Задачка с районной олимпиады

Всем добрый день,
ученица принесла с районной олимпиады для 10-го класса задачку (поэтому и выношу на общий форум — может кто из школьников знаком с условием):
Все цифры натурального числа [m]X[/m] сложили и получили [m]S(X)[/m]. Затем сложили цифры числа [m]S(X)[/m] и получили [m]S(S(X))[/m]. Известно, что
[m]X+S(X)+ S(S(X)) = 1993 [/m].
Так вот, у меня получилось, что решения нет, в чем сильно засомневался. Так как, для других правых частей уравнения, например, 1983, 1995 (взял из соображения, что в исходной записи описка), получается по несколько решений:
[m]1954+1+9+5+4+1+9=1983[/m]
[m]1957+1+9+5+7+2+2=1983[/m]
[m]1960+1+9+6+0+1+6=1983[/m]
[m]1970+1+9+7+0+1+7=1995[/m]
[m]1973+1+9+7+3+2+0=1995[/m]
[m]1967+1+9+6+7+2+3=1995[/m]

Собственно, конкретный вопрос к аудитории: имеет или не имеет исходное уравнение решение?
Просьба, само решение не выкладывать, но, ессно, его проверить.
Спасибо.

Решений нет. Это можно доказать, заметив одно свойство левой части.
Доказательство не выкладываю, но скажу, что оно ну очень короткое. :-)

Интересно, а есть ли числа в правой части с таким свойством, которые все-таки не представимы?
Там технически противно это проверять, но примеров сходу не нахожу...

я так понимаю, хорошие числа: ...,1989,1992,1995,... (через троечку...)
плохие между ними: 1990,1991,1993,1994,1996,1997,...

поэтому, для #3:
"на 2011 или 2012," — нет решения, а вот для 2010, 2013:
[m]1978+1+9+7+8+2+5 = 2010[/m]
[m]1981+1+9+8+1+1+9 = 2010[/m]

[m]1979+1+9+7+9+2+6 = 2013[/m]
[m]1985+1+9+8+5+2+3 = 2013[/m]
[m]1991+1+9+9+1+2+0 = 2013[/m]

Собственно, легко доказать, что все хорошие числа лежат в этом самом ряду "через троечку" :)
Мой-то вопрос касался обратной проблемы :)

"Мой-то вопрос касался обратной проблемы :)"
- честно говоря, не понял.

для [m]1992+3k[/m] — есть решение, для других нет.

И как доказать, что все делящиеся можно представить?

"Это можно доказать, заметив одно свойство левой части."

- да, Х по модулю 3 = +/- 1

ну, или, свойство правой части: делимость на 3.

Очень странно, что составители районной олимпиады не догадались заменить число 1993, взятое из какой-нибудь олимпиады 1993 года, на 2011 или 2012, в зависимости от времени проведения.

Не из какой-нибудь, а из московской математической олимпиады. Там эта задача в 8-м классе предлагалась:)

на #10:
ну, у меня был только Гальперин(ММО 1935-1985 годов).
сейчас нашел под ред. Федорова и др. (ММО 1993-2005 годов).

да, действительно, 8-й класс, условия и ответы:

Длины диагоналей ромба a и b – целые числа. В ромб вписан квадрат с длиной
стороны q = 2001. Найдите a и b. Сколько имеется таких ромбов разной формы?

В школе олимпиада 8 класс. Задачи про раскраску сеток. Учительница ничего не объясняет.
Покажите на каком-либо примере принципы решения таких задач. Там вопросы типа.Какое наименьшее число квадратов покрасить, чтобы вся сетка оказалась покрашенной?

Олимпиада завершилась 25 января, можно обсудить.
Особенно интересна задача №5. Есть идеи? :-)

Сыну в школе дали уравнение [x]^2+10x+16. [ ]-целая часть числа. Вопрос: сколько решений у этого уравнения. Я никогда не сталкивался с такими уравнениями.

трапеция разделена диагоналями на 4 части. определить площадь трапеции по площадям частей, прилегающим к основаниям