Иррациональные уравнения

Решить уравнение sqrt(5-x)=x^2-5. Возвел в квадрат, получил уравнение 4-ой степени, решить не смог.

Обозначьте через t=sqrt(5-x), тогда ур-е приобретет вид t = (t^2-5)^2 — 5. Далее следует вспомнить как решаются уравнения вида t=f(f(t)).

Сделал эту замену, опять получил уравнение 4-ой степени, которое тоже не могу решить. Может, я чего не понял?

Многочлен f(f(t) — t всегда делится на многочлен f(t) — t. Факт!

Не могли бы вы прислать ссылку на доказательство этого факта?

Теорема. Если многочлен f(t) не равен тождественно t, то многочлен
f(f(t))—t делится на многочлен f(t)—t.

Лемма 1. Всякий корень многочлена f(t)-t является также корнем многочлена
f(f(t))—t.
Доказательство. Пусть b — корень многочлена f(t)-t. Тогда f(b)-b=0, f(b)=b,
f(f(b))=f(b)=b, f(f(b))—b=0.

Если у многочлена f(t)—t нет кратных корней, то леммы 1 достаточно для
доказательства теоремы. Если же кратные корни есть, то требуется более
сильная лемма 2.

Лемма 2. Всякий корень кратности k многочлена f(t)-t является также корнем
кратности, не меньшей, чем k, многочлена f(f(t))—t.
Доказательство. Пусть b — корень кратности k многочлена f(t)-t.
Тогда многочлен f(t)-t делится на (t-b)^k:
f(t)-t=(t-b)^k*g(t), где g(t) — некоторый многочлен.
Имеем:

[m]f(t)=t+(t-b)^k g(t)[/m],
[m]f(f(t))=f\bigl(t+(t-b)^k g(t)\bigr)=[/m]
[m]=\bigl(t+(t-b)^k g(t)\bigr)+\Bigl(\bigl(t+(t-b)^k g(t)\bigr)-b\Bigr)^k h(t)=[/m]
[m]=t+(t-b)^k g(t)+\bigl(t-b+(t-b)^k g(t)\bigr)^k h(t)[/m],
где через [m]h(t)[/m] обозначен многочлен [m]g\bigl(t+(t-b)^k g(t)\bigr)[/m].
Далее:
[m]f(f(t))-t=(t-b)^k g(t)+\Bigl((t-b)\bigl(1+(t-b)^{k-1} g(t)\bigr)\Bigr)^k h(t)=[/m]
[m]=(t-b)^k g(t)+(t-b)^k\bigl(1+(t-b)^{k-1} g(t)\bigr)^k h(t)=[/m]
[m]=(t-b)^k\Bigl(g(t)+\bigl(1+(t-b)^{k-1} g(t)\bigr)^k h(t)\Bigr)[/m],
из чего видно, что b — корень кратности, не меньшей, чем k,
многочлена f(f(t))—t.

Спасибо.

, легко получить такой многочлен [m]g(a,b)[/m], что [m]f(a)-f(b)=(a-b)g(a,b)[/m].
Теперь, взяв [m]a=f(t), b=t[/m], получим требуемую делимость. Далее, взяв [m]a=f(f(t)), b=f(t)[/m] и т.д., получим, что не только [m]f(f(t))-t[/m] делится на [m]f(t)-t[/m], но и вообще, что [m]f(f\dots(f(t))\dots)-t[/m] делится на [m]f(t)-t[/m].

Вы думаете, что школьник это осилит?

Думаю, да. Эта задачка не сложнее предлаганмых в тренировочных вариантах С4-С6 ЕГЭ.Те школьники, которые написали ЕГЭ 80 баллов и выше (6600 человек), вполне могут справиться и справляются даже в условиях дефицита отведенного времени.

Игорь, посмотрите внимательно на полученные два уравнения относительно х и относительно t. Как отличаются коэффициенты?

Можно решить это уравнение и по-другому.

Де-а-а-а-а-а.... А какой смайлик обозначает открытый рот, который не может закрыться?

Это по поводу №10 Татьяны Дмитриевны

Браво, Татьяна Дмитриевна!
Помню, как испытал щенячий восторг, когда впервые увидел этот прием. :-)

Аплодисменты, переходящие в овацию. Очень красиво.

А можно и просто "по-школьному" :-)

То, что показала Татьяна Дмитриевна, есть стандартный прием, его иногда называют приемом искусственной параметризации. В данном случае вводим параметр а-5, решаем уравнение относительно а — оно квадратное, затем вспоминаем, что а=5, получаем квадратные уравнения относительно х, решение как у Татьяны Дмитриевны.
Мой совет был : раз Игорь получил уже два уравнения 4-ой степени относительно х и t увидеть, что коэффициенты при четных степенях совпадают, а при нечетных отличаются знаком. Следовательно, х= -t т.е. х=-sqrt(5-x), получаем один корень ( с учетом ОДЗ), понижаем степень исходного уравнения 4-ой степени, получаем второй корень.

Круто! Мне всегда было инетресно каким образом ученик средней школы до этого додумается.

То, что я советовал Игорю — сравнить два уравнения 4-ой степени, это сделала девочка 9-го класса, точнее Физтех -лицея. Ее отец сказал ей в шутку, все равно ты дура, потому поступай не в МФТИ, а в МГЛУ. Там она в тесте по английскому сделала 6 ошибок, никто из преподавателей не смог показать такой уровень. Когда поступила, те же преподаватели выяснили, что английского она практически не знает. Она ответила, что сдавала она не язык, а тест. Для "математика-физика" любой тест-это упражнение на логику отметать чего не может быть.

Решать, решать и еще раз решать, причем долго и упорно, и совершенно самостоятельно. Если в течении нескольких дней такого труда, что-то не решилось посмотреть, как это делают в книге или у нас на форуме. Тогда уж, однажды увиденный, прием не забудешь до конца жизни.

Спасибо всем. Я даже не ожидал. Буду переваривать.Но у меня есть еще задачи.

Советую учебники Шарыгина, Голубева.

Сколько будет 3 в 10-ой степени разделить на 3 в 12-ой степени

У меня домашнее задание. Привести к каноническому виду и выписать матрицу соответствуюжщего линейного преобразования.
F=2x^2-y^2+3z^2+2xy+6xz
На лекциях и семинаре мы разбирали такую задачу. Но там были только такие случаи, когда собственные числа матрицы формы были рациональные, а в моём примере они иррациональные. Семинарист сказал, раберись сам. Но я нигде ничего не нашел.
Заранее спасибо. Вы мне злесь уже помогли.

[m]\[\left\{ \begin{array}{l}
{a^2} — ab + {b^2} = 9\\
{a^2} + ab = 18
\end{array} \right.\][/m]
как она решается?..

эту систему я получил, выделив полный квадрат в уравнении
[m]\[{(3x — {a^2} + ab — {b^2})^2} + {(2{x^2} — {a^2} — ab)^2} + {x^2} + 9 = 6x\][/m]

Ой, как плохо...

помогите, пожалуйста ответить на вопрос