Всесибирская открытая олимпиада школьников по математике 2013-14 гг.

Олимпиада завершилась 25 января, можно обсудить.
Особенно интересна задача №5. Есть идеи? :-)

Задача №1
Всякое решение уравнения [m]f(x)=x[/m] является решением уравнения [m]f(f(x))=x[/m], поэтому отсутствие решений второго означает отсутствие решений первого.
Если уравнение [m]ax^2-x+c=x[/m] не имеет решений, то трёхчлен [m]ax^2-2x+c[/m] не имеет корней, и у него отрицательный дискриминант.

Задача №2
Поскольку сумма чисел строке нечётна, нечётных чисел в ней может быть либо одно, либо три. Полскольку всего нечётных чисел пять, одна строка содержит три нечётных числа, и две по одному. То же относится к столбцам. Выбор номеров строки и столбца, в которых содержатся по три нечётных числа, полностью определяет набор клеток, в которых стоят нечётные числа. Таким образом, таких наборов всего 3*3=9.
Для каждого такого набора существует 5!=120 способов расставить нечётные числа и 4!=24 способа расставить чётные. Тогда общее число способов расстановки равно 9*120*24=25920

Задача №3
[m]x^3+y^3+z^2-1=0[/m]
[m]x^3+y^3+z^2-1=(x+y)(x^2-xy+y^2)+(z-1)(z+1)=(x+y)(x^2-xy+y^2)-(x+y)(2-x-y)=(x+y)(x^2-xy+y^2+x+y-2)=0[/m]
I. [m]x+y=0[/m], [m]z=1[/m], и получаем серию решений [m](x, y, z)=(n, -n, 1)[/m], [m]n[/m] — целое.
II. [m]x^2-xy+y^2+x+y-2=0[/m]
Умножаем на 4:
[m]4x^2-4xy+4y^2+4(x+y)-8=0[/m]
Обозначим [m]u=x+y[/m], [m]v=x-y[/m] (целые одинаковой чётности). Тогда [m]4x^2+4y^2=2(u^2+v^2)[/m], [m]-4xy=v^2-u^2[/m], и уравнение принимает вид
[m]3v^2+u^2+4u-8=0[/m], или
[m]3v^2+(u+2)^2=12[/m]
a) [m]v=0[/m], [m](u+2)^2=12[/m], решений в целых числах не имеет
b) [m]|v|=|x-y|=1[/m], [m](u+2)^2=9[/m], [m]u+2=\pm 3[/m]
Знак "плюс": [m]u=x+y=1[/m], и тогда [m](x, y, z)=(1, 0, 0)[/m] или [m](x, y, z)=(0, 1, 0)[/m]
Знак "минус": [m]u=x+y=-5[/m], и тогда [m](x, y, z)=(-2, -3, 6)[/m] или [m](x, y, z)=(-3, -2, 6)[/m]
c) [m]|v|=|x-y|=2[/m], [m](u+2)^2=0[/m], [m]u=x+y=-2[/m], тогда [m](x, y, z)=(-2, 0, 3)[/m] или [m](x, y, z)=(0, -2, 3)[/m]
Других решений нет

.
4) [m]ML[/m] – средняя линия треугольника [m]AOC[/m], поэтому она параллельна [m]OK[/m], и [m]MC=OK/2=a[/m].
5) Продолжение [m]ML[/m] пересекает [m]BC[/m] в точке [m]B[/m]: в треугольнике [m]MBC[/m] [m]OK[/m] – средняя линия, она параллельна [m]MB[/m] и одновременно параллельна [m]ML[/m], поэтому [m]ML[/m] – часть [m]MB[/m]. Поэтому [m]MB=2KO=4a[/m], [m]LB=MB-ML=3a[/m]
6) Отметим равные углы: [m]ALM=LKO=:\alpha[/m] (соответственные), [m]OLK=LKO=alpha[/m] (углы при основании равнобедренного треугольника), [m]BLK=ALM= \alpha[/m] (вертикальные); [m]KOC=LMO=:\beta[/m] (соответственные), [m]MLO=LMO=\beta[/m] (углы при основании равнобедренного треугольника).
7) [m]2\alpha+\beta=\pi[/m] (углы [m]ALK[/m], [m]MLB[/m] – развёрнутые). Тогда в треугольнике [m]OLK[/m] угол [m]LOK=\pi-2\alpha=\beta[/m].
8) Равнобедренные треугольники [m]LOK[/m] и [m]KOC[/m] равны по двум сторонам (боковым) и углу между ними ([m]\beta[/m]). Поэтому углы [m]OCK=OKC=\alpha[/m], и стороны [m]LK=KC[/m]. Тогда [m]AL=LK=KC=BK=:b[/m], [m]BC=2b[/m], [m]BC:AC=(2b):(6a)=b:(3a)[/m].
9) Треугольник [m]BKL[/m] равнобедренный, угол [m]KBL=BLK=\alpha[/m] (углы при основании равнобедренного треугольника), угол [m]BKL=\pi-2\alpha=\beta[/m]. Тогда треугольники [m]BKL[/m] и [m]KOC[/m] подобны (по трём углам), [m]BK:BL=OK:KC[/m], т.е. [m]b:(3a)=(2a):b[/m], откуда [m]b^2=6a^2[/m], [m]b=\sqrt{6}a[/m], и [m]BC:AC=b:(3a)= \sqrt{2} : \sqrt{3}[/m].
10) Треугольники [m]ACB[/m] и [m]KCO[/m] подобны: угол [m]С[/m] общий, [m]BC:AC=OC:KC=b:(3a) )=(2a):b=\sqrt{2} : \sqrt{3}[/m]. Поэтому треугольник [m]ACB[/m] равнобедренный, [m]AB=BC=2b[/m]. Тогда окончательно имеем: [m]AB:BC:AC= \sqrt{2} : \sqrt{2} : \sqrt{3}[/m].

Квадрат площадью 25 см в кв. разрезали на два прямоугольника. Периметр первого равен 12 см. Найдите площадь второго прямоугольника.

В школе олимпиада 8 класс. Задачи про раскраску сеток. Учительница ничего не объясняет.
Покажите на каком-либо примере принципы решения таких задач. Там вопросы типа.Какое наименьшее число квадратов покрасить, чтобы вся сетка оказалась покрашенной?

Задания олимпиады МФТИ по математике для 11 класса, прошедшей 1 марта.

Предлагается обсуждать в этой теме задачи, которые представляли достаточную сложность и не были разобраны на просторах интернета или были разобраны достаточно плохо (громоздкое, непонятное или слишком сложное решение).
Приветствуется и публикация неясных задач, и обсуждение уже помещенных.

Можно ли число 2007 представить в виде суммы нескольких натуральных чисел так, чтобы произведение всех этих чисел тоже было равно 2007?