СПРОСИ ПРОФИ
👍
0
👎 015

Квадратичная форма

У меня домашнее задание. Привести к каноническому виду и выписать матрицу соответствуюжщего линейного преобразования.
F=2x^2-y^2+3z^2+2xy+6xz
На лекциях и семинаре мы разбирали такую задачу. Но там были только такие случаи, когда собственные числа матрицы формы были рациональные, а в моём примере они иррациональные. Семинарист сказал, раберись сам. Но я нигде ничего не нашел.
Заранее спасибо. Вы мне злесь уже помогли.
математика обучение     #1   05 дек 2014 10:15   Увидели: 69 клиентов, 3 специалиста   Ответить
👍
0
👎 0
Помогите пожалуйста, в понедельник сдавать.
Удивительно, нигде в литературе ни слова о моем случае.
  #2   05 дек 2014 20:19   Ответить
👍
+2
👎 2
А чем Вас так смущают иррациональные числа? Такие способы решения приведенной задачи как метод Лагранжа или метод собственных значений или метод Якоби никак не зависят от того, рациональные у Вас собственные значения или иррациональные. Просто смотрите на собственные значения как на действительные числа и решайте так же, как Вы решали в случае рациональных собственных значений.
👍
0
👎 0
Вот разбирали задачу. Привести к каноническому виду F=3x^2+10xy+3y^2-2x-14y-13.
Нашли собственные числа : (-2)и 8 и записали f=-2x(1)^2+8y(1)^2
У меня же F=2x^2-y^2+3z^2+2xy+6xz Здесь корни иррациональные 0, 2+sqrt(13), 2-sqrt(13) и как записать, непонятно.
  #4   07 дек 2014 11:12   Ответить
👍
+2
👎 2
Метод Якоби в Вашем случае не проходит-определитель матрицы равен нулю. Через собственные значения будут технические проблемы. Лучше всего ,думаю, метод Лагранжа.
👍
0
👎 0
Попробовал Лагранжем. Вот что получилось:
F=-(x(2@-x(1)^2+3(x(1)+x(3))^2.
Можно проверить???
А вот с матрицей преобразования мне совсем не понятно.
  #6   09 дек 2014 13:16   Ответить
👍
0
👎 0
Помогите все же с матрицей. Никак не получается.
У всех были целые собственные чила и все просто.
  #7   10 дек 2014 16:43   Ответить
👍
0
👎 0
Так Вы напишите, как х(1), х(2 и х(3) через х, у и z выражаются, а иначе как проверять-то?
👍
0
👎 0
Я получил канонический вид выделением полных квадратов F=-(y-x)^2+9x+z)^2. но как выписать матрицу соответствующего линейного пребразования совсем не понимаю.
  #9   11 дек 2014 13:25   Ответить
👍
0
👎 0
F=-(y-x)^2+3(x+z)^2
  #10   11 дек 2014 13:27   Ответить
👍
0
👎 0
Вы расстроили Лагранжа, т.к. Вы выделили квадрат неправильно.

По методу Лагранжа должно быть так:
[m]2x^2-y^2+3z^2+2xy+6xz = (\sqrt{2}x+\frac{1}{\sqrt{2}}y+\frac{3}{\sqrt{2}}z)^2-\frac{3}{2}y^2-\frac{3}{2}z^2-3yz=(\sqrt{2}x+\frac{1}{\sqrt{2}}y+\frac{3}{\sqrt{2}}z)^2-\Big(\sqrt{\frac{3}{2}}y+\sqrt{\frac{3}{2}}z\Big)^2+0\cdot z^2.[/m]
Сделаем линейную невырожденную замену:
[m]t_1=\sqrt{2}x+\frac{1}{\sqrt{2}}y+\frac{3}{\sqrt{2}}z, t_2 = \sqrt{\frac{3}{2}}y+\sqrt{\frac{3}{2}}z, t_3=z.[/m]
Тогда в новом базисе квадратичная форма имеет канонический вид:
[m]t_1^2-t_2^2+0\cdot t_3^2.[/m]
👍
+1
👎 1
Вынужден вступиться за Кирилла. Исходя из устройства предложенной квадратичной формы он сделал линейную невырожденную замену:
[m]{{t}_{1}}=x[/m]
[m]{{t}_{2}}=y-x[/m]
[m]{{t}_{3}}=x+z[/m]
Тогда в новом базисе квадратичная форма имеет вид:
[m]F=0t_{1}^{2}-t_{2}^{2}+3t_{3}^{2}[/m]
Матрица перехода от старых переменных к новым имеет вид по строкам
100
110
-101
Проверка показывает, что матрица [m]{S}'AS[/m], как и положено, имеет диагональный вид
0 0 0
0-1 0
0 0 3

И чем же вид Кирилла хуже Вашего. Мне кажется он лучше.
👍
−1
👎 -1
Вид:
[m]F=0\cdot t_1^2-t_2^2+3\cdot t_3^2[/m]
не есть канонический вид, надо еще тройку убрать, но это мелочь.
С точностью до множителя три у Кирилла получен правильный канонический вид (надо только, как Вы это и сделали, проверить, что замена невырожденная), но получен он, возможно, благодаря случайности (а может быть и нет). Я думаю, что, в данном случае, предпочтительно пользоваться универсальными методами.

Но если в решении Кирилла убрать тройку и показать, что сделанная замена невырожденная, то решение, разумеется, будет верным.
👍
+1
👎 1
Первый раз вижу, что тройка мешает каноническому виду, тогда уж и минус должен мешать. Может на мехмате свое определение.
Я учился у непоследнего математика -Дмитрия Владимировича Беклемишева.
👍
+1
👎 1
последняя должна содержать только коэффициенты из множества [m] \{-1,0,1\}[\m].
http://www.solitaryroad.com/c138.html (см. раздел Real quadratic forms).

Минус нельзя убрать (оставаясь над полем [m]\mathbb{R}[/m]), т.к. закон инерции квадратичной формы никто не отменял :)
👍
+1
👎 1
А если ссылаться на отечественные источники http://mathhelpplanet.com/static.php?p=privedenie-kvadratichnoi-formy-k-kanonich…
Вот только недавно со студентом приводили форму
F=11x^2+5y^2+2z^2+16xy+4xz-20yz
из задачника Ефимов, Поспелов (задача 3.213). Вот ответ
[m]9t_{1}^{2}+18t_{2}^{2}-9t_{3}^{2}[/m]

Задайте свой вопрос по математике
профессионалам

Сейчас онлайн 75 репетиторов по математике
Получите ответ профи быстро и бесплатно

Другие вопросы на эту тему:

👍
−1
👎 -12

Система счисления — это   2 ответа

1. множество натуральных чисел и знаков арифметических действий
2. произвольная последовательность цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
3. бесконечная последовательность цифр 0, 1
4. форма записи чисел в виде мантисы и порядка
5. знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов (цифр) некоторого алфавита
👍
0
👎 02

Задача   2 ответа

Из натуральных чисел от 1 до 2015 Женя хочет выбрать несколько и выписать в ряд так,чтобы сумма любых четырёх последовательно написанных в ряду чисел не делилась на три,а сумма любых пяти последовательных в этом ряду чисел делилась на 3.Какое наибольшее количество чисел может выбрать Женя?
  14 май 2015 17:12  
👍
0
👎 08

Задачу по линалу   8 ответов

Даны векторы a(1,0,2), b(0,1,1) , c(2,-1,4). Лучи оа, оb, oc являются рёбрами трехгранного угла Т. Лежит ли точка d(1,1.4) внутри угла Т, вне Т, на одной(какой) границе.
В учебниках никакого условия не нашел, на лекциях не было.
  27 окт 2014 15:47  
👍
0
👎 013

Иррациональная задача   13 ответов

Ненулевые числа a и b удовлетворяют равенствуa^2*b^2(a^2*b^2 + 4) = 2(a^6 + b^6).Докажите, что хотя бы одно из них иррационально.
Вот эта задача, за которую внук получил двойку. Эта задача входила в его именное домашнее задание. Поэтому ее в классе не разбирали. К учителю внук подходить не хочет. Тоо говорит думать надо. Я хоть и решал в свое время уравнения в частных производных в этой задаче у меня никаких идей. Прошу помочь.
  15 апр 2014 09:42  
👍
+1
👎 122

Иррациональные уравнения   22 ответа

Решить уравнение sqrt(5-x)=x^2-5. Возвел в квадрат, получил уравнение 4-ой степени, решить не смог.
  13 дек 2010 14:10  
👍
0
👎 02

Преобразовани и последующий за ним поворот-прошу помощи.   2 ответа

Выполнив последовательно преобразование координат:поворот,а затем паралельный перенос координатных осей,преобразовать к каноническому виду уравнение второго порядка и построить ее в исходной системе координат,а также найти параметры кривой.5x^2+2*sqrt(3)*x*y+3y^2-2*sqrt(3)*x-6y-9=0
  29 окт 2010 08:51  
ASK.PROFI.RU © 2020-2024