В футбольном турнире в один круг (это значит, что каждая команда играет…

В футбольном турнире в один круг (это значит, что каждая команда играет с каждой по одному разу) принимают участие 16 команд. Докажите, что в любой момент турнира найдутся две команды, сыгравшие одинаковое число матчей.

Каждая команда в ходе всего турнира проводит 15 матчей. Пусть существует такой момент турнира,что каждая команда провела отличное от других кол-во матчей то есть 1-ая — 1, 2-ая-2 3-я — 3 ....15-ая -15 16ая-0 , но этого не может быть, так в этом случае одновременно существуют 2 условия — 15-ая команда провела матчи со всеми командами, а 16-ая еще ни с кем не сыграла. Следовательно такого момента не существует.

ну, тогда в довесок:
"Многочлен с целыми коэффициентами, который при трёх различных целых
значениях переменной принимает значение 1, не может иметь ни одного целого
корня. Докажите это.
Н.Б. Васильев."

Единица не желает делиться. Да что с французов взять, жмоты, даже "у" зажали.

Рамиль, это, конечно, убийство, но только что столкнулся именно с этим (полезли синусы действительных чисел по модулю большие единицы, например, и подобные игрушки).

P(x)=0*x^2 + 0*x + 1

И "кто скажет, что это девочка, пусть первый кинет с меня камнем".
Это, в частности, из Гарднера.

(На всякий случай: определение: "... при старшем коэффициенте отличном от нуля, ..." конечно, не забыл).

Пусть f(x)=a<n> *X^n + a<n-1> *X^(n-1) + ....+ a<1>*X+a<0>,<n> — индекс, Очевидно, что f(k)-f(m)
можно представить в виде двух множителей (k-m)(.....)
Если одновременно существуют числа целые a, b , c , d : f(a)=0, f(b)=1=f(c)=f(d),то
f(b)-f(a) = 1 =(b-a)*Q , Q-целое
f(c)-f(a)=1=(c-a) *W , W -целое
f(d)-f(a)=1 =(d-a)*E , E- целое
Произведение 2-ух целых чисел равно 1, только если они оба равны 1 либо оба -1, то есть b-a , c-a ,d-a равны 1 или -1, то есть из трех чисел b-a, c-a, d-a, есть минимум 2 равных , а значит, что и среди b, c ,d, есть совпадающие, что противоречит условию, следовательно целых корней нет.

Куб разбит на 27 одинаковых кубиков. В начальный момент жук находится в центральном кубике. Из каждого кубика жук может переходить к соседнему которые имеют с ним общую границу. Может ли жук обойти все кубики побывав в каждом по одному разу?

В шахматном турнире участвуют 19 гроссмейстеров.
Каждый играет с каждым ровно одну партию.
Каждый гроссмейстер играет 18 партий,
из них 9 партий — белым цветом, 9 партий — чёрным.
Возможно ли такое?

Будет интересно, если кто-то не сможет расшифровать это в течении нескольких (менее 6) секунд. Если не сможет — значит наш мир существенно меняется.

Рамиль! Андрей!
Мне очень хочется чтобы Вы приняли участие в решении следующей (простенькой, как выяснилось) задачи.
Не столько в решении, может быть, сколько в обсуждении (коротком, конечно).
Об этой задаче я знал, но. как выяснилось — ничего не знал о правильном решении этой задачи, которое становится очевидным, как только задача дается в форме, приведенной ниже.
Противоречие между тем насколько просто решается задача и насколько просто получить неверное решение этой задачи произвело на меня некоторое впечатление.

Дядя Федор, кот Матроскин, Шарик и почтальон Печкин сидят на скамейке. Если Шарик, сидящий справа от всех, сядет между дядей Федором и котом, то кот станет крайним слева. В каком порядке они сидят?

(ну да, устно — 6-й кл...Тогда, еще можно добавить)

В чемпионате мира среди профессионалов по крестикам-ноликам на бесконечной клетчатой доске участвовало 10 игроков. Проигравший партию, выбывал из турнира. Какое максимальное число участников могло выиграть по две партии?
(хотя, тоже для младших школьников)