Уравнение с параметром

При каком значении параметра b сумма квадратов корней квадратного уравнения x^2-16x+b=0 равна 128. Применил теорему Виета, получил b=64. В школе сказали неверно, D=0 и корень один, теорему Виета нельзя применять.На курсах мне сказали, что я прав.
Как быть, если такая задача попадется на ЕГЭ?

В алгебре есть понятие "двукратный" корень! Т.е. если у квадратного уравнения один корень, тогда он считается за два одинаковых х1=х2=8. Это как раз наш случай. При таком подходе теорема Виета работает и при D=0. Просто в школе это не говорят. Но это так.

Виктор Иванович, к Вам здесь хорошо относятся. В прошлом году была тема
"Дисриминант, считаем корни" (на преподавательском ). Так, меня за аналогичный ответ совсе заминусовали.

Борис Михайлович, так это ваша заслуга! Вы поработали над общественным мнением.
Я, например, тоже очень люблю говорить ученикам, что теорема Виета верна даже, когда корней нет. Именно неформальный подход к математике, когда объясняешь ребятам, что многие понятия и определения можно развивать и доопределять, делает школьный курс не таким скучным и выхолощенным. А с точки зрения ЕГЭ, если написать в решении о двукратных корнях, то задачка Игоря Малаева вполне может быть зачтена за верную.

А как же решать задачу: найти сумму квадратов корней квадратного уравнеия x^2-3x+4=0 или лучше x^2-3x+5=0. Корней нет, а их сумма и произведение есть, значит и сумма квадратов есть?

Действительных корней нет! А в школе комплексные числа не проходят.
Если в задаче речь идет о действительных корнях, то конечно и суммы, и произведения, и суммы квадратов их не должно быть. Хотя комплексные корни есть и их сумма, и их произведение , и сумма их квадратов числа действительные. Всегда в уравнении имеет смысл уточнить из какого множества берутся неизвесные величины. Если х из м-ва действительных чисел, то решения у задачи нет.
Если уравнение решается на множестве комплексных чисел, то можно решить, но это на сегодняшний день не школьная задача. Раньше в школе проходили комплексные числа, и сейчас в некоторых школах факультативно проходят.

Я родитель, с высшим образованием. Меня смущают высказывания: у квадратного уравнения нет корней, теорема Виета работает (или не работает), когда нет корней.
Меня самого учили, а также я посмотрел справочник по математики — что квадратное уравнение всегда имеет два корня не зависимо от знака дискриминанта. Корни могут быть действительными, комплексными, кратными. При этом корни всегда связаны теоремой Виета. По этому последние задачи Игоря Малаева решаются без знания комплексных чисел. Для первого уравнения ответ 1, для второго -1.

Если это задача из ЕГЭ, то ученик имеет право не знать о комплексных корнях, тогда в решении должен быть найден дискриминант для проверки наличия вещественных корней. Если ученик продвинутый, то он должен написать, что у квадратного уравнения всегда есть корни на множестве комплексных корней, и что 1 корень — это 2 равных корня, в этом случае никаких претензий у проверяющих не возникнет.

А если ученик еще более продвинут (или подвинут, что в данном случае одно и тоже), он должен написать у квадратного уравнения есть бесконечно много корней в кольце квадратных матриц 2x2 и как прикажете искать их сумму и произведение. Интересно, возникнут в этом случае вопросы у проверяющих или сразу надо обращаться за медицинской помощью ))

Встретилась задача: при каких значениях параметра р сумма чисел, обратных
корням уравнения х^2 -4х +р =0, равна 1. Применив теорему Виета, получил р
=4. Школьный учитель говорит, что при дискриминанте, равном 0, теорема Виета
не работает — уравнение имеет только один корень. Какой же ответ в этой
задаче?????—

А вот мой запрос и ответ экспертов ЕГЭ
Sent: Sunday, November 22, 2009 1:15 PM
To: info@mathege.ru
Subject: ЕГЭ

Здравствуйте, Борис!

Квадратное уравнение всегда имеет два корня, независимо от знака
дискриминанта. Может быть так, что эти два корня совпали и равны одному
числу, но от этого их не стало меньше.
Вы правы: ответ — 4. Спасибо.

Не могли бы указать номер этой задачи в Открытом банке?

С уважением,
Администрация сайта mathege.ru

Так что же получается????? Если D меньше нуля, то корней нет, при этом же из теоремы Виета следует, что есть сумма и произведение несуществующих корней. Значит в школе не говорят всей правды????? А из ответа ЕГЭ следует, что корни всегда есть и их всегда два. ?????????

Просто в школе не изучают комплексные числа.
А действительных корней (в школе учат только действительные числа) при отрицательном D не существует.

Но как же тогда правильно решать задачи типа здешних, когда надо искать не сами корни, а какие-то функции от них, где не важно какие корни?. Ведь эксперты ЕГЭ написали, что решение правильное, хотя D=0. Значит на экзамене не надо считать D, как все время твердят в школе?????

Просто. Надо помнить, что сумма корней равна -b, а произведние корней равно с,( я подразумеваю, что а=1). Тогда сумма квадратов корней равна квадрату их суммы минус их удвоенное произведение. А чему равны сами корни — совершенно неважно.

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение sqrt(25-x^)=x-a имеет единственное решение. В ответе указать наименьшее значение а.
У меня получилось a=sqrt(50), но это неверно?

Здравствуйте!
Помогите, пожалуйста, с задачей.
Нужно доказать, что в выражении (A+λE)^n (А — произвольная квадратная матрица) можно применять бином Ньютона. Я даже не пойму, с какой стороны подойти :(

При каких значениях t система допускает решение с помощью обратной матрицы
-x(1)-2x(2) +tx(3) -6x(4)=4t-4
x(1)+7x(2) -17x(3)+16x(4)=-3t-3
-4x(1)+x(2)-19x(3)+tx(4)=12t-12
2x(1)+3x(2)-x(3)+10x(4)=-6t+5
Решили эту задачу с первокурсником МФТИ (бывшим моим учеником). Получилось t=2 .
Но это же самое решение в весьма средненьком ВУЗе не засчитано, возвращено с пометкой- ищи еще. Может быть кто-нибудь найдет?

Помогите, пожалуйста, найти первообразную функции y(x) =√(16-〖16x〗^2/36)

При условии [m]\frac{4arct{{g}^{2}}x}{x}+7\pi arctgx=2{{\pi }^{2}}x[/m] найти [m]\frac{{{x}^{2}}}{xarctgx+arct{{g}^{2}}x}[/m]. Задача на курсах(переводная контрольная) МГУ. В школе и близко ничего не было.

Привести с помощью алгоритма Лагранжа и ортогональных преобразований к диагональному виду : 2*x1*x3 +(x2*x2).Разбирался с алгоритмом Лагранжа, он применяется для матриц.Т.е нужно перевести 2*x1*x3 +(x2*x2) в матртицу, непоняно как это сделать.И еще не ясно как применять ортогональные преобразования