Сколько решений

Сыну в школе дали уравнение [x]^2+10x+16. [ ]-целая часть числа. Вопрос: сколько решений у этого уравнения. Я никогда не сталкивался с такими уравнениями.

Владимир Иванович!
Это не уравнение. Где знак равенства и правая часть уравнения?

Действительно забыл правую часть-она равна 0.

Итак, дано уравнение [x]^2+10x+16 = 0.
Рассуждаем так:
[x]^2 — целое число,
16 — целое число,
0 — целое число.
Из этого следует, что 10x — тоже целое число.
Может ли это помочь нам решить задачу?

Просьба к коллегам не приводить здесь полного решения данной задачи, так как она является близким аналогом задачи №7 из заочной олимпиады "ПВГ".

помимо уравнения [m][x]^2+10x+16=0[/m],
можно рассмотреть и уравнение [m]x^2+10x+16=0[/m], корни которого очевидны.
Далее, вычтите из одного уравнения другое. Получите ответ.

о, #5 не видел, набирал латех. Надеюсь, полного решения не привел.

Куда Вы делись!
Назовем полное — неполным и будем радоваться жизни (Дюма).

И Вы уверены, что так Вы получите все ответы. Может перечислите их, или назовете их число.???

dct jndtns? tccyj? yt gjkexbv
все ответы ессно не получим.

их там между найденными по #6 (-8) и (-2) еще несколько: -5.2, -4.1, -3.2, -2.5 (может еще есть).

[m]-10x-16=m^2[/m], варьируете m в определенных границах (несколько значений)

И почему это Вы получите таким образом все корни?

надеюсь, в #14, как и в этом посте, неполное решение

[m]-10x-16=(-8)^2,\, \, \, \, \, x=-8[/m]
[m]-10x-16=(-7)^2,\, \, \, \, \, x=-6.5[/m]
[m]-10x-16=(-6)^2,\, \, \, \, \, x=-5.2[/m]
[m]-10x-16=(-5)^2,\, \, \, \, \, x=-4.2[/m]
[m]-10x-16=(-3)^2,\, \, \, \, \, x=-2.5[/m]
[m]-10x-16=(-2)^2,\, \, \, \, \, x=-2[/m]

другие m перебирать не надо

если есть еще корни, сообщите плиз.

а, на да, описка, надо:
[m]-10x-16=(-5)^2,\, \, \, \, \, x=-4.1[/m]

Уважаемый Рамиль Зинятуллович!

Я очень прошу извинить меня за отсутствие сообразительности.
Но я не понимаю Ваш пост #6. Вы пишете:
"помимо уравнения [x]^2+10x+16=0,
можно рассмотреть и уравнение x^2+10x+16=0, корни которого очевидны.
Далее, вычтите из одного уравнения другое. Получите ответ."

Способ вычитания одного уравнения из другого — хорошо известен.
Но я умею применять этот способ только при решении системы уравнений.
Если нам дана система уравнений, то корни обязаны удовлетворять каждому
уравнению. Вычитая из одного уравнения системы другое, мы получаем
уравнение, которому тоже обязаны удовлетворять корни.

А что в данном случае? Не могли бы Вы дать какие-то словесные пояснения,
чтобы была понятна логика происходящего?

Пытаюсь применить Ваш способ к решению уравнения
(1) x+5=20.
Помимо этого уравнения можно рассмотреть и уравнение
(2) x+7=30, корень которого очевиден.
Вычитаем из уравнения (2) уравнение (1):
(3) 2=10.
А что делать дальше?

Я, конечно же, понимаю, что стал применять Ваш метод, не разобравшись
в его сути. Но не могли бы Вы пояснить секрет Ваших магических действий?

Ещё раз прошу извинить за отсутствие сообразительности.

Уважаемый Юрий Анатольевич,
ничего магического в способе нет, всё законопослушно:
вначале я рассматриваю частное решение исходного уравнения (при условии
[m][x]=x[/m]), получаем корни -8,-2. Ну, и далее вроде всё само собой — оценка, небольшой(устный) перебор.
Наверно, там есть еще какие корни, я не озадачивался приводить полное решение.
И тем более, не озадачивался приводить эффективное решение(красивое),
так, заглянул на огонек.

С уважением к Вам.

Ну а всё-таки, нельзя ли поподробнее?
Вы советуете из уравнения
(А) [x]^2+10x+16=0 вычесть уравнение
(Б) x^2+10x+16=0.
Давайте, я не поленюсь и выпишу, что получается:
(В) [x]^2-x^2=0.
Можете ли Вы сформулировать какое-нибудь математическое утверждение про
уравнение (В)? Желательно, конечно же, с доказательством и с подсказкой,
какое отношение это утверждение будет иметь к исходной задаче.
Но если трудно с доказательством и с подсказкой, то хотя бы само утверждение.
Потому что я не могу понять, для чего нам нужно уравнение (В).

"(В) [x]^2-x^2=0. "

[m][x]^2-x_{0}^2=0[/m], где [m]x_{0}[/m] — один из корней уравнения (Б).
Решаем это уравнение. Или, если угодно, сразу решайте (Б) как частный случай (А).

Юрий Анатольевич,
выложите пожалуйста свое решение. Сравним корни.

Для меня ничего не прояснилось.
Если из (А) вычесть (Б), то всё-таки получится
(В) [x]^2-x^2=0.
Каким образом получилось
(Г) [x]^2-(x_0)^2=0 — для меня загадка.

Уравнение (Б) имеет два корня: -8 и -2.
Если x_0=-8, то из уравнения (Г) получаем: [x]=-8 или [x]=8.
Если x_0=-2, то из уравнения (Г) получаем: [x]=-2 или [x]=2.
Только не могу понять, какое имеют отношение уравнение (Г)
и его корни к уравнению (А), предложенному в старт-посте.

На Вашу просьбу выложить своё решение я отвечаю следующее:
1) В #4 я написал, что 10x — целое число. Далее, как мне
кажется, рассмотрением 10 случаев можно получить все решения.
Но я этим не занимался. У меня пока нет своего решения.
2) Прозвучала просьба (#5) решения не выкладывать.
Я не сторонник таких запретов.
Является ли достижимой цель, чтобы все участники заочной
олимпиады всё решали самостоятельно?
Является ли эта цель настолько важной, чтобы всеми силами
за неё бороться?
Не может ли быть так, что решая задачи не самостоятельно,
но будучи заинтересованными в успехе, ища подсказки и
получая подсказки, учащиеся получают для своего развития
пользу, которая важнее, чем некоторый элемент несправедливости?
Но тем не менее, просьба не выкладывать решения прозвучала. . .

В школе олимпиада 8 класс. Задачи про раскраску сеток. Учительница ничего не объясняет.
Покажите на каком-либо примере принципы решения таких задач. Там вопросы типа.Какое наименьшее число квадратов покрасить, чтобы вся сетка оказалась покрашенной?

16 февраля прошел 2 тур олимпиады ВШЭ "Высшая проба".
Предлагаю задачи для обсуждения.

Почитал и решил предложить новые вопросы.
Сколькими способами можно из ящика, в котором ничего нет, вытащить ничего.
Решить уравнение х^х =1 и х!=1.
Решить в целых числах х!=у^2 — олимпиадная задача для 8-го класса.