Группы

Как из кольца вычетов по заданному модулю сделать группу. С чего начать?

С того, что прочитать, что такое кольцо и что такое группа

Изучить модуль: простой он или составной.

Если модуль простой-группа, если составной -не группа????

Формально говоря, в кольце две бинарные операции, которые условно можно назвать сложением и умножением. У кольца вычетов по простому числу есть одно хорошее свойство, связанное с отсутствием в нем делителей нуля (т.е. оно является полем). В группе одна бинарная операция, в отличие от кольца. А вот как связано поле с операциями сложения и умножение и группа с какой-нибудь одной операцией, догадайтесь сами :)

P.S. Для изучения данного вопроса полезно почитать Винберга.

А теперь все же надо уточнить: Игорь где ты учишься, ты студент, какая специальность? А может вдруг в школе?

Ничего тут уточнять не надо — если человек не знает, что такое группа и кольцо, то все бесполезно. Так что, см №2.

учусь в гимназии, в математическом классе. Вот программа нашего спецкурса.

Программа спецкурса

Листок 1. Теория множеств 1
Листок 2. Теория множеств 2. Отображения множеств ... Листок 3. Комбинаторика
Листок 1д. Подстановки 1. Ходим по циклу
Листок 4. Метод математической индукции
Листок 5. Комбинаторика 2. Бином Ньютона
Листок 6. Теория графов 1
Листок 2д. Подстановки 2
Листок 7. Целые числа 1. Делимость целых чисел
Листок 8. Целые числа 2. Алгоритм Евклида
Листок 9. Отношения эквивалентности
Листок 10. Целые числа 3. Сравнения
Листок 11. Целые числа 4. Практические задачи
Листок 12. Теория групп
Листок 3д. Теория графов 2
Листок 13. Графики функций
Листок 4д. Теория групп 2. Гомоморфизмы

Что такое "сделать группу"?

Кольцо — это всегда группа по одной операции и полугруппа по другой. Так что, если сделать — предъявить какую-то структуру группы, то все кольцо группа по "сложению".

Если вопрос — когда оно группа еще и по умножению — Вы на него ответили в №4.

Если сделать — это что-то еще, то и ответ может быть какой-то еще. Например, ввести еще одну операцию, которая образует группу. Или взять какое-то подмножество кольца и "сделать группу" из него и.т.д.

А Винберга читать рано (хотя книжка хорошая), полагаю, разве что введение. Но лучше почитать теорию, выданную к листкам.

Я был не прав.
На счет зубного врача.
Прошу простить.
Рвите когти из гимназии, если еще не поздно, и поступайте в нормальную математическую школу.

Можно на математический факультет любого государственного! университета..
Если Вы еще не возненавидели математику и все что с ней связано.

В группе каждый элемент должен иметь обратный. Пусть рассматриваешь кольцо вычетов по простому модулю m=7. В соответствующей группе сколько должно быть элементов- чему равна функция Эйлера от 7-6. Какой элемент надо выкинуть из множества (0,1,2,3,4,5,6), очевидно-0. Рассмотри составной модуль, например, 15, проделай то же, покажи, проверим.

То, что нейтральный элемент любого кольца по сложению (ноль) всегда необратим по умножению — это всем очевидно. Разумеется, №4 верно с этой очевидной поправкой — после выбрасывания нуля получается хорошо известный объект, имеющий собственное имя.

РЕШЕНИЕ ПРЕДЛОЖЕННОЙ ЗАДАЧИ.
Модуль 527=17*31. Функция Эйлера [m]\varphi (527)=\varphi (17)\varphi (31)=480[/m]. Нахожу секретный ключ d как элемент, обратный к е=7. Решал обратным ходом алгоритма Евклида, получил линейное представление НОД(7,480)=1=2*480+(-134)*7. Взял это соотношение по модулю 480, получил d=343. Теперь расшифрование: [m]{{474}^{343}}(\bmod 527)={{297,407}^{343}}(\bmod 527)=33[/m]. Попробовал в двоичном виде (297 33)=(100101001 100001)-это в алфавите(0,526), а теперь в английском алфавите (0,25) – (10010 10011 00001)=(18,19,1)=RSA. Вот так думаю верно.
А когда нет открытого ключа, то, наверное, можно перебор устроить: знаем модуль, знаем функцию Эйлера, ее разлагаем на простые делители, а порядки элементов –делители, дальше думать надо.

Все верно, но это нетрудная задача. А вот вторая часть?

помогите понять как находить обратные элементы в группе вычетов по модулю ,например, в Z8 обратные {-2,-1} , а в Z7 {-3,-2,-1} Спасибо

Как найти именно наименьший порядок элемента группы. Как найти все элементы заданного порядка в группе.
В типовом домашнем задании эти задачи есть, а лекции только по линейной алгебре. Лектор говорит, чтобы общую алгебру мы изучали самостоятельно. Наверное, сам не знает. Вот такое обучение в ВУЗе.

найти в группе А12 элемент max порядка (12 в коэф., это группа четных перестановок)
я знаю как найти порядок всей группы, но не могу понять как именно элемента т.к. их очень много это не реально.

Помогите, плз, с задачей.

Доказать, что конечное множество перестановок А является группой относительно операции умножения перестановок, если произведение любой пары элементов из А принадлежит А.

С ассоцитивностью понятно все. Она наследуется из группы перестановок.
Не понимаю, как просто из того, что А замкнуто относительно операции умножения, взять нейтральный и обратный элементы.

Как найти порядок элемента группы. Число элементов в группе задано. Как найти элемент, имеющий максимальный порядок.Чему равен этот максимальный порядок. Есть ли методы- не просто переборные?

Снова за помощью. Сколько нильпотентных, идемпотентных элементов в кольце вычетов по модулю 546, сколько там делителей нуля, сколько обратимых элементов.
Можно перебором, но модуль большой. Может кто укажет другие подходы.