|
👍 +2 👎 |
Теория групп — не могу решить задачуПомогите, плз, с задачей.
Доказать, что конечное множество перестановок А является группой относительно операции умножения перестановок, если произведение любой пары элементов из А принадлежит А. С ассоцитивностью понятно все. Она наследуется из группы перестановок. Не понимаю, как просто из того, что А замкнуто относительно операции умножения, взять нейтральный и обратный элементы.
теория групп алгебра математика обучение
Маша
|
|
👍 +1 👎 |
Любая перестановка в некоторой конечной степени дает 1.
Отсюда все и следует. |
|
👍 +1 👎 |
Да, я про это думала. А как доказать, что порядок любой перестановки конечен?
|
|
👍 0 👎 |
В конечной группе порядок любого элемента g конечен.
Доказательство. Рассмотрим бесконечную последовательность g, g^2, g^3,... . Так как группа конечна, то найдутся такие i и j, i<j, что g^i=g^j. Но тогда g^(j-i)=1. |
|
👍 +1 👎 |
То есть я правильно понимаю, что утверждение задачи верно не только для подмножества множества перестановок, но и для подмножества любой конечной группы?
|
|
👍 +1 👎 |
Да, получается, что так.
|
|
👍 +1 👎 |
Да. В каком то смысле, любая конечная группа — это подгруппа группы перестановок.
|
|
👍 +1 👎 |
А в группе перестановок существуют какие-то подгруппы, кроме тривиальных и знакопеременной группы (которая из четных перестановок состоит)?
|
|
👍 +1 👎 |
Подгруппы есть, конечно. Берете степени любой перестановки и получаете коммутативную подгруппу.
А вот нормальные подгруппы — это дело другое! Их нет (начиная c n=5), кроме подгруппы четных перестановок. |
|
👍 +1 👎 |
А Вы можете мне по-простому объяснить, в чем смысл "нормальности" подгруппы. Определение я знаю, что фактор-группы только для нормальных подгрупп строят — тоже, но не могу понять почему (на пальцах не могу, а так правильный ответ, про то, что не получится отношения эквивалентности иначе, знаю)? Примеры разбирала, но в голове все вместе не укладывается.
|
|
👍 0 👎 |
На пальцах? Я подумаю)))
|
|
👍 +1 👎 |
... Что такое факторизация? Это отождествление. Фактически, любое знание строится на том, что мы находим в различных объектах нечто общее, объединяем их по какому-то признаку и тем самым факторизуем окружающий мир, разбиваем его на классы)))
Так и здесь: мы отождествляем элементы, лежащие в подгруппе, и рассматриваем ее как единый объект. При этом возникает естественное разбиение на классы все |
|
👍 +1 👎 |
(простите, сорвалось) всей группы, каждый класс тоже ведет себя как единый объект.
Но это только если подгруппа нормальная, то есть, ее элементы действительно ведут себя "одинаково", так же, как их "главный представитель" — единица. Поскольку единица переходит в себя при сопряжении любым элементом, то и вся подгруппа должна вести себя так же. |
|
👍 0 👎 |
Сейчас попробую осмыслить то, что Вы и Юрий Анатольевич написали. Спасибо большое.
|
|
👍 +1 👎 |
Нормальную подгруппу по-другому называют инвариантной.
Она инвариантна относительно сопряжения. Если подгруппа не является нормальной, то существуют другие подгруппы, сопряжённые ей. Если две подгруппы сопряжены друг другу, то они в каком-то смысле похожи друг на друга. А нормальная подгруппа ни на кого не похожа. Может ли Вам помочь такое объяснение? |
|
👍 +1 👎 |
Перестановка раскладывается в произведение непересекающихся циклов.
А поскольку они не пересекаются, то друг с другом коммутируют. |
|
👍 +1 👎 |
Да
|
|
👍 +1 👎 |
Порядок элемента группы
|
|
👍 0 👎 |
Линейная алгебра
|
|
👍 0 👎 |
Нильпотентные элементы
|
|
👍 +1 👎 |
Разложить кольцо в прямую сумму неразложимых идеалов
|
|
👍 0 👎 |
Порядок элемента
|
|
👍 0 👎 |
Группы
|