Доказать утверждение

Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю. Доказать утверждение: для того чтобы квадратная матрица А была перестановочна со всеми диагональными матрицами, необходимо и достаточно, чтобы матрица А сама была диагональна.

я беру 2 матрицы (3х3).
A(3 -1 -1 и D ( 1 0 0
2 0 1 0 0 0
1 1 1 ) 0 0 3).
Перемножив матрицы у меня получается следущее AD=( 3 0 -3
2 0 3
1 0 3) . А перемножив DA получаю совсем другой ответ.
Т.е доказательство неверно или я не так делаю ?

В формулировке утверждения присутствуют слова "необходимо и достаточно".
Это означает, что Ваше доказательство должно состоять из двух частей:

Часть первая. НЕОБХОДИМОСТЬ.
Вы должны привести пример двух матриц A и D таких, что D — диагональная,
A — не диагональная, и матрицы A и D не перестановочны (AD не равно DA).

Часть вторая. ДОСТАТОЧНОСТЬ.
Здесь уже примерами не обойтись. Требуется рассуждение.
Нужно доказать, что ЛЮБЫЕ диагональные матрицы A и D перестановочны (AD=DA).

Небольшое уточнение.
В #4 я предполагаю, что мы заранее зафиксировали размер матриц, например, 3x3.
И это же как бы подразумевается и в старт-посте.
Но строго говоря, утверждение старт-поста должно формулироваться так:

Пусть n — произвольное натуральное число.
Для того, чтобы квадратная матрица А размера n x n была перестановочна
со всеми диагональными матрицами размера n x n, необходимо и достаточно,
чтобы матрица А сама была диагональна.

Если мы зафиксировали n, например, n=3, то в ПЕРВОЙ ЧАСТИ доказательства
(НЕОБХОДИМОСТЬ) можно привести один какой-нибудь пример двух матриц A и D
размера 3x3 таких, что D — диагональная, A — не диагональная,
и матрицы A и D не перестановочны (AD не равно DA).

Но если мы не зафиксировали n, то одного примера не достаточно.
Необходимо некоторое рассуждение, показывающее, что при любом n
такой пример существует.

Вы не понимаете, что такое НЕОБХОДИМОСТЬ.

Пока был пост №4 — я думал, что Вы описались, и не стал комментировать. Но потом появился пост №7, дублирующий Ваши грубейшие заблуждения.

То, что Вы предлагаете, НЕОБХОДИМОСТЬ не доказывает даже близко.

Да, Вы правы.
Для доказательства необходимости нужно для КАЖДОЙ недиагональной
матрицы A построить диагональную матрицу D, не коммутирующую с A.
Одного примера матрицы A недостаточно.
Спасибо за справедливое замечание.
Приношу свои извинения читателям форума за грубые ошибки,
допущенные мною в #4, #7, #8.

К сожалению, мне не удалось понять, какие матрицы Вы взяли.
Вы уверены, что взяли именно две диагональные матрицы?

Если я не ошибся,то я взял квадратную и диагональную матрицу

А надо было две диагональные. Иначе Ваш пример не опровергает утверждение.

Как я понял, в #2 была попытка изобразить следующие матрицы:

 
Матрица A 
3 -1 -1 
2  0  1 
1  1  1 

Матрица D 
1  0  0 
0  0  0 
0  0  3 

Их произведение AD 
3  0 -3 
2  0  3 
1  0  3 

Произведение AD матриц A и D найдено правильно.
И правильно указано, что матрица DA не будет равна матрице AD.
Таким образом, это можно считать ПЕРВОЙ ЧАСТЬЮ доказательства
утверждения (НЕОБХОДИМОСТЬ) для n=3. (Но не для любого n.)

Если Вы перемножите две диагональные матрицы (как предлагают в #6),
то получите диагональную матрицу. Это хорошее упражнение.
Но это не будет являться ВТОРОЙ ЧАСТЬЮ доказательства (ДОСТАТОЧНОСТЬ),
так как доказывать, что так будет всегда, нужно в общем виде с помощью
рассуждения, а не на примере.

А если доказывать в общем виде,а не на примере,как примерно это должно выглядеть?

Вторая часть доказательства. ДОСТАТОЧНОСТЬ.
Нужно доказать, что ЛЮБЫЕ диагональные матрицы A и D перестановочны (AD=DA).

Для матриц размера 3х3 — это очень просто.
В общем виде две произвольные диагональные матрицы
размера 3х3 записываются так:

Матрица A

 
a   0   0 
0   b   0 
0   0   c 

Матрица D

 
d   0   0 
0   e   0 
0   0   f 

Вычисляем их произведение AD:

 
ad  0  0 
0  be  0 
0   0 cf 

Вычисляем их произведение DA:

 
da  0  0 
0  eb  0 
0   0 fc 

Убеждаемся в том, что AD=DA
(перестановочность диагональных матриц следует из перестановочности
обычного умножения чисел: ad=da, be=eb, cf=fc).

Точно так же доказывается перестановочность любых диагональных
матриц размера 2х2, 4х4, 5х5, . . .

Но у нас нет физической возможности до бесконечности выписывать
и перемножать матрицы всех возможных размеров.

Требуется общее рассуждение, доказывающее сразу для любого n,
что любые диагональные матрицы размера n x n перестановочны.

Здравствуйте!
Помогите, пожалуйста, с задачей.
Нужно доказать, что в выражении (A+λE)^n (А — произвольная квадратная матрица) можно применять бином Ньютона. Я даже не пойму, с какой стороны подойти :(

Доброе утро!
В 1000-значном числе 97531975319753197531…9753197531, вычеркнули все цифры, стоящие на нечетных местах; в полученном 500-значном числе вновь вычеркнули все цифры, стоящие на нечетных местах, и т.д. Вычеркивание продолжалось до тех пор, пока было что вычеркивать. Какая цифра была вычеркнута последней?

1. Из восьмилитрового ведра, наполненного молоком, надо отлить 4 литра с помощью пустых трехлитрового и пятилитрового бидонов.
2. Квадратная таблица размером n × n заполнена неотрицательными числами так,
что как сумма чисел любой строки, так и сумма чисел любого столбца равна 1.
Докажите, что из таблицы можно выбрать n положительных чисел, никакие два
из которых не стоят ни в одном столбце, ни в одной строке.
Н.Б. Васильев, М.И.Башмаков.

Найти линейное преобразование z= Cx, если у = Ах, z= Ву, х принадлежит R2, у принадлежит R3. И даны матрицы А и В...
Как решать данное задание? Что делать с матрицами?

система двух случайных величин распределена равномерно : в прямоугольнике,ограниченном прямыми х=4, х=6, у=10,у=15,функция f(x,y) сохраняет постоянное значение ,а вне этого прямоугольника она равна нулю . найти : 1) плотность f(x,y), совместного распределения 2) функцию распределения системы

При каких значениях "a" обращается в нуль определитель |■(a+2&5@1&a-2)|
, такая запись будет верна? определитель обращается в нуль если "а"=3, т.к.соответствующие элементы двух столбцов (или двух строк) определителя равны или пропорциональны, то определитель равен нулю. Или я ошибаюсь в решении?