Вопрос по алгебре

Снова за помощью. Сколько нильпотентных, идемпотентных элементов в кольце вычетов по модулю 546, сколько там делителей нуля, сколько обратимых элементов.
Можно перебором, но модуль большой. Может кто укажет другие подходы.

Количество обратимых элементов равно [m]\varphi(546)[/m], гда [m]\varphi[/m] — функция Эйлера.
Это количество натуральных чисел, не превосходящих числа 546 и взаимно простых
с числом 546. Есть формула, по которой можно вычислять [m]\varphi(n)[/m],
если известно разложение [m]n[/m] на простые множители.

Стандартные вопросы самостоятельной работы по алгебре для студентов 1, 2 курсов, обучающихся по специальности " Информационная безопасность". Рекомендованный учебник М. М. Глухов, Елизаров, Нечаев "Алгебра" в двух томах.

В указанной книге есть мои вопрос в виде задач без решений. Постичь теорию по данной книге мне не удается, она слишком сложна для меня.

Начать нужно с разложения числа 546 на простые множители.

Элемент кольца называется нильпотентным, если некоторая его степень равна нулю.
Рассмотрим два примера.

1) Кольцо вычетов по модулю 6.
В этом кольце единственным нильпотентным элементом является 0.
Действительно, рассмотрим любой другой элемент b (b = 1, 2, 3, 4 или 5).
Будем возводить его в различные степени.
Можем ли мы получить 0, то есть число, кратное шести: 6, 12, 18, 24, . . .?
Число, кратное 6, должно быть одновременно кратно 2 и 3.
Чтобы b^n было кратно 2, само число b должно быть кратно 2.
Чтобы b^n было кратно 3, само число b должно быть кратно 3.
Чтобы число b было кратным одновременно и 2, и 3, оно должно быть кратно 6.
Но среди чисел 1, 2, 3, 4, 5 таких нет.

2) Кольцо вычетов по модулю 12.
В этом кольце, кроме 0, нильпотентным элементом является 6.
Проверяем: 6^2=36=0 (mod 12).
Хотя само число 6 и не делится на 12, его степень поделилась на 12.

Догадайтесь, в чём здесь дело. Почему для некоторых m, чтобы степень некоторого
числа делилась на m, само число должно делиться на m, а для некоторых m это не
обязательно?

Используйте следующие утверждения.
1) Всякий элемент кольца либо взаимно прост с модулем, либо делитель нуля.
2) Делители нуля обратных элементов не имеют.
3)Число взаимно простых с модулем элементов определяется функцией Эйлера (см пост Ю.А. Боравлева)
4)Кольцо содержит нильпотентные элементы, если модуль делится на квадрат числа, большего 1.
5) Нильпотент делится на произведение простых делителей разложения модуля.
6)Если элемент — нильпотент, то кратный ему элемент тоже нильпотент, коэффициент кратности-элемент кольца. Сумма нильпотентов тоже нильпотент.

Вот спасибо. А как быть с идемпотентами?

Элемент кольца называется идемпотентным, если его квадрат равен ему самому.
Например, в кольце вычетов по модулю 6 имеем:
3^2=9=3 (mod 6)
или
4^2=16=4 (mod 6).
Если b — идемпотент в кольце вычетов по модулю m, то b^2-b должно делиться на m.
Значит, b(b-1) должно делиться на m.

Почему число 3 — идемпотент в кольце вычетов по модулю 6?
Потому что 3 делится на 3, а (3-1) делится на 2. Вот и получается, что
произведение 3(3-1) делится на 6.

Почему число 4 — идемпотент в кольце вычетов по модулю 6?
Потому что 4 делится на 2, а (4-1) делится на 3. Получается, что
произведение 4(4-1) делится на 6.

Уважаемый Юрий Анатольевич! Вы приводите определения и поясняющие примеры. Это я знаю, практически только это и знаю. Я же нуждаюсь в умении применять знания. Мне нужны алгоритмы, у меня ведь большой модуль 546. Перебором по определению слишком трудоемко.

Так я же не советую Вам перебирать 546 вариантов.
Я посоветовал разложить число 546 на простые множители — вот первый шаг
алгоритма. А когда Вы выпишете разложение на простые множители, станет почти
очевидным, что делать дальше.

Дорогая Наталья! К сожалению, нет с Вами обратной связи.

Для начала хорошо было бы получить от Вас сообщение одного из двух типов:
1) Сообщение, в котором Вы признаётесь, что не умеете раскладывать числа на
простые множители и не знаете, что это такое;
2) Сообщение, в котором Вы в явном виде выписываете разложение числа 546.

В первом случае можно было бы попытаться научить Вас раскладывать числа на простые
множители. Во втором случае можно было бы попытаться объяснить, что делать дальше.

Из Вашего поста #8 вроде бы следует, что всё, кроме идемпотентов, уже
полностью ясно. А так ли это? Хоть бы ответы написали — мы бы проверили.

В моём посте #9 содержалась подсказка, как находить идемпотенты. Но из Вашего
поста #10 следует, что эту подсказку Вы не поняли. А что конкретно не поняли?
А то, что Вам написал Борис Михайлович (#13), Вы поняли? Если непонятно, то
что конкретно непонятно? А если понятно, то поняли ли Вы, что Борис Михайлович
не раскрыл все секреты, и кроме 105 и 442 имеются ещё и другие идемпотенты?

К сожалению, это очень типичная ситуация. Задаёшь ученику вопрос:
"Можешь ли ты разложить число на простые множители?" В ответ — тишина.
Ученик молчит, как партизан на допросе. И возможны две причины, по которым
ученик молчит. Первая причина — в том, что он не понимает таких слов
"разложить", "простые", "множители". Но вместо того, чтобы честно в этом
сознаться, ученик молчит. Вторая причина — противоположная.
Ученик глубоко оскорблён тем, что ему задали такой простой вопрос.

Но в обоих случаях такое молчание ученика не является правильным.
Мне-то как понимать подобное молчание? Получается, что помимо работы по своей
основной специальности — математике, я должен также работать по совместительству
психологом, нянькой, милиционером, врачом, артистом . . .
Конечно же, я стараюсь постепенно совершенствоваться в этих смежных профессиях.
Но всё-таки более разумными являются такие ученики, которые общение
с преподавателем используют с большей пользой.

Уважаемый Юрий Анатольевич. Со школьной программой у меня неплохо.
Основную теорему арифметики я знаю, потому раскладывать число на простые делители умею. Тем более есть готовые решалки в Интернете. Что у меня получилось: нильпотентов нет, проверьте. С идемпотентами не совсем ясно, как их все найти.

Понимаете ли Вы, как устроены идемпотенты по простому модулю?
Если да — склейте потом все по китайской теореме об остатках.

Важно не вообще уметь раскладывать числа на простые делители, а конкретно
выписать разложение числа 546. В посте #9 я написал подсказку:
если b — идемпотент, то b(b-1) должно делиться на 546. А дальше мне трудно
что-то объяснять, пока нет перед глазами разложения числа 546 на простые
множители — объяснение будет тяжеловесным и ненаглядным.

Утверждение о том, что в кольце вычетов по модулю 546 нет нильпотентов, —
не верно.

Вот у меня тоже получилось, что нетривиальных нет.

Разложение на простые делители 546=2*3*7*13
Покажите мне хотя бы один нильпотент (нетривиальный), пожалуйста.

Если a^n делится на 2, то что можно сказать про делимость на 2 самого а?
Аналогичные вопросы про 2*3, 2*3*7*13 :)

А я разве обещал показать Вам нетривиальный нильпотент?
В #22 я написал то, что я написал. Отвечаю только за то, что я написал.
В Вашем задании (это в институте задали?) требуется в ответе написать
количество нильпотентных элементов. Какое количество Вы собираетесь
написать: 0 или 1?

Если произведение двух чисел делится на 2, то что можно сказать про эти числа?
А если произведение делится на 3? А если на 7? А если на 13?
А если произведение двух чисел делится на произведение чисел 2*3*7*13, то что
можно сказать про эти два числа? Это я задаю наводящие вопросы.
На Вашем месте, Наталья, я бы уже сам себе давно задал бы такие вопросы и
написал бы на форуме ответы — в порядке дискуссии. Но с Вами трудновато
вести дискуссию, так как Вы очень скупо делитесь своими соображениями.
И трудно понять, какие вопросы для Вас слишком лёгкие — и как бы не обидеть
Вас слишком лёгким вопросом, а какие вопросы слишком трудные — и как бы не
обидеть Вас слишком трудным вопросом.

В ответе я напишу: нетривиальных нильпотентов 0.
Ваши вопросы не кажутся мне сложными. А вот насколько они наводящие, мне трудно понять.
А вдруг есть формулы для прямого вычисления идемпотентов. Мне представляется, что специалист в абстрактной алгебре это точно должен знать. И даже студент, уже сдавший экзамен по ней.
Пусть мне скажут да или нет. Тогда я сама продолжу.

или [m]{{i}_{2}}=\varphi {{(m)}^{n}}[/m], при этом [m]{{i}_{1}}=1-{{i}_{2}}(\bmod 546)[/m]
Например, n=21, m=26 , тогда [m]{{i}_{1}}[/m]= [m]\varphi {{(21)}^{26}}={{21}^{12}}=105[/m], [m]{{i}_{2}}=442.[/m]
n=13, m=39 , тогда [m]{{i}_{1}}[/m]= [m]\varphi {{(13)}^{42}}={{13}^{13}}=169[/m], [m]{{i}_{2}}=378[/m]

Спасибо всем. Будьте более снисходительны к нам.

помогите понять как находить обратные элементы в группе вычетов по модулю ,например, в Z8 обратные {-2,-1} , а в Z7 {-3,-2,-1} Спасибо

Изобразить заданную область.
|z-1+i| >= 1, Rez < 1, Imz <=-1

Вместо каждой из букв C и D подберите одночлен так, чтобы выполнялось алгебраическое равенство: 3a+C+5a=b+D