Задача №4

Задача №4
На плоскость случайно бросаются три точки. Какова вероятность того, что получится остроугольный треугольник?
Чтобы не было разногласий относительно того, что такое "случайно" в случае бесконечной плоскости, переформулируем — на окружность случайно бросаются три точки. Какова вероятность того, что получится остроугольный треугольник.

Так как задачи на построение — задача построить треугольник того класса (остроугольный или тупоугольный), который наиболее вероятен.

Живая математика. AC=8,04; CB=7,94. Близость значений — случайное совпадение.

Не совсем случайное — если a<=b<=c, то 1<=min(b/a,c/b)<=зол. сечение, так что треугольник не может быть "очень сильно неравнобедренным".

Кстати, а что с ответом на задачу №4? Попробуйте вначале получить ответ интуитивно, а потом посчитать.

Что-то никто не проникся задачей. Хорошо, сообщу ответ, может это кого-то стимулирует ее решить: вероятность остроугольного треугольника 1/4, в ТРИ раза меньше, чем тупоугольного.

При этом почти все почти всегда в своих чертежах используют именно треугольники остроугольные, если про тупоугольность не сказано явно. Почему мы так делаем — интересный вопрос, полагаю...

Глубоко неочевидно, что для броска на плоскость и броска на окружность ответы одинаковы.

Тут такое дело.

Во-первых, нет такого объекта, как равномерное распределение на всей плоскости, поэтому придется идти на какие-то ухищрения.

Во-вторых, любой треугольник вписанный, так что три точки общего положения обязательно упадут на какую-то окружность. И на любой окружности вероятность будет 1/4. Поэтому есть логика в том (что-то из серии интегрального аналога формулы P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|не B)P(не B)), что ответы для плоскости и для окружности одинаковы.

В-третьих, если Вам не нравится во-вторых — не отождествляйте задачу про окружность и задачу про плоскость (которая, к тому же, не сформулирована, так как не указано распределение).

Но как известно, есть другие способы выбирать три точки на окружности и там получаются другие ответы (см. Гарднера).

Есть, но будет ли это в точности та же самая задача — не уверен. Если ссылаетесь на Гарднера — уточните, пожалуйста, на что конкретно.

Но, в любом случае, и при любой трактовке — вероятность возникновения тупоугольного треугольника сильно больше 1/2.

Точки A, B, C, D случайным образом бросают на прямую. Найти вероятность того, что отрезок AB лежит внутри отрезка CD.

Я свернула прямую в полуокружность в надежде найти эту вероятность как отношение площади некой фигуры, лежащей внутри квадрата [0,pi] на [0,pi], к площади этого квадрата, но штота нипалучаиццо :(
Буду благодарна за дальнейшую подсказку. Решать мне не надо, думаю что хватит идеи. Заранее спасибо.

1. Пользуясь инвариантами, привести к простейшему виду уравнение кривой x^2 — 2xy + y ^2 − x − 2y + 3 = 0
2. Пользуясь перенесением начала координат, упростить уравнение кривой 7x^2 + 4xy + 4y ^2 − 40x − 32y + 5 = 0
3.На прямой 4х+3у-12=0 найти точку, полярно сопряженную с началом координат относительно кривой 9х^2+24xy+16y^2-40x+30y=0
4.Исследовать кривую, предварительно повернув оси ординат так, чтобы преобразованное уравнение не содержало члена с произведением координат х^2+4xy+y^2-3=0

Здравствуйте! Подскажите, как развить пространственное мышление у детей 10 класса, которые только начинают изучать стереометрию?
Дело в том, что ученик не может решить задачи рода "Плоскость альфа и бета параллельны, прямая м лежит в плоскость альфа. Докажите, что м параллельна плоскости бета".

Надо построить равнобедренный треуг по углу при основании и периметру.
Подскажите , пожалуйста.

Задана окружность, точка [m]A[/m], лежащая на ней, и точка [m]P[/m], лежащая внутри окружности. Найти на окружности такие точки [m]B[/m] и [m]C[/m], чтобы точка [m]P[/m] была центром окружности, вписанной в треугольник [m]ABC[/m].

Задача №3
В треугольнике ABC известны угол A, радиус вписанной окружности r и площадь S. Найти радиус описанной окружности R.
Так как задачи на построение, можете, заодно, построить треугольник ABC.
Ввиду сравнительной легкости задачи, по сравнению с предыдущими, интересует не просто решение, а максимально короткое и эстетически приемлемое (решение системы двух нелинейных уравнений этим критериям не удовлетворяет, да и трудоемко в случае, когда надо решить задачу в общем виде, а не для конкретных констант).