Угол в треугольнике

Дан равнобедренный треугольник с основанием ВС. Угол А равен 80 градусов. В нутри треугольника взята точка М так, что угол МИС равен 30 градусовЮ а угол ЬСИ равен 10 градусов. Найти угол АМС. Задача для 7 класса. Пока не получается, нужна помощь.

Постройте на стороне BC правильный треугольник BCD так, что точка D лежит по одну сторону с A от прямой BC. Соедините D и A, и задача решится почти сразу.

Думаю, что наиболее естественное решение должно начинаться словами "возьмем правильный 18-ти угольник".

А все красивые решения — читерские, в том смысле, что вначале задача решена грубой силой, а потом уже ищутся красивые решения.

Написанная мною идея пришла на первой минуте без посторонних мыслей о правильных многоугольниках, про которые семиклассник даже и не слышал.
(Хоть в данном случае этот семиклассник и вымышленный персонаж местного клоуна.)

Кто знает?

Но задача бородатая и практически непосильная для реального семиклассника, так что дам ссылку на практически такую же:

http://kvant.mccme.ru/1993/06/istoriya_s_geometriej.htm

Докажите, что треугольник АСМ -равнобедренный и тогда очевиден ответ (180-40)/2=70

???

Интересно решить задачу в общем виде.
Ведь если известны углы a, b, c, d, то картинка определена
с точностью до подобия, угол x определён однозначно.
Сейчас воспользуемся известными фактами из школьной геометрии:
а) вертикальные углы равны,
б) сумма смежных углов равна 180 градусам,
в) сумма углов треугольника равна 180 градусам,
г) внешний угол треугольника равен сумме внутренних, не смежных с ним,
выразим все, какие можно, углы через x и в какой-нибудь
момент составим уравнение, из которого найдём x.

Но не тут-то было. Все углы расписаны,
а составить уравнение так и не удалось.
Возникает предположение, что x не выражается
в виде линейной функции через a, b, c, d.

Вспоминаем про теорему Чевы и теорему синусов.

(Отрезок стороны)/(Другой отрезок этой же стороны) =
= (Отрезок стороны)/(Чевиана, проведённая к этой стороне) *
* (Чевиана, проведённая к этой стороне)/(Другой отрезок этой же стороны).

(1) sin(x-b)/sin(a+b) * sin(c+d)/sin(x+a+c+d) *
* sin(a)/sin(c+d) * sin(a+b+c+d)/sin(b) *
* sin(d)/sin(a+b+c+d) * sin(a+b)/sin(c) = 1.

О, ужас! Сейчас всё сократится, и получим, что 1=1.
Хотя нет, не ужас: ведь если всё сократится, мы получим
новое, доселе неизвестное, доказательство теоремы Чевы...

...Многое сократилось, но не всё.
Доказать теорему Чевы не удалось, но зато получилось
уравнение, из которого можно найти x:

(2) sin(x-b)*sin(a)*sin(d) = sin(x+a+c+d)*sin(b)*sin(c).

Приводим уравнение к более симметричному виду с помощью замены:
(3) x+a+c+d = y+f,
(4) x-b = y-f.
Тогда
(5) y = x + (a+c+d-b)/2,
(6) f = (a+b+c+d)/2.

Уравнение (2) принимает вид:
(7) sin(y-f)*sin(a)*sin(d) = sin(y+f)*sin(b)*sin(c).

Далее:
(8) [sin(y)cos(f) — cos(y)sin(f)] *sin(a)*sin(d) =
[sin(y)cos(f) + cos(y)sin(f)] *sin(b)*sin(c);

(9) sin(y)cos(f) * [(sin(a)*sin(d) — sin(b)*sin(c)] =
cos(y)sin(f)] * [(sin(a)*sin(d) + sin(b)*sin(c)];

(10) ctg(y) = ctg(f) *
* [(sin(a)*sin(d) — sin(b)*sin(c)] /
/ [(sin(a)*sin(d) + sin(b)*sin(c)].

Возвращаемся к переменной x:
(10) ctg(x + (a+c+d-b)/2) = ctg((a+b+c+d)/2) *
* [(sin(a)*sin(d) — sin(b)*sin(c)] /
/ [(sin(a)*sin(d) + sin(b)*sin(c)].

Применим полученный результат к задаче из старт-поста.
Здесь a=30, b=20, c=10, d=40.
Формула (10) примет вид:
(11) ctg(x+30) = ctg(50) *
* [(sin(30)*sin(40) — sin(20)*sin(10)] /
/ [(sin(30)*sin(40) + sin(20)*sin(10)];

(12) ctg(x+30) = ctg(50) *
* [(1/2)*2sin(20)cos(20) — sin(20)*sin(10)] /
/ [(1/2)*2sin(20)cos(20) + sin(20)*sin(10)];

(13) ctg(x+30) = ctg(50) *
* [cos(20) — sin(10)] / [cos(20) + sin(10)];

(14) ctg(x+30) = ctg(50) * [cos(20) — cos(80)] / [cos(20) + cos(80)];
(15) ctg(x+30) = ctg(50) * [cos(20) + cos(100)] / [cos(20) + cos(80)];
(16) ctg(x+30) = ctg(50) * 2cos(60)cos(40) / [2cos(50)cos(30)];
(17) ctg(x+30) = cos(50)cos(60)cos(40) / [sin(50)cos(50)cos(30)];
(18) ctg(x+30) = cos(60)cos(40) / [sin(50)cos(30)];
(19) ctg(x+30) = cos(60)cos(40) / [cos(40)cos(30)];
(20) ctg(x+30) = cos(60) / cos(30);
(21) ctg(x+30) = 1 / sqrt(3);
(22) x+30 = 60;
(23) x = 30.
Угол AMC = x+a+c = 30+30+10 = 70
Ответ совпадает с ответом из #4.

Подобное "общее решение" является решением только для некоторых частных случаев, вроде №12, когда формулу просто довести до точного числа.

А в общем случае это никакое не решение, а элементарная переформулировка сложной геометрической задачи в еще более сложную тригонометрическую.

И, разумеется, это решение никого не интересует в контексте темы, тем более, если вспомнить про "7-ми классника".

Почему же Вы считаете, что исследование более общей задачи
никого не заинтересует?
У Вас психология двоечника-семиклассника: лишь бы скорее и кое-как
сделать уроки, и чтобы все родители и учителя отвязались.
Но на форуме, кроме Вас, могут присутствовать лица,
интересующиеся предметом МАТЕМАТИКА.
Лично мне интересно было разобраться в вопросе,
в какой мере, какими средствами задача поддаётся решению в ОБЩЕМ ВИДЕ.

(На всякий случай лично для Вас уточняю: моё решение общей задачи
ни в коей мере не претендует на то, чтобы заменить собою
короткие и красивые решения частного случая.)

Многократное применение теорем синусов и косинусов — это, как раз, типичное действие для человека, не понимающего геометрии.

И любому разумному человеку понятно, как "решить" треугольник, заданный с точностью до подобия.

А если Вас интересуют "исследования" — посмотрите в 18-ти угольник, где сидят все подобные задачи с углами, кратными 10 градусам. Если интересует меньшая кратность — количество сторон в угольнике придется немного увеличить.

Нашел эту задачу в задачнике Атанасяна под номером 337. Весьма простое , вполне школьное решение.

Попалась такая задача. Дан равнобедренный треугольник АВС. Угол С равен 100 градусов. Внутри треугольника взята точка М так, что угол МАВ=30, угол МВА=20. Найти углы АСМ и ВСМ.
У меня без тригонометрии не получается, а надо без тригонометрии.

В #3 я написал решение с точностью до переименования вершин подходящее и для этой задачи.

Не могли бы Вы выложить ответ. А то моя тригонометрия меня смущает. Один из углов у меня 20.

Помогите пожалуйста разобраться с задачей до вечера .

Дан треугольник ABC в котором угол C= 40 и угол A=80 . Точка P на стороне AC и точка Q на стороне BC таковы, что угол PBC=10 и угол QAC=20. найдите угол AQP

помогите пожалуйста решить задачу! бьюсь все никак не получается. Задача вроде простая но почему-то не выходит. В равнобедренный треугольник АВС с боковой стороной, равной 15, вписан круг, касающийся боковой стороны в точке, отстоящей от вершины этого равнобедренного треугольника на расстоянии 5. Найти площадь этого треугольника.

Здравствуйте! Подскажите, как развить пространственное мышление у детей 10 класса, которые только начинают изучать стереометрию?
Дело в том, что ученик не может решить задачи рода "Плоскость альфа и бета параллельны, прямая м лежит в плоскость альфа. Докажите, что м параллельна плоскости бета".

Уважаемые репетиторы! Помогите пожалуйста решить задачу по геометрии, найти длину вектора а+в-с (значки вектора над буквами пропечатать к сожалению не могу) если |a| = 1, |b|=2, |c|=3, угол(a,b)=90
угол(b,c)=60 и угол(a,c)=120 градусам,у меня получилось узнать только координаты вектора а (0,0,1) и вектора в(0,2,0) дальше работа зашла в тупик. Очень нужна ваша помощь, заранее спасибо.

Задача №4
На плоскость случайно бросаются три точки. Какова вероятность того, что получится остроугольный треугольник?
Чтобы не было разногласий относительно того, что такое "случайно" в случае бесконечной плоскости, переформулируем — на окружность случайно бросаются три точки. Какова вероятность того, что получится остроугольный треугольник.

Так как задачи на построение — задача построить треугольник того класса (остроугольный или тупоугольный), который наиболее вероятен.