Порядок элемента

Как найти порядок элемента группы. Число элементов в группе задано. Как найти элемент, имеющий максимальный порядок.Чему равен этот максимальный порядок. Есть ли методы- не просто переборные?

"Число элементов в группе задано" — этого мало, должна быть задана
сама группа.

Группа кольца вычетов по заданному модулю.

Имеется в виду аддитивная группа? (Если модуль m не является простым
числом, то говорить о мультипликативной группе мы не можем.)

Аддитивная группа кольца вычетов по модулю m — циклическая,
в ней есть элементы порядка m, но могут быть и элементы
меньшего порядка, их порядки должны быть делителями числа m.

У меня группа по умножению. Модуль у меня составной-произведение двух простых чисел.

Повеяло криптографией...

Но только если модуль составной, то это всё-таки не группа.
(Но можно рассмотреть группу обратимых элементов.)

Игорь? А можно ли задать Вам вопрос?
Почему Вы не можете сразу написать всю задачу целиком?
Вы уже написали три поста, а что дано, что требуется, до сих пор не ясно.

В теме Группы мне предложили задачу по криптосистеме RSA, а мы ее проходим в школе на спецкурсе. Кругликов предложил подумать, что делать, когда d не знаю. Вот поэтому задаю эти вопросы, у меня мысль про цикл, а для этого надо порядки элементов.

Есть методы "умно-переборные", основанные на теор. Лагранжа: порядок элемента делит порядок группы. Если известно разложение порядка группы на множители — перебор можно существенно сократить.

Универсального непереборного метода нет. Наверное, его и вообще быть не может.

Если задача — найти макс порядок элементов группы — она часто решается довольно просто. Только, при этом, далеко не всегда находится элемент макс. порядка, а только сам порядок.

Посмотри усиленную теорему Эйлера.

Посмотрел, но это дает только максимальный порядок.

Возводите свой элемент в степень, пока единица получится-и все. Алгоритм простой: степень в двоичный вид от старших разрядов к младшим, далее,если 1, то возведение в квадрат (по модулю) и умножение на основание, если 0, то просто в квадрат. Только зачем?
А может подумать сколько классов шифров существует, к какому классу относится RSA-думать как криптоаналитик, а не как математик. Может тогда появятся простые идеи.

, отсюда p+q=n+1-[m]\varphi (n)[/m]. Определяю экспериментально(Excel) порядок какого-либо элемента, для простоты Р(2), порядок Р(2) есть делитель [m]\varphi (n)[/m], поэтому [m]\varphi (n)=2P(2)k[/m], к=1,2,3,…. Тогда [m]p+q=n+1-2P(2)k[/m]. Составляю квадратное уравнение с теоремой Виета [m]{{x}^{2}}-(p+q)x+n=0[/m]. Решаю его при разных к=1,2,3,…. При том к, когда дискриминант есть полный квадрат, получаю два корня [m]{{x}_{1}}=p,{{x}_{2}}=q,[/m] получил факторизацию модуля n.
Пример. N=989. Получил Р(2)=154. p+q=682 при к=1, p+q=374 при к=2, p+q=66 при к=3. При к=3 получаю уравнение [m]{{x}^{2}}-66x+989=0[/m], его корни р=23, q=43. Проверка: 23*43=989.
А вдруг так никто не делал, я не видел???

В учебнике А.В. Рожков О.В. Ниссенбаум Теоретико-числовые методы в криптографии доказывается теорема. Сложность вычисления функции Эйлера не выше сложности задачи факторизации . Там используется квадратное уравнение при наличии функции Эйлера, как у тебя. Но вот оценка функции Эйлера через экспериментальное нахождение порядка элемента-такого я не встречал. Быть может кто-то из преподавателей знает?
В любом случае, это Ваше достижение.

Как найти именно наименьший порядок элемента группы. Как найти все элементы заданного порядка в группе.
В типовом домашнем задании эти задачи есть, а лекции только по линейной алгебре. Лектор говорит, чтобы общую алгебру мы изучали самостоятельно. Наверное, сам не знает. Вот такое обучение в ВУЗе.

найти в группе А12 элемент max порядка (12 в коэф., это группа четных перестановок)
я знаю как найти порядок всей группы, но не могу понять как именно элемента т.к. их очень много это не реально.

Помогите, плз, с задачей.

Доказать, что конечное множество перестановок А является группой относительно операции умножения перестановок, если произведение любой пары элементов из А принадлежит А.

С ассоцитивностью понятно все. Она наследуется из группы перестановок.
Не понимаю, как просто из того, что А замкнуто относительно операции умножения, взять нейтральный и обратный элементы.

Даны угол и точка внутри него ( точка задана своими координатами, начало координат в вершине угла, одна ось по стороне угла). Через эту точку провести отрезок, имеющий концы на сторонах угла так, чтобы полученный треугольник имел наименьший периметр. Найти этот периметр.
Наверное, это хорошо известная задача, но понятного решения я не нашла.

Как из кольца вычетов по заданному модулю сделать группу. С чего начать?

Линейное преобразование унитарного пространства С2 задано матрицей (1 2i / 2 -i)в ортонормированном базисе.Доказать что она нормальная и найти ортонормированный базис из собственных векторов. Пробовал доказать ее нормальность, нашел эрмитово сопряжённую матрицу,но не могу понять что значит коммутирует,и как мне потом найти ортонормированный базис из собственных векторов,их я уже нашел