СПРОСИ ПРОФИ
👍
0
👎 013

Иррациональная задача

Ненулевые числа a и b удовлетворяют равенствуa^2*b^2(a^2*b^2 + 4) = 2(a^6 + b^6).Докажите, что хотя бы одно из них иррационально.
Вот эта задача, за которую внук получил двойку. Эта задача входила в его именное домашнее задание. Поэтому ее в классе не разбирали. К учителю внук подходить не хочет. Тоо говорит думать надо. Я хоть и решал в свое время уравнения в частных производных в этой задаче у меня никаких идей. Прошу помочь.
математика обучение     #1   15 апр 2014 09:42   Увидели: 73 клиента, 4 специалиста   Ответить
👍
0
👎 0
На первый взгляд ничего (если не использовать сильно нешкольную, и даже не второшкольную, теорию), кроме нудной и безыдейной задачи на элементарные свойства делимости не вижу. Предположить обратное и тупо получить противоречие.

А потом подойти в учителю и попросить предъявить какое-то более разумное доказательство либо подтвердить, что оно ему неизвестно.
  #2   15 апр 2014 16:20   Ответить
👍
0
👎 0
Без делимости тоже можно, причем проще. Достаточно явно выразить a через отношение k = b/a.
  #3   15 апр 2014 17:22   Ответить
👍
0
👎 0
Прямое следствие №3 — особенно забавно выглядит, если №3 не рассказать и сразу выписать результат: 0 = Прав. часть — Лев.часть = (a^4 — 2b^2)(2a^2 — b^4) :)
  #5   15 апр 2014 18:50   Ответить
👍
0
👎 0
Уравнения в частных производных здесь не помогут.
Мне кажется, что должно быть что-то похожее
на доказательство иррациональности корня из 2.

Знает ли Ваш внук доказательство иррациональности корня из 2?
Нужно знать и понимать это доказательство.
А иррациональнось корня из 7 может доказать?

Итак, рассуждаем от противного.
Допустим, что оба числа a и b — рациональные.
Тогда каждое из них можно представить в виде несократимой дроби:
(1) a = p/q,
(2) b = r/s,
где p, q, r, s — целые числа.
Вместо a и b подставим в исходное уравнение p, q, r, s по формулам (1) и (2).
Получим уравнение в целых числах (причём p и r — ненулевые).
Нужно доказать, что уравнение не имеет решений в целых числах.
Рассмотрим случай, когда все числа p, q, r, s — нечётные.
Придём к противоречию (но может быть, и не придём).
Рассмотрим следующий случай, и так далее.
Если хотя бы в одном из случаев не придём к противоречию,
то придётся действовать более хитро.
Вместо чётности/нечётности будем рассматривать остатки от деления на 3.
Допустим, что p и q дают 1 в остатке при делении на 3,
а r и s дают 2 в остатке при делении на 3, и так далее.
Но теперь придётся рассматривать гораздо больше случаев.
👍
0
👎 0
Рассмотреть исходное выражение как уравнение от двух переменных. Его корни +-sqrt(2) и +-sqrt(2)/
👍
0
👎 0
Задача действительно из разряда ни уму, ни сердцу.
Из симметрии очевидно , что искомые числа можно искать в виде a=|b|, тогда далее все совсем элементарно находится.
Можно было бы усложнить задачу: доказать , что во всех парах a,b хотя бы одно число иррационально.
Автор задачи-Агаханов.
👍
0
👎 0
Можно, но это не будет решением задачи :) Там просят именно "усложненную" версию.
  #8   16 апр 2014 16:56   Ответить
👍
0
👎 0
В условии задачи сказано "Докажите, что хотя бы одно из них иррационально."
Внук первый раз осмелился спорить с учителем. Сказал, вот найдены два иррациоеальных числа-это и есть решение задачи. Учитель опять сказал, иди думай еще. Что не так?
Прочитав все, что здесь написано, я догадывюсь. Но хочу пойти в школу и сказать . Каков вопрос, таков ответ.
  #9   17 апр 2014 11:32   Ответить
👍
+1
👎 1
Юрий Маркович, если найдены два иррациональных числа, удовлетворяющих уравнению — это не доказательство, потому что из этого ещё не следует, что не найдётся пары рациональных чисел, которые также будут решением (если не доказана единственность).
Ну, например, для уравнения a-b=0 можно взять любые совпадающие иррациональные числа, и это будет решением. Но можно ведь взять и рациональные.
👍
0
👎 0
А чем не нравится решение, например, из №3?
👍
+1
👎 1
Хочу вступиться за задачу и её автора.
Вот если бы речь шла о том, чтобы разложить многочлен на множители — наверное, нареканий не было бы? Понятно, что это полезное умение, и задачи на эту тему вполне оправданны.
А здесь дополнительно к этому нужно ещё сообразить, как обращение в нуль полученных сомножителей связано с иррациональностью операндов.
И это тоже важное умение: увидеть связь, казалось бы, далёких друг от друга понятий. Умение взглянуть на задачу с нестандартного ракурса (и порадоваться установленной неожиданной связи) — очень важно для человека творческого, в какой бы области он ни применял свои способности.
👍
0
👎 0
Есть общеизвестные (но не школьнику) штатные способы разложения на множители любого многочлена на неприводимые множители. Но применять их при ручном, некомпьютерном, счете глупо.

Есть методы наколенные — это творчество в чистом виде. Вот только непонятно, насколько такое творчество целесообразно. Не говоря уже о том, что ни один человек не сможет творчески разложить все [подсунутые ему] многочлены малой степени и с малыми коэффициентами — так что к творчеству примешивается лотерея "удалось — не удалось".

Наконец, есть некий набор многочленов, которые полезно уметь раскладывать на множители. Входит ли многочлен из старт-поста в этот список — большой вопрос.

Да и можно обойтись без разложения на множители, в данном конкретном случае.
  #13   19 апр 2014 20:53   Ответить
👍
0
👎 0
Исходное выражение симметрично, ранее уже обсуждался вопрос о разложении симметрических многочленов, включая разложение на несимметрические множители с применением неопределенных множителей. В данном случае [m]({{a}^{4}}-2{{b}^{2}})({{b}^{4}}-2{{a}^{2}})=0[/m], откуда [m]{{(\frac{{{a}^{2}}}{b})}^{2}}=2[/m] ,
[m]{{(\frac{{{b}^{2}}}{a})}^{2}}=2[/m]. Теперь ясно, что хотя бы одно из чисел a, b иррационально.
Я привел выше два числа a,b, равные корню из двух. Сознательно. И правильно, что внук Ю.М. стал спорить с учителем. И прав, по моему Ю.М. , формулировку задачи можно понимать по разному. Внук защищал свой ответ , как он понял вопрос. Задача учителя разъяснить ученику возжные разные формулировки, а не говорить, что тот не решил задачу.

Задайте свой вопрос по математике
профессионалам

Сейчас онлайн 75 репетиторов по математике
Получите ответ профи быстро и бесплатно

Другие вопросы на эту тему:

👍
0
👎 015

Квадратичная форма   15 ответов

У меня домашнее задание. Привести к каноническому виду и выписать матрицу соответствуюжщего линейного преобразования.
F=2x^2-y^2+3z^2+2xy+6xz
На лекциях и семинаре мы разбирали такую задачу. Но там были только такие случаи, когда собственные числа матрицы формы были рациональные, а в моём примере они иррациональные. Семинарист сказал, раберись сам. Но я нигде ничего не нашел.
Заранее спасибо. Вы мне злесь уже помогли.
  05 дек 2014 10:15  
👍
+2
👎 218

Убойная задача по геометрии   18 ответов

Сегодня разбирали на занятии с учеником. Им её в школе на дом задали.

4-угольник ABCD вписан в окружность и описан около окружности. Вписанная окружность касается сторон 4-угольника в точках К,L,M,N. Отношение площадей 4-угольников KLMN и ABCD равно k. Угол между диагоналями AC и BD равен [m]\varphi[/m]. Радиус описанной окружности равен R. Найти площадь 4-угольника ABCD.
👍
0
👎 019

НОК и НОД   19 ответов

НОД и НОК
Сколько пар натуральных чисел удовлетворяют равенству НОД(x,y)+НОК(x,y)=2011?
👍
0
👎 04

Параметры   4 ответа

Вот попалась задачка из Гиа второй части, решить не могу, подходила к учителю, она сказала подумает, а я хочу сейчас решить.
Условие:
При каком значении параметра a, уравнение у=х^2+2a|x|-a^2 не имеет общих точек с прямой у=а-6 ?
Подскажите с чего начать? (Заранее спасибо)
  28 май 2011 09:55  
👍
+1
👎 15

Частные производные   5 ответов

Задание:Вычислить значения частных производных функции z (x,y), заданной неявно, в данной точке М0(х0,у0,z0) с точностью до двух знаков.
x^3+y^3+z^3-3xyz=4
Подскажите пожалуйста решение
  14 май 2011 17:05  
👍
+1
👎 18

Сколько производных   8 ответов

Сколько частных производных третьего порядка имеет функция семи переменных. Начал считать прямо, что_то много. А как иначе?
ASK.PROFI.RU © 2020-2024