СПРОСИ ПРОФИ
👍
+2
👎 218

Убойная задача по геометрии

Сегодня разбирали на занятии с учеником. Им её в школе на дом задали.

4-угольник ABCD вписан в окружность и описан около окружности. Вписанная окружность касается сторон 4-угольника в точках К,L,M,N. Отношение площадей 4-угольников KLMN и ABCD равно k. Угол между диагоналями AC и BD равен [m]\varphi[/m]. Радиус описанной окружности равен R. Найти площадь 4-угольника ABCD.
геометрия математика обучение     #1   07 дек 2012 00:11   Увидели: 14 клиентов, 6 специалистов   Ответить
👍
0
👎 0
Мда, сходу решить не удается.
В какой школе ее задали? И есть ли шанс ее решить тем, кому ее задали? :)
👍
0
👎 0
Что-то с памятью Вашей стало, Вл. Аркадьевич :)

Посмотрите закрытый форум — там разбиралась в точности эта задача года два тому назад (где-то в начале 2011). Причем, кажется, первое верное решение было то ли от Вас, то ли от Мутафяна.
  #3   07 дек 2012 15:40   Ответить
👍
0
👎 0
Сорри, задача похожая, но не такая же. И Вы в той ветке не отметились :)
  #4   07 дек 2012 15:49   Ответить
👍
0
👎 0
Школа вроде бы вторая, точно не помню.
Этот ученик мне постоянно приносит оттуда задачи, упражняющие мой мозг)
👍
0
👎 0
У меня тоже есть ученик из нее (10 класс). Но он мне не приносит такого. :(
Делись еще!
👍
0
👎 0
Если я ничего не напутал, то ответ [m]S=4kR^2\sin{\phi}[/m].
👍
0
👎 0
Да, все верно. Достаточно короткое решение с красивой игрой формулами. :)
Спасибо, Георгий, за хорошую задачу.
👍
0
👎 0
Так, вот именно этого я и ждал!
У меня не получилось найти короткое решение. Моё решение с длиннющими вычислениями. Так что выкладывай!
👍
0
👎 0
Может дадим остальным позабавиться какое-то время? Может быть, им будет интересно самим. А я могу тебе пока фотку прислать. :)
👍
0
👎 0
Не надо, я тогда вместе с остальными)
👍
+7
👎 7
Площадь четырехугольника [m]KLMN[/m], равная [m]kS[/m], разбивается радиусами описанной вокруг него окружности на две пары равных треугольников.
[m]kS=r^2(\sin\alpha+\sin\beta).[/m]
Используя формулы [m]2S=(ad+bc)\sin\alpha[/m] и [m]2S=(ab+cd)\sin\beta[/m], получим:
[m]kS=r^2\left(\frac{2S}{ad+bc}+\frac{2S}{ab+cd}\right),[/m]
[m]k(ad+bc)(ab+cd)=2r^2(a+c)(b+d).[/m]
Так как [m]2S=r(a+b+c+d),[/m] а [m]a+c=b+d,[/m] то [m]S=r(a+c)=r(b+d).[/m]
Тогда [m]k(ad+bc)(ab+cd)=2S^2.[/m]
Теперь возьмем формулы площади
[m]S=\frac{d_1(ad+bc)}{4R},~S=\frac{d_2(ab+cd)}{4R},[/m]
записанные через суммы двух площадей треугольников, на которые четырехугольник разбивается каждой диагональю и, выразив из них [m]ad+bc[/m] и [m]ab+cd[/m], подставим в последнее равенство.
[m]k\frac{16R^2S^2}{d_1d_2}=2S^2.[/m]
Наконец, применив формулу [m]2S=d_1d_2\sin\phi,[/m] получим
[m]S=4kR^2\sin\phi.[/m]
👍
0
👎 0
Красота!
👍
0
👎 0
Круто! У меня раза в 3 длиннее.
👍
0
👎 0
Решение значительно лучше, чем задача (но это мои личные тараканы).

Предлагаю задачу, которая мне нравится значительно больше:

ABCDEFG — правильный 7-ми угольник. Точка O — пересечение диагоналей AD и CG.

Построить точку O (циркулем и линейкой) если на чертеже нарисована только сторона EF.
  #15   08 дек 2012 22:47   Ответить
👍
0
👎 0
Решилась почти стандартно. Слово "построить" особой сложности задаче не добавляет.
Правда у меня, как обычно, лобовое вычислительное решение. Ещё подумаю над чисто геометрическим.
👍
0
👎 0
Так она несложная абсолютно, что не мешает ей быть симпатичной.

А слово "построить" — это, скорее, подсказка о том, что не надо пытаться строить вершины многоугольника, так как это принципиально невозможно.
  #17   09 дек 2012 02:31   Ответить
👍
0
👎 0
Ошибка в первой строчке.
Вместо "две пары равных треугольников" следует читать "две пары равных по площади треугольников".
👍
0
👎 0
Это непринципиально — первая формула верна и без преамбулы — из-за перпендикулярности диагоналей малого 4-х угольника.
  #19   09 дек 2012 16:24   Ответить

Задайте свой вопрос по математике
профессионалам

Сейчас онлайн 75 репетиторов по математике
Получите ответ профи быстро и бесплатно

Другие вопросы на эту тему:

👍
0
👎 016

Геометрия 8   16 ответов

Точка Н — ортоцентр треугольрика АВС. Докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника АВН, равен радиусу окружности, описанной около треугольника АВС.
  10 авг 2015 13:43  
👍
0
👎 01

Помогите пожалуйста с геометрией   1 ответ

высота правильной треугольной пирамиды равна четыре корень из трёх. радиус окружности описанной около её основание равен восемь сантиметров. найти площадь боковой грани
  14 апр 2015 10:15  
👍
0
👎 07

Найти расстояние в треугольнике   7 ответов

Расстояние между серединами лиагоналей АС и BD 4-угольника ABCD равно 3. Чему равно расстояние между серединами сторон AD и BC, если АВ=16, СВ=10. Не получается решить.
  01 мар 2013 11:15  
👍
+1
👎 11

Задача 1   1 ответ

Задача 1. Окружность, вписанная в треугольник АВС, площадь которого равна 66, касается средней линии, параллельной стороне ВС. Известно, что ВС равно 11. Найдите сторону АВ.
👍
+1
👎 18

Планиметрия   8 ответов

Вершины ромба расположены на сторонах параллелограмма, а стороны ромба параллельны диагоналям параллелограмма. Найдите отношение площадей ромба и параллелограмма, если отношение диагоналей параллелограмма равно 3:7, а угол между ними равен 45
👍
0
👎 013

Правильные многоугольники   13 ответов

Теперь такой вопрос возник. Имеется правильный n -угольник. Можно ли по заданной его стороне найти радиус вписанной и описанной окружности.
  09 янв 2012 18:32  
ASK.PROFI.RU © 2020-2022