Иррациональная задача

Ненулевые числа a и b удовлетворяют равенствуa^2*b^2(a^2*b^2 + 4) = 2(a^6 + b^6).Докажите, что хотя бы одно из них иррационально.
Вот эта задача, за которую внук получил двойку. Эта задача входила в его именное домашнее задание. Поэтому ее в классе не разбирали. К учителю внук подходить не хочет. Тоо говорит думать надо. Я хоть и решал в свое время уравнения в частных производных в этой задаче у меня никаких идей. Прошу помочь.

На первый взгляд ничего (если не использовать сильно нешкольную, и даже не второшкольную, теорию), кроме нудной и безыдейной задачи на элементарные свойства делимости не вижу. Предположить обратное и тупо получить противоречие.

А потом подойти в учителю и попросить предъявить какое-то более разумное доказательство либо подтвердить, что оно ему неизвестно.

Без делимости тоже можно, причем проще. Достаточно явно выразить a через отношение k = b/a.

Прямое следствие №3 — особенно забавно выглядит, если №3 не рассказать и сразу выписать результат: 0 = Прав. часть — Лев.часть = (a^4 — 2b^2)(2a^2 — b^4) :)

Уравнения в частных производных здесь не помогут.
Мне кажется, что должно быть что-то похожее
на доказательство иррациональности корня из 2.

Знает ли Ваш внук доказательство иррациональности корня из 2?
Нужно знать и понимать это доказательство.
А иррациональнось корня из 7 может доказать?

Итак, рассуждаем от противного.
Допустим, что оба числа a и b — рациональные.
Тогда каждое из них можно представить в виде несократимой дроби:
(1) a = p/q,
(2) b = r/s,
где p, q, r, s — целые числа.
Вместо a и b подставим в исходное уравнение p, q, r, s по формулам (1) и (2).
Получим уравнение в целых числах (причём p и r — ненулевые).
Нужно доказать, что уравнение не имеет решений в целых числах.
Рассмотрим случай, когда все числа p, q, r, s — нечётные.
Придём к противоречию (но может быть, и не придём).
Рассмотрим следующий случай, и так далее.
Если хотя бы в одном из случаев не придём к противоречию,
то придётся действовать более хитро.
Вместо чётности/нечётности будем рассматривать остатки от деления на 3.
Допустим, что p и q дают 1 в остатке при делении на 3,
а r и s дают 2 в остатке при делении на 3, и так далее.
Но теперь придётся рассматривать гораздо больше случаев.

Рассмотреть исходное выражение как уравнение от двух переменных. Его корни +-sqrt(2) и +-sqrt(2)/

Задача действительно из разряда ни уму, ни сердцу.
Из симметрии очевидно , что искомые числа можно искать в виде a=|b|, тогда далее все совсем элементарно находится.
Можно было бы усложнить задачу: доказать , что во всех парах a,b хотя бы одно число иррационально.
Автор задачи-Агаханов.

Можно, но это не будет решением задачи :) Там просят именно "усложненную" версию.

В условии задачи сказано "Докажите, что хотя бы одно из них иррационально."
Внук первый раз осмелился спорить с учителем. Сказал, вот найдены два иррациоеальных числа-это и есть решение задачи. Учитель опять сказал, иди думай еще. Что не так?
Прочитав все, что здесь написано, я догадывюсь. Но хочу пойти в школу и сказать . Каков вопрос, таков ответ.

Юрий Маркович, если найдены два иррациональных числа, удовлетворяющих уравнению — это не доказательство, потому что из этого ещё не следует, что не найдётся пары рациональных чисел, которые также будут решением (если не доказана единственность).
Ну, например, для уравнения a-b=0 можно взять любые совпадающие иррациональные числа, и это будет решением. Но можно ведь взять и рациональные.

А чем не нравится решение, например, из №3?

Хочу вступиться за задачу и её автора.
Вот если бы речь шла о том, чтобы разложить многочлен на множители — наверное, нареканий не было бы? Понятно, что это полезное умение, и задачи на эту тему вполне оправданны.
А здесь дополнительно к этому нужно ещё сообразить, как обращение в нуль полученных сомножителей связано с иррациональностью операндов.
И это тоже важное умение: увидеть связь, казалось бы, далёких друг от друга понятий. Умение взглянуть на задачу с нестандартного ракурса (и порадоваться установленной неожиданной связи) — очень важно для человека творческого, в какой бы области он ни применял свои способности.

Есть общеизвестные (но не школьнику) штатные способы разложения на множители любого многочлена на неприводимые множители. Но применять их при ручном, некомпьютерном, счете глупо.

Есть методы наколенные — это творчество в чистом виде. Вот только непонятно, насколько такое творчество целесообразно. Не говоря уже о том, что ни один человек не сможет творчески разложить все [подсунутые ему] многочлены малой степени и с малыми коэффициентами — так что к творчеству примешивается лотерея "удалось — не удалось".

Наконец, есть некий набор многочленов, которые полезно уметь раскладывать на множители. Входит ли многочлен из старт-поста в этот список — большой вопрос.

Да и можно обойтись без разложения на множители, в данном конкретном случае.

Исходное выражение симметрично, ранее уже обсуждался вопрос о разложении симметрических многочленов, включая разложение на несимметрические множители с применением неопределенных множителей. В данном случае [m]({{a}^{4}}-2{{b}^{2}})({{b}^{4}}-2{{a}^{2}})=0[/m], откуда [m]{{(\frac{{{a}^{2}}}{b})}^{2}}=2[/m] ,
[m]{{(\frac{{{b}^{2}}}{a})}^{2}}=2[/m]. Теперь ясно, что хотя бы одно из чисел a, b иррационально.
Я привел выше два числа a,b, равные корню из двух. Сознательно. И правильно, что внук Ю.М. стал спорить с учителем. И прав, по моему Ю.М. , формулировку задачи можно понимать по разному. Внук защищал свой ответ , как он понял вопрос. Задача учителя разъяснить ученику возжные разные формулировки, а не говорить, что тот не решил задачу.

У меня домашнее задание. Привести к каноническому виду и выписать матрицу соответствуюжщего линейного преобразования.
F=2x^2-y^2+3z^2+2xy+6xz
На лекциях и семинаре мы разбирали такую задачу. Но там были только такие случаи, когда собственные числа матрицы формы были рациональные, а в моём примере они иррациональные. Семинарист сказал, раберись сам. Но я нигде ничего не нашел.
Заранее спасибо. Вы мне злесь уже помогли.

Сегодня разбирали на занятии с учеником. Им её в школе на дом задали.

4-угольник ABCD вписан в окружность и описан около окружности. Вписанная окружность касается сторон 4-угольника в точках К,L,M,N. Отношение площадей 4-угольников KLMN и ABCD равно k. Угол между диагоналями AC и BD равен [m]\varphi[/m]. Радиус описанной окружности равен R. Найти площадь 4-угольника ABCD.

НОД и НОК
Сколько пар натуральных чисел удовлетворяют равенству НОД(x,y)+НОК(x,y)=2011?

Вот попалась задачка из Гиа второй части, решить не могу, подходила к учителю, она сказала подумает, а я хочу сейчас решить.
Условие:
При каком значении параметра a, уравнение у=х^2+2a|x|-a^2 не имеет общих точек с прямой у=а-6 ?
Подскажите с чего начать? (Заранее спасибо)

Задание:Вычислить значения частных производных функции z (x,y), заданной неявно, в данной точке М0(х0,у0,z0) с точностью до двух знаков.
x^3+y^3+z^3-3xyz=4
Подскажите пожалуйста решение

Сколько частных производных третьего порядка имеет функция семи переменных. Начал считать прямо, что_то много. А как иначе?