Математика 1 курс

Доказать что следующая функция непрерывна в каждой точке своей естественной области определения!

Функция f(x)=log x(По основанию a);a>0;a не равно 1

|log(x+Delt.x)-log(x)| < eps
|log(1+(Delt.x/x))| < eps
-eps < log(1+(Delt.x/x)) < eps

I случай a>1
a^(-eps) < a^(log(1+(Delt.x/x))) < a^(eps)
a^(-eps) < 1+(Delt.x/x) < a^(eps)
a^(-eps)-1 < Delt.x/x < a^(eps)-1

Delt.x/x < a^(eps)-1
1-a^(-eps) > -Delt.x/x

|Delt.x/x| < a^(eps)-1
|Delt.x/x| < 1-a^(-eps)

|Delt.x| < x(a^(eps)-1)
|Delt.x| < x(1-a^(-eps))

|Delt.x| < delta
delta = min{ x(a^(eps)-1) ; x(1-a^(-eps)) }

II случай a<1
Второй случай предлагаю рассмотреть самостоятельно.

Функция f(x) задана на R и имеет конечную производную в точке а. Верно ли что f(x) равномерно непрерывна в некоторой окрестности точки а?

Можно пожалуйста помочь с вопросом?

Пусть функция f(x) непрерывна на [a,b] и дифференцируема на (a,b). Верно ли, что для любых c и d таких, что a<c<d<b, выполнено равенство

f(d)-f(c)=(интеграл от c до d) f'(x)dx ?

Большое спасибо.

название функции, в которой каждая точка области определения функции является критической точкой? т.е состоящая только из критических точек.
Везде искала, не могу найти, даже самой интересно стало как выглядит Эта функция))

Исследовать на экстремум функцию z=f(x;y) в области её определения:
z=y^3-3x^2-27y+12x

Добрый день, пожалуйста, скажите в каком направлении думать при решении этих задач:

Задача 1:
Функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [2,5] и дифференцируема всюду внутри отрезка. При этом f(2)=-2, f(5)=7.
Обязательно ли в интервале (5,2) найдется точка c, такая, что производная в этой точке равна
а) 2
б) 3

Надо, наверное, какой-то теоремой воспользоваться? )

Задача 2:
Вычислите, используя определение производной и не пользуясь теоремой о производной сложной функции, производную функции f(x)=ln(2x-3)

Как-то через предел?

Заранее всем спасибо )