Нильпотентные элементы

Найти такое натуральное число m,m:530-598, для которого число нильпотентных элементов максимально в кольце Z c индексом m. Первый вопрос из типовика МИРЭА.

И надо перечислить все эти элементы.

Предлагаю 64х9=576. Тогда нильпотентных эл-тов 12.
Но может быть, есть вариант с большим числом?
Не хочется решать перебором.

Больше не получится, а перебор (небольшой и в меру разумный) неизбежен, потому, что исходная задача не в меру неадекватна :)

Подсказки для Миши —

1. какие элементы нильпотентны в терминах разложения m на простые множители?
2. что можно сказать про разложение m из отрезка [530,598] на простые?

Кстати, хорошая древняя задачка. Пусть задано положительное число A. На сколько частей A1, ..., Ak надо разделить A, чтобы A1+....+Ak=A, A1*A2*....*Ak было максимальным и все Ai — положительны.

Сорри, я облажался — конечно нильпотентов там будет много больше, чем 12 :)

Ю.С. таки сбила с толку :)

)))))
Да, конечно!
Но хоть 64х9 правильно?

Да :)

Я, видимо, катастрофически отстаю от жизни.
Подскажите, пожалуйста, запись из старт-поста "m:530-598" — это
на ультрасовременном математическом языке означает тот же самый
математический факт, о котором в старину писали "530 < m < 598" ?
Так или нет?
А как, в таком случае, на современном языке записать, что m равно 530 ?

Используем теорию.
1. Нильпотентный элемент или нильпотент ― элемент a кольца, удовлетворяющий равенству an = 0 для некоторого натурального n. Минимальное значение n, для которого справедливо это равенство, называется индексом нильпотентности элемента a.
2. Кольцо содержит нильпотенты т. и т.т., кода модуль делится на квадрат натурального числа.
Раскладываем числа 546 и 588 на простые делители: 546=2*3*7*13 ,
588=[m]{{2}^{2}}[/m]*3*[m]{{7}^{2}}[/m]
[m]{{Z}_{546}}[/m] — не содержит нетривиальных нильпотентов, [m]{{Z}_{588}}[/m]- содержит.
3. Элемент-нильпотент, если он делится на произедение делителей модуля. Элемент, кратный нильпотенту, нильпотент, коэффициент кратности-элемент кольца.
Нильпотенты из : 42, 84,126, 168, 210, 252, 294, 336, 378 , 420 , 462 , 504 , 546 .

an=0 — это ничего не ограничивающее условие, таким образом все элементы в нильпотенты попадут.

Вот a^n = 0 — совсем другое дело.

Впрочем, судя по дальнейшему, Вы просто опечатались — обтипографились.

Но давать почти готовые решения — имхо, неверно.

Да и ноль — всегда и везде нильпотент. В [почти] любых структурах.

Их же просили найти все н-ты, а не только нетривиальные.

Спасибо, надеюсь разобраться. Но в типовике еще 6 вопросов.

Это, в конце-концов, Ваш типовик. И решать его Вам — это Ваша самостоятельная работа.

Если с порядками кое-что надо было придумывать (человеку, который никогда про группы вычетов не слышал), то нильпотенты прекрасно ищутся просто по определению, без напрягов извилины.

Вообще , у меня есть весь решенный типовик. Он даже выложен в Интернете. Но ссылку давать не буду. Действительно, это твоя самостоятельная работа.
А может дам ссылку, но в следующем семестре.

помогите понять как находить обратные элементы в группе вычетов по модулю ,например, в Z8 обратные {-2,-1} , а в Z7 {-3,-2,-1} Спасибо

Помогите, плз, с задачей.

Доказать, что конечное множество перестановок А является группой относительно операции умножения перестановок, если произведение любой пары элементов из А принадлежит А.

С ассоцитивностью понятно все. Она наследуется из группы перестановок.
Не понимаю, как просто из того, что А замкнуто относительно операции умножения, взять нейтральный и обратный элементы.

Как найти порядок элемента группы. Число элементов в группе задано. Как найти элемент, имеющий максимальный порядок.Чему равен этот максимальный порядок. Есть ли методы- не просто переборные?

Мы из МИРЭА(информационная безопасность) почитали "вопрос по алгебре" , Там очень похожие на наш типовик вопрсы. Может кто-то из преподавателей нам поможет. Нам так преподают, что почти ничего не понимаем или мы такие. Вот ссылка на наш типовик.
http://vyshka.math.ru/pspdf/1112/algebra-1/sam_rab_1.pdf

Снова за помощью. Сколько нильпотентных, идемпотентных элементов в кольце вычетов по модулю 546, сколько там делителей нуля, сколько обратимых элементов.
Можно перебором, но модуль большой. Может кто укажет другие подходы.

Найдите наибольшее натуральное число,из которого вычеркиванием цифр нельзя получить число, делящееся на 11