Вопрос про равномерную непрерывность

Функция f(x) задана на R и имеет конечную производную в точке а. Верно ли что f(x) равномерно непрерывна в некоторой окрестности точки а?

Вопрос можно упростить:
"Верно ли, что f(x) непрерывна в некоторой окрестности точки а?"
(То есть убрать из вопроса слово "равномерно".)

Если ответ "нет", то функция, не являющаяся непрерывной,
и подавно не будет равномерно непрерывной.

Если ответ "да", уменьшим открытую окрестность точки а, в которой
функция f непрерывна, до замкнутого отрезка таким образом, чтобы
точка а продолжала оставаться внутренней точкой новой (замкнутой) окрестности.
По известной теореме, функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна
на этом отрезке. Если угодно, можно теперь удалить концы этого отрезка,
и получим открытую окрестность точки а, и в этой окрестности функция f будет
равномерно непрерывна.

Положим функцию g равной 0 во всех иррациональных точках.
Что же касается рациональных точек, то каждое рациональное число x представим
в виде несократимой дроби x=p/q, q>0 и положим g(x)=1/q.
Что можно сказать про функцию g? В каких точках она непрерывна, а в каких — нет?

Рассмотрим теперь функцию f(x)=(x^2)*g(x).
Не поможет ли эта функция ответить на вопрос старт-поста?

Что-то я слишком сложный пример предложил. Можно проще.

Давайте рассмотрим функцию h:
h(x)=0, если x иррационально,
h(x)=x^2, если x рационально.

Помогите пожалуйста y=2/(x^2+x+1) 1)Определить периодичность(доказать) 2)исследование на непрерывность

Доказать что следующая функция непрерывна в каждой точке своей естественной области определения!

Функция f(x)=log x(По основанию a);a>0;a не равно 1

1/((n^6+x^6)^(1/5))

Можно пожалуйста помочь с вопросом?

Пусть функция f(x) непрерывна на [a,b] и дифференцируема на (a,b). Верно ли, что для любых c и d таких, что a<c<d<b, выполнено равенство

f(d)-f(c)=(интеграл от c до d) f'(x)dx ?

Большое спасибо.

Представить рядом Тейлора функцию f(x) в окрестности точки х=0.

f(x)=x*arctg2x

Добрый день, пожалуйста, скажите в каком направлении думать при решении этих задач:

Задача 1:
Функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [2,5] и дифференцируема всюду внутри отрезка. При этом f(2)=-2, f(5)=7.
Обязательно ли в интервале (5,2) найдется точка c, такая, что производная в этой точке равна
а) 2
б) 3

Надо, наверное, какой-то теоремой воспользоваться? )

Задача 2:
Вычислите, используя определение производной и не пользуясь теоремой о производной сложной функции, производную функции f(x)=ln(2x-3)

Как-то через предел?

Заранее всем спасибо )