C5. Два решения.

Придумал для учеников тренировочную задачу. Может быть, и вам и вашим ученикам пригодится. :-)

Найти все значения [m]a[/m], при которых уравнение [m]4(a|x-1|+a|x+1|+3)^2=9-4x^2[/m] имеет 2 решения.

Задание слишком сложное или, наоборот, слишком простое и, поэтому, неинтересное?
Имеет ли смысл выложить подсказку или сразу решение?

По-моему слишком простое по сравнению с заданиями ЕГЭ, но цели же оно может преследовать какие-то свои. Задача как задача. На раскрытие модулей

Ни один мой ученик с первой попытки не выдал полностью правильное решение, у всех были либо явные ошибки, либо какие-то недочеты, повлиявшие на ответ. В то же время решение задач С5 из последних пробников и экзаменов последних лет у большинства из них сложностей не вызывает, хотя решаются задачи одними и теми же приемами. Вот такая оценка сложности.

Я бы решал так:
Ясно, что можно рассматривать x из (0,3/2] и искать, когда одно решение. Тогда [/math] x = 3/2 \cos \phi,\ \phi\in [0,\pi/2) [/math]
Тогда уравнение переписывается в виде
3 sin \phi = | a|3\cos \phi — 2| + 3 a \cos \phi + 2a + 3|
При [m]\phi > \arccos 2/3[/m]
уравнение приходит к виду
|4a+3|=3\sin\phi и имеет решения тогда и только тогда, когда 1>|4a/3+1|>\sqrt{5}/3
При [m]\phi \leq \arccos 2/3[/m]
уравнение приходит к виду
[m]|2a \cos \phi + 1| = \sin \phi,[/m]

Ну, если Вы настаиваете...
Подсказывать здесь, вроде, все равно что решить.

Глядя на задание:
Слева и справа — четная функция, следовательно корня х=0 не должно быть.
а < 0, иначе выражение слева — больше 9, слева — меньше 9.
Ветви "парабол", вдалеке от оси явно направлены в разные стороны, следовательно вершина "параболы" слева должна быть ниже 9.
Очевидно, на положительной полуоси, "парабола слева — не убывает. То есть точек пересечения не больше 2.
Достаточно найти точки, где решение — ровно одно — это при х = 0.

Имеем.
4 (а + а + 3)^2 = 9
2 |2a + 3| = 3

Получатся два корня. Множество решений — интервал между конями.
Писать, не обижайтесь пожалуйста — лень.
Все равно Вы решение увидите не глядя не уравнение.

Надеюсь, не ошибся.

К сожалению, ошиблись. Но, все равно, спасибо.

Решения не записываются одним интервалом. Найти точки, где решение одно не достаточно.

В принципе, мной задумывался совсем иной подход, направленный на оттачивание излюбленных приемов составителей ЕГЭ, правда с небольшим усложнением. Это попытки выявить возможные изюменки. :-)

1. Ну почему ж к сожалению.
Ошибка — совершенно нормальное явление (и не достоинство решения, конечно).
2. Не за что.
Всю жизнь мечтал о том, чтобы можно было нормально обсуждать вопросы, связанные с подготовкой к ЕГЭ.
Это почти предложение обсудить возможность постановки вопроса в подобной форме.
3. Ждем лучшего решения.
4. В печенках сидит.
Никак не могу понять, что проверяет и оценивает ЕГЭ по математике.

С уважением
ВЕ.

Думаю, что догадываюсь, какой подход задумывался. Если сделать одно простое но нестандартное действие, задача становится элементарной.

Возможно следует разложить на разность квадратов, а потом отлавливать одно решение в пересечении двух уравнений, при ограничение на х.

Возможно следует разложить на разность квадратов, а потом отлавливать одно решение в пересечении двух уравнений, при ограничение на х. Кстати условие на х придется переформулировать.

Большая часть заданий С5 формата ЕГЭ решается разбиением предложенного уравнения на 2 функции, графики которых потом строятся, и движение которых анализируется. Причем, разбиение осуществляется одним единственным способом — переносом с одной стороны равенства на другую тех или иных слагаемых. Я дал задание, в котором разбиение на 2 функции осуществлялось путем замены [m]y=a|x-1}+a|x+1|[/m]. Дальнейшее решение заключается в построении окружности и подвижного графика введенной функции.
Там надо еще немного повозиться с возможными положениями горизонтального отрезка графика и не забыть про поведение наклонных составляющих при этом, но все это уже не особо сложно, хотя запутаться можно. Поэтому скажу лишь, что конечный ответ состоит из двух интервалов.

a\in(-\frac{3}{4};-\frac{3\sqrt{3}}{6})\cup(-\frac{\sqrt{5}-6}{2};-frac{9}{4})

\math a\in(-\frac{3}{4};-\frac{3\sqrt{3}}{6})\cup(-\frac{\sqrt{5}-6}{2};-frac{9}{4})\math

[math]a\in(-\frac{3}{4};-\frac{3\sqrt{3}}{6})\cup(-\frac{\sqrt{5}-6}{2};-frac{9}{4})[\math]

[math ]a\in(-\frac{3}{4};-\frac{3\sqrt{3}}{6})\cup(-\frac{\sqrt{5}-6}{2};-frac{9}{4}) [\math]

[m]a \in (-\frac{3}{4}; — \frac{3 \sqrt{3}}{6}) \cup (-\frac{\sqrt{5}-6}{2}; -\frac{9}{4})[/m]

Вы это имели в виду?

Хотелось бы заметить, что т.к. |x|<=2/3, то |x-1| +|x+1| =2. Уравнение принимает вид 4(2a+3)^2 = 9-4x^2; x^2=9/4 — (2a+3)^2. И дальше уже все понятно.

Ой, спутал, 2/3 и 3/2, а как красиво все упрощалось....

Учитель раздал ученикам А, В, С, Д и Е соответственно по минимум 1 монетке. Он сообщил им, что у А меньше монет, чем у В; у В — меньше монет, чем у С; у С — меньше, чем у Д; у Д — меньше монет, чем у Е.

В заключении учитель сообщает им общее число розданных этим ученикам монет „ X“.

Задание: Назвать самое наименьшее число „X“ монеток, при котором никто из учеников не может вычислить (догадаться), сколько монет у других учеников.

Книга Козко А.И. C5 ЕГЭ 2011. Математика. параграф 8 № 12
Найдите все значения а, при каждом из которых система имеет единственное решение.
[m]\left\{\begin{matrix}
3\cdot 2^{x}+5|x|+4=3y+5x^{2}+3a\\
x^{2}+y^{2}=1
\end{matrix}\right[/m]

возможные значения а найдены: 4/3 и 10/3. вопрос в том, как из них выбрать тот, при котором будет единственное решение?

Найти все значения [m]a[/m], при которых уравнение
[m]\left|3x-|x+a|\right|=4x-9|x-1|[/m]
имеет хотя бы один корень.

Понятно, что задача несложная. Хотелось бы обсудить различные подходы к ее решению. Как Вы преподносите задачи такого типа своим ученикам? Какими способами решаете?

[m]n^3-n=k^2-k[/m]
Наткнулся я на красивое сравнение чисел
[m]\sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{6}}}+\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+...+\sqrt[3]{6}}}[/m] и 5.

И придумал я аналогичное сравнение
[m]\sqrt{210+\sqrt{210+...+\sqrt{210}}}+\sqrt[3]{210+\sqrt[3]{210+...\sqrt[3]{210}}}[/m] и 21.

А вот обнаружить еще или доказать их отсутствие у меня пока не выходит. А все потому, что уперся я в уравнение в натуральных числах в заглавии темы, и решить его не получается. Может быть, кто-то сможет придумать что-то дельное. :-)

Разумеется, несложное.
Обычно даю подобное задание (необязательно с числом, означающим текущий год) своим ученикам с 5 по 7 класс, иногда четвероклассникам (их знаний вполне достаточно).

Представьте число 2012 как произведение нескольких чисел так, чтобы сумма тех же чисел тоже была равна 2012.
Начиная с 6-го класса желательно найти все решения. Моложе — достаточно одно.

Собираюсь изучать информатику. Хочу хорошо понимать все разделы математики. Вот, сейчас повторяю всю школьную программу по математике и не могу понять, для чего нужно уметь раскладывать квадратный трехчлен на множители? Какая цель у этого разложения? Можно, ведь, найти х1, х2 через дискриминанту. И теорему Вьета плохо понимаю. Буду рад подробному ответу. Особенно хорошо я понимаю, когда есть график, тогда могу хорошо представить и потом уже самостоятельно пользоваться. Буду рад вашим объяснениям. Заранее благодарен.