Задачи на построение с помощью циркуля и линейки. Полезные идеи и интересные факты.

В этой теме планируется выкладывать задачи, решение которых содержит какой-либо стандартный прием, часто используемый в задачах на построение, или интересный геометрический факт, за счет которого это построение выполняется.
Задачи будут самого разного уровня, так что порешать сможет и стар и млад.
Две просьбы.
1. Мэтры, знающие решение задачи, или решившие ее, не моргнув глазом, дайте подумать остальным, не выкладывайте решение сразу,
2. Если кто-то хочет выложить свою задачу, то это сделать можно, но только после окончания обсуждения предыдущей. Хочется, чтобы обсуждения не переплетались между собой. Если обсуждается новая задача, а Вы что-то решили написать по предыдущей, то воспользуйтесь кнопкой "ответить" под одним из постов, относящихся к ней.

Любителям красивых математических задач, которые предлагает Владислав Аркадьевич, возможно, будет интересен этот сборник:

Александров И.И. — Сборник геометрических задач на построение

Спасибо, Рамиль, книжка очень полезная, сам с удовольствием ее почитаю. Жалко, что она мне не попадалась ранее.

Моя любимая задача на построение — построить треугольник по высоте, медиане и биссектрисе из одной вершины.

Задача №2. Постройте правильный треугольник.
Постройте правильный треугольник, одна из вершин которого лежит в данной точке, другая на данной прямой, а третья на данной окружности.

Задача №1. Восстановите квадрат.
На каждой стороне квадрата в произвольных местах поставили по одной точке, а потом его стерли, оставив только точки. Восстановите квадрат при помощи циркуля и линейки.

Задача №4
На плоскость случайно бросаются три точки. Какова вероятность того, что получится остроугольный треугольник?
Чтобы не было разногласий относительно того, что такое "случайно" в случае бесконечной плоскости, переформулируем — на окружность случайно бросаются три точки. Какова вероятность того, что получится остроугольный треугольник.

Так как задачи на построение — задача построить треугольник того класса (остроугольный или тупоугольный), который наиболее вероятен.

Задача №3
В треугольнике ABC известны угол A, радиус вписанной окружности r и площадь S. Найти радиус описанной окружности R.
Так как задачи на построение, можете, заодно, построить треугольник ABC.
Ввиду сравнительной легкости задачи, по сравнению с предыдущими, интересует не просто решение, а максимально короткое и эстетически приемлемое (решение системы двух нелинейных уравнений этим критериям не удовлетворяет, да и трудоемко в случае, когда надо решить задачу в общем виде, а не для конкретных констант).

Задача №1*. Восстановите правильный треугольник.
На каждой стороне правильного треугольника в произвольных местах поставили по одной точке, а потом его стерли, оставив только точки. Восстановите треугольник при помощи циркуля и линейки.