👍 +2 👎 |
Убойная задача по геометрииСегодня разбирали на занятии с учеником. Им её в школе на дом задали.
4-угольник ABCD вписан в окружность и описан около окружности. Вписанная окружность касается сторон 4-угольника в точках К,L,M,N. Отношение площадей 4-угольников KLMN и ABCD равно k. Угол между диагоналями AC и BD равен [m]\varphi[/m]. Радиус описанной окружности равен R. Найти площадь 4-угольника ABCD.
геометрия математика обучение
Мутафян Георгий Семёнович
|
👍 0 👎 |
Мда, сходу решить не удается.
В какой школе ее задали? И есть ли шанс ее решить тем, кому ее задали? |
👍 0 👎 |
Что-то с памятью Вашей стало, Вл. Аркадьевич
Посмотрите закрытый форум — там разбиралась в точности эта задача года два тому назад (где-то в начале 2011). Причем, кажется, первое верное решение было то ли от Вас, то ли от Мутафяна. |
👍 0 👎 |
Сорри, задача похожая, но не такая же. И Вы в той ветке не отметились
|
👍 0 👎 |
Школа вроде бы вторая, точно не помню.
Этот ученик мне постоянно приносит оттуда задачи, упражняющие мой мозг) |
👍 0 👎 |
У меня тоже есть ученик из нее (10 класс). Но он мне не приносит такого. :(
Делись еще! |
👍 0 👎 |
Если я ничего не напутал, то ответ [m]S=4kR^2\sin{\phi}[/m].
|
👍 0 👎 |
Да, все верно. Достаточно короткое решение с красивой игрой формулами.
Спасибо, Георгий, за хорошую задачу. |
👍 0 👎 |
Так, вот именно этого я и ждал!
У меня не получилось найти короткое решение. Моё решение с длиннющими вычислениями. Так что выкладывай! |
👍 0 👎 |
Может дадим остальным позабавиться какое-то время? Может быть, им будет интересно самим. А я могу тебе пока фотку прислать.
|
👍 0 👎 |
Не надо, я тогда вместе с остальными)
|
👍 +7 👎 |
Площадь четырехугольника [m]KLMN[/m], равная [m]kS[/m], разбивается радиусами описанной вокруг него окружности на две пары равных треугольников.
[m]kS=r^2(\sin\alpha+\sin\beta).[/m] Используя формулы [m]2S=(ad+bc)\sin\alpha[/m] и [m]2S=(ab+cd)\sin\beta[/m], получим: [m]kS=r^2\left(\frac{2S}{ad+bc}+\frac{2S}{ab+cd}\right),[/m] [m]k(ad+bc)(ab+cd)=2r^2(a+c)(b+d).[/m] Так как [m]2S=r(a+b+c+d),[/m] а [m]a+c=b+d,[/m] то [m]S=r(a+c)=r(b+d).[/m] Тогда [m]k(ad+bc)(ab+cd)=2S^2.[/m] Теперь возьмем формулы площади [m]S=\frac{d_1(ad+bc)}{4R},~S=\frac{d_2(ab+cd)}{4R},[/m] записанные через суммы двух площадей треугольников, на которые четырехугольник разбивается каждой диагональю и, выразив из них [m]ad+bc[/m] и [m]ab+cd[/m], подставим в последнее равенство. [m]k\frac{16R^2S^2}{d_1d_2}=2S^2.[/m] Наконец, применив формулу [m]2S=d_1d_2\sin\phi,[/m] получим [m]S=4kR^2\sin\phi.[/m] |
👍 0 👎 |
Красота!
|
👍 0 👎 |
Круто! У меня раза в 3 длиннее.
|
👍 0 👎 |
Решение значительно лучше, чем задача (но это мои личные тараканы).
Предлагаю задачу, которая мне нравится значительно больше: ABCDEFG — правильный 7-ми угольник. Точка O — пересечение диагоналей AD и CG. Построить точку O (циркулем и линейкой) если на чертеже нарисована только сторона EF. |
👍 0 👎 |
Решилась почти стандартно. Слово "построить" особой сложности задаче не добавляет.
Правда у меня, как обычно, лобовое вычислительное решение. Ещё подумаю над чисто геометрическим. |
👍 0 👎 |
Так она несложная абсолютно, что не мешает ей быть симпатичной.
А слово "построить" — это, скорее, подсказка о том, что не надо пытаться строить вершины многоугольника, так как это принципиально невозможно. |
👍 0 👎 |
Ошибка в первой строчке.
Вместо "две пары равных треугольников" следует читать "две пары равных по площади треугольников". |
👍 0 👎 |
Это непринципиально — первая формула верна и без преамбулы — из-за перпендикулярности диагоналей малого 4-х угольника.
|
👍 0 👎 |
Геометрия 8
|
👍 0 👎 |
Помогите пожалуйста с геометрией
|
👍 0 👎 |
Найти расстояние в треугольнике
|
👍 +1 👎 |
Задача 1
|
👍 +1 👎 |
Планиметрия
|
👍 0 👎 |
Правильные многоугольники
|