит на AB, N — на CD). Пусть h=2R — высота трапеции. Полезно знать (или уметь доказать), что:
1) KM=MN (будем обозначать каждый из них за x);
2) [m]S_{CMD}=0,5 hx.[/m]
Затем, приняв AD=a, BC=b, CD=c, из подобия некоторых треугольников выразите x через a и b. (*)
Потом запишите в виде системы уравнений относительно a, b, c, h — общие свойства прямоугольной трапеции, плюс "то, про что Вы знаете", откуда выразите b через a и h, и подставьте в (*). Клянусь подножием трона Аллаха, всё должно сократиться, и получится изящное выражение x через h.

Надеюсь, этого достаточно. В крайнем случае буду говорить "да, нет" в ответ на Ваши достижения.

Заодно Вы докажете следующее утверждение: в любой такой трапеции точка пересечения диагоналей лежит на высоте, проведённой через центр вписанной окружности.

Нельзя ли последнее утверждение доказать независимо?

А тогда из равенства площадей треугольников AMB и CMD,
которое доказывается легко, сразу следует ответ задачи.

1) По теореме Пифагора (m+s)^2 = (m-s)^2 + (2r)^2
(контрольный вопрос: где здесь прямоугольный треугольник?);
4ms=4r^2, ms=r^2, то есть r — среднее геометрическое m и s.

2) Треугольники BMC и DMA подобны (лёгкое упражнение).

3) Из подобия треугольников BMC и DMA следует, что
площади треугольников AMB и CMD равны (лёгкое упражнение).

4) Из точки M опускаем высоты на основания трапеции.
Вопрос: какие ещё подобные треугольники появляются на рисунке?

5) Из подобия треугольников следует, что r' — среднее геометрическое m' и s'
(лёгкое упражнение).

6) Из того, что r — среднее геометрическое m и s,
а r' — среднее геометрическое m' и s',
а, кроме того, . . . (вставить пропущенное),
следует, что r'=r, m'=m, s'=s (небольшое упражнение).

7) Из того, что r'=r, следует, что площадь треугольника AMB равна r^2=S.

В трапеции ABCD отношение длин оснований AD и BC равно 3. Диагонали трапеции пересекаются в точке O, площадь треугольника AOB равна 6. Найдите площадь трапеции.

Знаю, что треугольники, образованные диагоналями и боковыми сторонами, равновеликие. Т.е. Площадь AOBравна площади COD. И площади треугольников AOD и BOC относятся как 3^2, т.е. 9. Как из этих данных вывести решение, не знаю.

Помогите, пожалуйста, решить задачу.

В треугольнике ABC угол А=30, точка О — центр вписанной в треугольник АВС окружности. Прямые ОА и ВО пересекают описанную вокруг треугольника АВС окружность в точках М и N, соответственно. Найдите величину угла С в градусах, если известно, что AM=MN

В прямоугольном треугольнике MNK с вершины прямого угла K проведена высота KD. Найти наименьшую
сторону треугольника MNK, если радиус окружности, вписанной в треугольник MNK равен 2, а периметр
треугольника MKD равен 14,4.

В прямоугольном треугольнике MNK из вершины прямого угла К проведена высота KD. Найти наименьшую сторону треугольника MNK, если радиус окружности, вписанной в треугольник MNK равен 2, а периметр треугольника MKD равен 14,4.

Вершины ромба расположены на сторонах параллелограмма, а стороны ромба параллельны диагоналям параллелограмма. Найдите отношение площадей ромба и параллелограмма, если отношение диагоналей параллелограмма равно 3:7, а угол между ними равен 45