Пространство с сохранением нормы

В пространстве R^2 с элементами x=(p1;p2) и нормой ||x||=max{|p1|;|p1-2p2|} на пространстве L=(x принад. R^2: p2=3p1)
задан линейный функционал f(x)=p2.продолжить его на все пространство с сохранением нормы.
вопрос состоит в следующем что брать из нормы х или как она применяется в данной задаче?

Марина, не смог понять ваш вопрос. [m]x\in R^2[/m]. Норму пространства можно использовать. Предлагаю так.

1. Посмотрим, как считается норма для элементов подпространства: [m]x\in L \iff x=(p_1, 3p_1)[/m]. Для них
[m]\|x\|=\max\{|p_1|,|p_1-2\cdot 3p_1|\}=5|p_1|[/m]

2. Теперь к норме функционала на [m]L[/m].
[m]f(x)=3p_1[/m], значит [m]|f(x)|=3|p_1|=\frac{3}{5}\|x\|[/m].
Нашли норму: [m]\|f\|=\frac{3}{5}[/m].

3.Что дальше? Надо построить функционал [m]\phi[/m], который на [m]L[/m] действует так же, как [m]f[/m], дает значения и для всех [m]x[/m] вне [m]L[/m], и имеет норму 3/5.
Поскольку размерность [m]L[/m] на единицу меньше размерности [m]R^2[/m] и функционал [m]\phi[/m] линеен, достаточно найти его значение на каком-нибудь одном-единственном векторе вне [m]L[/m]. Мне вот (0,1) нравится — 1≠3×0, значит он вне [m]L[/m]. Пусть [m]\phi(0,1)=A[/m] — это число и предстоит найти, что собственно и составляет соль задачи.

3а) Ткнем в какой-нибудь вектор [m]x=(p_1,p_2)\in R^2[/m] и представим его в виде суммы вектора из [m]L[/m] и вектора коллинеарного (0,1):
[m]x=(p_1,3p_1)+(p_2-3p_1)(0,1)[/m].

3b) Посчитаем значение функционала на [m]x[/m]:
[m]\phi(x)=3p_1+A(p_2-3p_1)[/m].

3c) Теперь надо выбрать наибольшее значение [m]\phi(x)[/m] при [m]x[/m] лежащем на единичном шаре. Это решение неравенства [m]\|x\|\leqslant 1[/m]. Как он выглядит?

3d) Найденное в предыдущем пункте значение будет зависеть от A. Надо выбрать А таким, чтобы наибольшее значение [m]|\phi(x)|[/m] было не больше 3/5. Это условие определит А, а вместе с ним и [m]\phi[/m], продолжающим [m]f[/m].

У меня получилось [m]A=\frac{6}{5}[/m]. А у вас?

Желаю успехов!

Вопрос о значении нормы функционала не задан, поэтому достаточно продолжить функционал нулем на ортогональное дополнение к L и не заниматься арифметикой

Виноват, чушь сморозил. На единичной сфере есть точки, ортопроекции которых на L уже не лежат в единичном шаре. Напр., (1,1)=(2/5, 6/5)+(3/5, -1/5) и f(1,1)=6/5. Сказалась привычка к нормам, порожденным скалярным произведением

Ценное дополнение для ТС!

Даны три дискретные случайные величины x, y, z, изменяющихся с течением времени (например, каждую секунду) так, что всегда выполняется неравенство x < y < z.
Вероятность того, что в любой момент времени z — x > m, равна P1.
Вероятность того, что в любой момент времени z — y > n, равна P2.
В настоящий момент z — x = m, z — y = n.
Найти вероятность того, что в следующий момент времени z — x окажется меньше m, и z — y окажется меньше n (одновременно).

Достаточно ли данных для решения задачи?

Функция полезности имеет вид u=√(x1 x2 ). Найти наилучший набор (x1 x2), если цена товара x1 равна p1=5 д.е., на товар x2 равна p2=10 д.е., а доход составляет 200 д.е.

Привести с помощью алгоритма Лагранжа и ортогональных преобразований к диагональному виду : 2*x1*x3 +(x2*x2).Разбирался с алгоритмом Лагранжа, он применяется для матриц.Т.е нужно перевести 2*x1*x3 +(x2*x2) в матртицу, непоняно как это сделать.И еще не ясно как применять ортогональные преобразования