: n^3-n=k^2-k

[m]n^3-n=k^2-k[/m]
Наткнулся я на красивое сравнение чисел
[m]\sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{6}}}+\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+...+\sqrt[3]{6}}}[/m] и 5.

И придумал я аналогичное сравнение
[m]\sqrt{210+\sqrt{210+...+\sqrt{210}}}+\sqrt[3]{210+\sqrt[3]{210+...\sqrt[3]{210}}}[/m] и 21.

А вот обнаружить еще или доказать их отсутствие у меня пока не выходит. А все потому, что уперся я в уравнение в натуральных числах в заглавии темы, и решить его не получается. Может быть, кто-то сможет придумать что-то дельное. :-)

Действительно красиво!!!
Владислав Аркадьевич, а не могли бы Вы в более ясной записи сформулировать задачу, над решением которой размышляете?

ну, в обеих случаях у меня получилось, что суммы слева и числа справа ( 5; 21) равны между собой.
ну, можно настрогать целую кучу этих сравнений.

Равенства нет.
Настрогайте еще хотя бы одно, буду Вам очень признателен. :-)

"Равенства нет." — это неверно.
Вы делаете ошибку: в бесконечном ряде берете несуществующий бесконечно отдаленный член и заменяете его на 9 — это в принципе делать нельзя: бесконечно отдаленный член просто не существует.
Если ряд (а у Вас бесконечный ряд) сходится, то должно выполняться соотношение:
[m]x=\sqrt{6+x}[/m], откуда х=3.
аналогично: [m]x=\sqrt[3]{6+х}[/m], откуда х=2.

Если ряд конечный, то Вы правы: сумма радикалов меньше правой части.

аналогично: [m]x=\sqrt[3]{6+х}[/m], откуда х=2.

ну, что ты будешь делать:
[m]x=\sqrt[3]{6+x}[/m]

Наличие последнего завершающего радикала навело меня на мысль, что их конечное число, но сколь угодно большое. В случае бесконечного их количества, если я верно понимаю, выражение должно было иметь такой вид:
[m]\sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{6+..}}}+\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+...+\sqrt[3]{6+..}}}.[/m]

:)))

эээээ, нет, батенька, одно из двух: либо ряд конечный, либо бесконечный...

если конечный: это обыкновенное число (из R)
если бесконечный: тоже обыкновенное число, но, при условии его(ряда) сходимости.

всё не могу вспомнить. где-то я видел эту задачку( с 6-ками), и там многоточия тоже стояли внутри выражения, но вот, конечное(как угодно большое) или бесконечное количество радикалов — не помню.

Я высказал утверждение, что ряд из старт-поста конечный и привел запись, которую должен был бы иметь бесконечный ряд.

В чем заключается Ваше "нет"?

ну, ежели "что ряд из старт-поста конечный" — спору нет.

кстати, в #10 не обратил внимания(со слепу) на "что их конечное число, но сколь угодно большое. "

задача красивая, спасибо!

по поводу:
"Настрогайте еще хотя бы одно, буду Вам очень признателен. :-)"
- перебрал варианты до m=100000 — ну, пока ничего не настрогал. Но, если заранее известно, что решения k*(k+1)=(m-1)*m*(m+1) ограничиваются сверху только 14*15=210=5*6*7, то, это ... извините, нет слов...

правка:
до m=10000, дальше чего-то даже двойная точность не тянет

Тут уже до 1млн проверили. Нету. :-)
Так что есть надежда, что других решений нет. Вот бы это еще доказать!

подсказка:
14*15=210=5*6*7

Итак, в первом сравнение заменим 6 на 9 в первом слагаемом под внутренним корнем, а во втором слагаемом — на 8. Тем самым достигается равенство вновь сравниваемых чисел. Из этого следует, что первое число в исходной задаче меньше второго.
Для второго сравнения соответствующие замены — 225 и 216.

Для числа 6 получилось воспроизвести бесконечную цепочку повторяющихся действий, так как оно представимо в следующем виде: [m]6=2^3-2=3^2-3[/m]. Число 210 обладает тем же свойством: [m]210=6^3-6=15^2-15[/m]. В общем виде все числа, обладающие таким свойством, задаются системой [m]x=n^3-n=k^2-k[/m]. Или, другими словами, интересует нахождение таких натуральных чисел, которые представимы как в виде произведения 2, так и в виде произведения 3 последовательных чисел.
[m]6=2\cdot3=1\cdot2\cdot3;[/m]
[m]210=14\cdot15=5\cdot6\cdot7.[/m]

Влад, но даже если мы найдем такие числа, это не исчерпает возможных решений, по-видимому.
Ведь, если оба твои корня — иррациональные, к примеру, это не значит, что и сумма их будет иррациональной.

Опираясь на этот факт, можно найти куда как более злые уравнения в натуральных числах, а твои будут их частными решениями

проверял до 1.000.000.000 (16 часов на 2.93GHz и 2-х процессорах) — ничего не нашел...
(do while(p < 1000000001) )

для желающих поупражняться — функция dsqrt не катит. Да и вообще, численку не советую — потеря времени.

конечно, я бы не искал, если не #5 и не #16

правка:
конечно, я бы не искал, если не #5 и знал бы результаты #16

Рамиль!
Проверил до 10^20 (побольше).
За час на нетбуке, нет полутора гигов скорости и один процессор.
В Вордовском интерпретаторе.
Разумеется некоторое время затратил на то, чтобы выражаться по поводу насколько он медленный.
Разлагающихся чисел, разумеется не нашел.

очень интересно:
а что за транслятор, который умеет выражать целые числа порядка 10^60 ?
(10^20-1)*10^20*(10^20+1)

точно не помню, но таких порядков для целых чисел вроде и на Cray не было

на фортране(CVF 6.1) максимальное целое число: 2.147.483.647,
вещественное с двойной точностью — до 10^308

что такое "Вордовский интерпретатор", к сожалению, не знаю.

Ну, язык программирования Квик Бэйсик для Ворда.
Если надо, можно забабацать числа любой разрядности, если машину не жалко.
А програмка, извините за "стиль программирования", вот она.
Ядро алгоритма — увидите.

Правда из цикла она не выходит.
Для справки — наибольшее целое:
79,228,162,514,264,337,593,543,950,335

(Текст программы).

Текст программы не печатает.
Сайт подстраховывается, что есть правильно.
Что-нибудь придумаю.

Считала не помню, может два, а то и три часа.
Надоело до чертиков, вырубил на старших цифрах, вроде что-то 26-27

Да, надо число там наверху I, которое, надо задавать каждый раз перед запуском вручную, большее, чем она выплюнет в рабочий документ.
Начать лучше с I=2. После того как выплюнет первое число, изменить I на 3, После того как выплюнет второе число, изменить I на 7 (увидите почему) и после этого — можно спокойно ждать.
Можно задать и I = 1, но она тогда просто выплюнет 0, что не очень интересно.

Считала не помню, может два, а то и три часа.
Надоело до чертиков, вырубил на старших цифрах, вроде что-то 26-27

"Для справки — наибольшее целое:
79,228,162,514,264,337,593,543,950,335"

- просветите плиз, в скольких ячейках будет размещено такое число на 32-х разрядном процессоре ?
и во сколько раз увеличивается время обработки операции деления(вроде используется в sqrt ) ?
(без подкола, просто интересно)

Рамиль!
В скольки ячейках — не знаю, но, ясен пень, до распаковки — в 30 байтах, после распаковки — в 60 байтах. В первом случае пол-байта на знак, во втором — целый байт.
Как фирма Майкрософт организовала 10-значную арифметику — не знаю.
Это из языка Квик Басик для программирования макросов для Ворда.
Есть справочник по языку программирования в хелпах.
Если интересует как выйти в редактор — то в две тысячи седьмом:
Вид — Макросы — (по стрелочке вниз) — Макросы (но не запись Макроса).
И Вы окажетесь в редакторе макроопределений.

Можно
Вид — Макросы — (по иконке)
Alt F8 — Изменить.

И Вы окажетесь в меню, в котором надо нажать клавишу Изменить.

Если интересно, могу подсказать как реализовать примитивную арифметику произвольной точности (впрочем, это хорошо известно), но, ясное дело, не лучший алгоритм.
Работать, кстати, будет всяко быстрее, чем хорошо реализованная арифметика в интерпретаторе.

Кстати, с Новым Годом.

Рамиль!
Как дополнение.
Ясно, без подкола.

И, заодно, извините за неаккуратность: должно было быть не
"Для справки — наибольшее целое: 79,228,162,514,264,337,593,543,950,335"
а "Для справки — наибольшее целое в формате для десятичной системы счисления, которое используется в языке Квик Бэйсик для приложения Майкрософт Ворд: 79,228,162,514,264,337,593,543,950,335"

Виктор Евгеньевич,
большое спасибо, очень ценная для меня инфа. Даже не знал, что бейсик так усовершенствовали. Собственно, это уже совсем другой язык.

В свое время, потратил немало усилий чтобы алгоритмически раздвинуть диапазон для целых чисел (в фортране90).

да, конечно, с Новым годом! Здоровья!

Ну, не счет ценности информации — вопрос спорный...
Кроме того, это не совсем Бейсик.
Это ..., не знаю как назвать, Бейсик, дополненный всякой дрянью для программирования для Ворда. Ну, там, требующиеся константы, объекты, и все такое прочее.
Причем не Бейсик, а Квик Бейсик.
Некоторые черты языка программирования, все же сохраняет, к 2 можно прибавить 3, ну и еще кое что.

В середине 90-х слышал от коллеги: "B [m]TeX[/m]'e можно программировать даже газодинамические задачи!" :-]

А чему равно следующее выражение? :-)
[m]\sqrt{0+\sqrt{0+\sqrt{0+...}}}[/m]

Два автомобілі виїжджають одночасно назустріч один одному із А в В та з В в А . Після зустрічі один з них знаходиться в дорозі ще 2 години , а другий 9/8 годин. Визначити їх швидкості , якщо відстань між А і В дорівнює 210 км.

ну, поскольку предыдущая для 1-го класса, надо добавить что-то аналогичное:

"Разбейте правильный треугольник на миллион многоугольников так, чтобы любая
прямая пересекала не более сорока из них."

Через 210 дней у вас наступает срок платежа в размере 150 000 руб. Какую сумму вы должны зарезервировать для погашения этого долга, если на указанный срок вы може¬те отдать ее взаймы под 17% годовых? Временная база 365. Чему равен дисконт?

Вычислить:

3/(2*5)+3/(5*8)+3/(8*11)+...+3/(32*35) =

Доказать:
1/12+1/13+1/14+1/15 > 1/3

Есть ли для них красивое решение? Или надо расписывать все слагаемые, а потом группировать, что удобнее привести к общ. знаменателю (это 6 класс)