СПРОСИ ПРОФИ
👍
+1
👎 122

Иррациональные уравнения

Решить уравнение sqrt(5-x)=x^2-5. Возвел в квадрат, получил уравнение 4-ой степени, решить не смог.
математика обучение     #1   13 дек 2010 14:10   Увидели: 82 клиента, 9 специалистов   Ответить
👍
+1
👎 1
Обозначьте через t=sqrt(5-x), тогда ур-е приобретет вид t = (t^2-5)^2 — 5. Далее следует вспомнить как решаются уравнения вида t=f(f(t)).
👍
+1
👎 1
Сделал эту замену, опять получил уравнение 4-ой степени, которое тоже не могу решить. Может, я чего не понял?
  #3   13 дек 2010 15:58   Ответить
👍
0
👎 0
Многочлен f(f(t) — t всегда делится на многочлен f(t) — t. Факт!
👍
0
👎 0
Не могли бы вы прислать ссылку на доказательство этого факта?
👍
+1
👎 1
Теорема. Если многочлен f(t) не равен тождественно t, то многочлен
f(f(t))—t делится на многочлен f(t)—t.

Лемма 1. Всякий корень многочлена f(t)-t является также корнем многочлена
f(f(t))—t.
Доказательство. Пусть b — корень многочлена f(t)-t. Тогда f(b)-b=0, f(b)=b,
f(f(b))=f(b)=b, f(f(b))—b=0.

Если у многочлена f(t)—t нет кратных корней, то леммы 1 достаточно для
доказательства теоремы. Если же кратные корни есть, то требуется более
сильная лемма 2.

Лемма 2. Всякий корень кратности k многочлена f(t)-t является также корнем
кратности, не меньшей, чем k, многочлена f(f(t))—t.
Доказательство. Пусть b — корень кратности k многочлена f(t)-t.
Тогда многочлен f(t)-t делится на (t-b)^k:
f(t)-t=(t-b)^k*g(t), где g(t) — некоторый многочлен.
Имеем:

[m]f(t)=t+(t-b)^k g(t)[/m],
[m]f(f(t))=f\bigl(t+(t-b)^k g(t)\bigr)=[/m]
[m]=\bigl(t+(t-b)^k g(t)\bigr)+\Bigl(\bigl(t+(t-b)^k g(t)\bigr)-b\Bigr)^k h(t)=[/m]
[m]=t+(t-b)^k g(t)+\bigl(t-b+(t-b)^k g(t)\bigr)^k h(t)[/m],
где через [m]h(t)[/m] обозначен многочлен [m]g\bigl(t+(t-b)^k g(t)\bigr)[/m].
Далее:
[m]f(f(t))-t=(t-b)^k g(t)+\Bigl((t-b)\bigl(1+(t-b)^{k-1} g(t)\bigr)\Bigr)^k h(t)=[/m]
[m]=(t-b)^k g(t)+(t-b)^k\bigl(1+(t-b)^{k-1} g(t)\bigr)^k h(t)=[/m]
[m]=(t-b)^k\Bigl(g(t)+\bigl(1+(t-b)^{k-1} g(t)\bigr)^k h(t)\Bigr)[/m],
из чего видно, что b — корень кратности, не меньшей, чем k,
многочлена f(f(t))—t.
👍
0
👎 0
Спасибо.
👍
+2
👎 2
, легко получить такой многочлен [m]g(a,b)[/m], что [m]f(a)-f(b)=(a-b)g(a,b)[/m].
Теперь, взяв [m]a=f(t), b=t[/m], получим требуемую делимость. Далее, взяв [m]a=f(f(t)), b=f(t)[/m] и т.д., получим, что не только [m]f(f(t))-t[/m] делится на [m]f(t)-t[/m], но и вообще, что [m]f(f\dots(f(t))\dots)-t[/m] делится на [m]f(t)-t[/m].
👍
0
👎 0
Вы думаете, что школьник это осилит?
  #5   13 дек 2010 18:37   Ответить
👍
0
👎 0
Думаю, да. Эта задачка не сложнее предлаганмых в тренировочных вариантах С4-С6 ЕГЭ.Те школьники, которые написали ЕГЭ 80 баллов и выше (6600 человек), вполне могут справиться и справляются даже в условиях дефицита отведенного времени.
👍
+1
👎 1
Игорь, посмотрите внимательно на полученные два уравнения относительно х и относительно t. Как отличаются коэффициенты?
👍
+17
👎 17
Можно решить это уравнение и по-другому.
👍
+2
👎 2
Де-а-а-а-а-а.... А какой смайлик обозначает открытый рот, который не может закрыться?
👍
0
👎 0
Это по поводу №10 Татьяны Дмитриевны
👍
0
👎 0
Браво, Татьяна Дмитриевна!
Помню, как испытал щенячий восторг, когда впервые увидел этот прием. :-)
👍
0
👎 0
Аплодисменты, переходящие в овацию. Очень красиво.
👍
+10
👎 10
А можно и просто "по-школьному" :-)
👍
+2
👎 2
То, что показала Татьяна Дмитриевна, есть стандартный прием, его иногда называют приемом искусственной параметризации. В данном случае вводим параметр а-5, решаем уравнение относительно а — оно квадратное, затем вспоминаем, что а=5, получаем квадратные уравнения относительно х, решение как у Татьяны Дмитриевны.
Мой совет был : раз Игорь получил уже два уравнения 4-ой степени относительно х и t увидеть, что коэффициенты при четных степенях совпадают, а при нечетных отличаются знаком. Следовательно, х= -t т.е. х=-sqrt(5-x), получаем один корень ( с учетом ОДЗ), понижаем степень исходного уравнения 4-ой степени, получаем второй корень.
👍
0
👎 0
Круто! Мне всегда было инетресно каким образом ученик средней школы до этого додумается.
👍
+2
👎 2
То, что я советовал Игорю — сравнить два уравнения 4-ой степени, это сделала девочка 9-го класса, точнее Физтех -лицея. Ее отец сказал ей в шутку, все равно ты дура, потому поступай не в МФТИ, а в МГЛУ. Там она в тесте по английскому сделала 6 ошибок, никто из преподавателей не смог показать такой уровень. Когда поступила, те же преподаватели выяснили, что английского она практически не знает. Она ответила, что сдавала она не язык, а тест. Для "математика-физика" любой тест-это упражнение на логику отметать чего не может быть.
👍
+1
👎 1
Решать, решать и еще раз решать, причем долго и упорно, и совершенно самостоятельно. Если в течении нескольких дней такого труда, что-то не решилось посмотреть, как это делают в книге или у нас на форуме. Тогда уж, однажды увиденный, прием не забудешь до конца жизни.
👍
+2
👎 2
Спасибо всем. Я даже не ожидал. Буду переваривать.Но у меня есть еще задачи.
  #19   15 дек 2010 23:39   Ответить
👍
+1
👎 1
Советую учебники Шарыгина, Голубева.

Задайте свой вопрос по математике
профессионалам

Сейчас онлайн 75 репетиторов по математике
Получите ответ профи быстро и бесплатно

Другие вопросы на эту тему:

👍
+1
👎 12

Степени, деление степеней   2 ответа

Сколько будет 3 в 10-ой степени разделить на 3 в 12-ой степени
  17 дек 2010 18:32  
👍
0
👎 015

Квадратичная форма   15 ответов

У меня домашнее задание. Привести к каноническому виду и выписать матрицу соответствуюжщего линейного преобразования.
F=2x^2-y^2+3z^2+2xy+6xz
На лекциях и семинаре мы разбирали такую задачу. Но там были только такие случаи, когда собственные числа матрицы формы были рациональные, а в моём примере они иррациональные. Семинарист сказал, раберись сам. Но я нигде ничего не нашел.
Заранее спасибо. Вы мне злесь уже помогли.
  05 дек 2014 10:15  
👍
0
👎 04

5 класс. математика. Автор Алдымуратова   4 ответа

Помогите, пожалуйста, решить домашнюю работу.Задачи помечены значком повышенной трудности. Зачем задавать их на дом?
Задача 1180.
Учебник, который должен быть набран на компьютере, раздали трем операторам.Первый набрал семь двадцатых учебника.второй 0, 6 оставшейся части учебника, третий -остальную часть. Третий оператор набрал на 120 стр меньше, чем первый и второй вместе.Сколько страниц в учебнике?

Как мы решаем.
Пусть икс стр.в…
👍
+1
👎 18

Система нелинейных уравнений   8 ответов

[m]\[\left\{ \begin{array}{l}
{a^2} — ab + {b^2} = 9\\
{a^2} + ab = 18
\end{array} \right.\][/m]
как она решается?..

эту систему я получил, выделив полный квадрат в уравнении
[m]\[{(3x — {a^2} + ab — {b^2})^2} + {(2{x^2} — {a^2} — ab)^2} + {x^2} + 9 = 6x\][/m]
  13 июл 2013 18:13  
👍
0
👎 00

Функциональное уравнение   0 ответов

Ой, как плохо...
👍
+2
👎 227

Какая последняя цифра числа 2017 в 4207-ой степени?   27 ответов

помогите, пожалуйста ответить на вопрос
  19 окт 2010 20:04  
ASK.PROFI.RU © 2020-2024