👍 0 👎 |
Квадратичная формаУ меня домашнее задание. Привести к каноническому виду и выписать матрицу соответствуюжщего линейного преобразования.
F=2x^2-y^2+3z^2+2xy+6xz На лекциях и семинаре мы разбирали такую задачу. Но там были только такие случаи, когда собственные числа матрицы формы были рациональные, а в моём примере они иррациональные. Семинарист сказал, раберись сам. Но я нигде ничего не нашел. Заранее спасибо. Вы мне злесь уже помогли. |
👍 0 👎 |
Помогите пожалуйста, в понедельник сдавать.
Удивительно, нигде в литературе ни слова о моем случае. |
👍 +2 👎 |
А чем Вас так смущают иррациональные числа? Такие способы решения приведенной задачи как метод Лагранжа или метод собственных значений или метод Якоби никак не зависят от того, рациональные у Вас собственные значения или иррациональные. Просто смотрите на собственные значения как на действительные числа и решайте так же, как Вы решали в случае рациональных собственных значений.
|
👍 0 👎 |
Вот разбирали задачу. Привести к каноническому виду F=3x^2+10xy+3y^2-2x-14y-13.
Нашли собственные числа : (-2)и 8 и записали f=-2x(1)^2+8y(1)^2 У меня же F=2x^2-y^2+3z^2+2xy+6xz Здесь корни иррациональные 0, 2+sqrt(13), 2-sqrt(13) и как записать, непонятно. |
👍 +2 👎 |
Метод Якоби в Вашем случае не проходит-определитель матрицы равен нулю. Через собственные значения будут технические проблемы. Лучше всего ,думаю, метод Лагранжа.
|
👍 0 👎 |
Попробовал Лагранжем. Вот что получилось:
F=-(x(2@-x(1)^2+3(x(1)+x(3))^2. Можно проверить??? А вот с матрицей преобразования мне совсем не понятно. |
👍 0 👎 |
Помогите все же с матрицей. Никак не получается.
У всех были целые собственные чила и все просто. |
👍 0 👎 |
Так Вы напишите, как х(1), х(2 и х(3) через х, у и z выражаются, а иначе как проверять-то?
|
👍 0 👎 |
Я получил канонический вид выделением полных квадратов F=-(y-x)^2+9x+z)^2. но как выписать матрицу соответствующего линейного пребразования совсем не понимаю.
|
👍 0 👎 |
Вы расстроили Лагранжа, т.к. Вы выделили квадрат неправильно.
По методу Лагранжа должно быть так: [m]2x^2-y^2+3z^2+2xy+6xz = (\sqrt{2}x+\frac{1}{\sqrt{2}}y+\frac{3}{\sqrt{2}}z)^2-\frac{3}{2}y^2-\frac{3}{2}z^2-3yz=(\sqrt{2}x+\frac{1}{\sqrt{2}}y+\frac{3}{\sqrt{2}}z)^2-\Big(\sqrt{\frac{3}{2}}y+\sqrt{\frac{3}{2}}z\Big)^2+0\cdot z^2.[/m] Сделаем линейную невырожденную замену: [m]t_1=\sqrt{2}x+\frac{1}{\sqrt{2}}y+\frac{3}{\sqrt{2}}z, t_2 = \sqrt{\frac{3}{2}}y+\sqrt{\frac{3}{2}}z, t_3=z.[/m] Тогда в новом базисе квадратичная форма имеет канонический вид: [m]t_1^2-t_2^2+0\cdot t_3^2.[/m] |
👍 +1 👎 |
Вынужден вступиться за Кирилла. Исходя из устройства предложенной квадратичной формы он сделал линейную невырожденную замену:
[m]{{t}_{1}}=x[/m] [m]{{t}_{2}}=y-x[/m] [m]{{t}_{3}}=x+z[/m] Тогда в новом базисе квадратичная форма имеет вид: [m]F=0t_{1}^{2}-t_{2}^{2}+3t_{3}^{2}[/m] Матрица перехода от старых переменных к новым имеет вид по строкам 100 110 -101 Проверка показывает, что матрица [m]{S}'AS[/m], как и положено, имеет диагональный вид 0 0 0 0-1 0 0 0 3 И чем же вид Кирилла хуже Вашего. Мне кажется он лучше. |
👍 −1 👎 |
Вид:
[m]F=0\cdot t_1^2-t_2^2+3\cdot t_3^2[/m] не есть канонический вид, надо еще тройку убрать, но это мелочь. С точностью до множителя три у Кирилла получен правильный канонический вид (надо только, как Вы это и сделали, проверить, что замена невырожденная), но получен он, возможно, благодаря случайности (а может быть и нет). Я думаю, что, в данном случае, предпочтительно пользоваться универсальными методами. Но если в решении Кирилла убрать тройку и показать, что сделанная замена невырожденная, то решение, разумеется, будет верным. |
👍 +1 👎 |
Первый раз вижу, что тройка мешает каноническому виду, тогда уж и минус должен мешать. Может на мехмате свое определение.
Я учился у непоследнего математика -Дмитрия Владимировича Беклемишева. |
👍 +1 👎 |
последняя должна содержать только коэффициенты из множества [m] \{-1,0,1\}[\m].
http://www.solitaryroad.com/c138.html (см. раздел Real quadratic forms). Минус нельзя убрать (оставаясь над полем [m]\mathbb{R}[/m]), т.к. закон инерции квадратичной формы никто не отменял |
👍 +1 👎 |
А если ссылаться на отечественные источники http://mathhelpplanet.com/static.php?p=privedenie-kvadratichnoi-formy-k-kanonich…
Вот только недавно со студентом приводили форму F=11x^2+5y^2+2z^2+16xy+4xz-20yz из задачника Ефимов, Поспелов (задача 3.213). Вот ответ [m]9t_{1}^{2}+18t_{2}^{2}-9t_{3}^{2}[/m] |
👍 −1 👎 |
Система счисления — это
|
👍 0 👎 |
Задача
|
👍 0 👎 |
Задачу по линалу
|
👍 0 👎 |
Иррациональная задача
|
👍 +1 👎 |
Иррациональные уравнения
|
👍 0 👎 |
Преобразовани и последующий за ним поворот-прошу помощи.
|