Как находить обратные элементы в группе вычетов по модулю

помогите понять как находить обратные элементы в группе вычетов по модулю ,например, в Z8 обратные {-2,-1} , а в Z7 {-3,-2,-1} Спасибо

[m]{{a}^{-1}}={{a}^{\varphi (n)-1}}(\bmod n)[/m]

Как найти именно наименьший порядок элемента группы. Как найти все элементы заданного порядка в группе.
В типовом домашнем задании эти задачи есть, а лекции только по линейной алгебре. Лектор говорит, чтобы общую алгебру мы изучали самостоятельно. Наверное, сам не знает. Вот такое обучение в ВУЗе.

найти в группе А12 элемент max порядка (12 в коэф., это группа четных перестановок)
я знаю как найти порядок всей группы, но не могу понять как именно элемента т.к. их очень много это не реально.

Найти такое натуральное число m,m:530-598, для которого число нильпотентных элементов максимально в кольце Z c индексом m. Первый вопрос из типовика МИРЭА.

Помогите, плз, с задачей.

Доказать, что конечное множество перестановок А является группой относительно операции умножения перестановок, если произведение любой пары элементов из А принадлежит А.

С ассоцитивностью понятно все. Она наследуется из группы перестановок.
Не понимаю, как просто из того, что А замкнуто относительно операции умножения, взять нейтральный и обратный элементы.

Как из кольца вычетов по заданному модулю сделать группу. С чего начать?

Снова за помощью. Сколько нильпотентных, идемпотентных элементов в кольце вычетов по модулю 546, сколько там делителей нуля, сколько обратимых элементов.
Можно перебором, но модуль большой. Может кто укажет другие подходы.