Связь множеств и композиции

Доказать, что для любого множества M: M^2 ○ M^2 = M^2
○ — символ композиции;

Знаю, что M×M = M^2

Получается нужно доказать, что (M×M) ○ (M×M) = (M×M)

Докажем, что M^2 ○ M^2 ⊆ M^2

(x, x) Є [(M×M) ○ (M×M)] ⇔ (Ǝy) [(x, y) Є (M×M) & (y, x) Є (M×M)] ⇔

(Ǝy) [(x Є M) & (y Є M) & (y Є M) & (x Є M)] ⇔

(Ǝy) [(x Є M) & (y Є M)] ⇔ (Ǝy) [(x, y) Є (M×M)] ⇔ (Ǝy) [(x, y) Є M^2]

В итоге я не избавилась от (Ǝy).
Где я допустила ошибку в доказательстве ....
Заранее спасибо.

Я думаю, что Вы запутались из-за того, что тут куча букв [m]M[/m]...

Пусть [m]A\times B[/m] --- декартово произведение множеств [m]A[/m] и [m]B[/m]. Что такое отношение на множестве [m]A\times B[/m]? Отношение [m]R[/m] на [m]A\times B[/m] --- это просто подмножество [m]R[/m] в [m]A\times B[/m].

Пусть теперь у нас есть два отношения: [m]R[/m] на [m]A\times B[/m] и [m]S[/m] на [m]C\times D[/m]. По определению их композиция вида [m]R\circ S[/m] существует тогда и только тогда, когда множество [m]B[/m] равно множеству [m]C[/m]. Ну пусть [m]B=C[/m], тогда [m]S[/m] есть отношение на [m]B\times D[/m] и отношение [m]R\circ S[/m] есть подмножество (всегда помните, что отношение --- это просто подмножество) в [m]A\times D[/m], определенное (по определению!) как:

[m]R\circ S=\left \{ (a,d)\in A\times D|\ \exists b\in B\colon(a,b)\in R\ and\ (b,d)\in S \right \}.[/m]

У Вас в задаче множества [m]A,B,C[/m] и [m]D[/m] равны одному и тому же множеству [m]M[/m], а [m]R=S=M\times M[/m]. Если Вы поняли что я тут написал, то теперь все должно быть для Вас тривиально.

Пусть

R⊆(A×B), S⊆(B×C) и A=B=C=M,

то (R○S) ⊆ (M×M) => (M×M) ○ (M×M) ⊆ (M×M).

Вышеприведенное в моей голове укладывается.

Получается:

Пусть R = (x, z) ⊆ (M×M) и S = (z, y) ⊆ (M×M) =>

(R○S) = (Ǝz Є M) [(x, z) Є (M×M) & (z, y) Є (M×M)]

и вот эта длинная запись является подмножеством (M×M).

Какое-то поверхностное у меня понимание, хотя вроде все логично, чего-то не хватает, чтобы можно было сказать поняла на 100% или как "дважды два четыре" ясно и даже не могу сформулировать корректный вопрос, что же непонятного-то.
Но все равно БОЛЬШОЕ СПАСИБО!

Вы зачастую путаете символы [m]\in и \subseteq[/m], [m]a\in A[/m] --- элемент [m]a[/m] принадлежит множеству [m]A[/m], [m]A\subseteq B[/m] --- множество [m]A[/m] есть подмножество множества [m]B[/m].

Пусть [m]R=M^2[/m] и [m]S=M^2[/m], мы хотим понять чему равно [m]R\circ S[/m]. По определению [m]R\circ S\subseteq M^2[/m], покажем, что [m]M^2 \subseteq R\circ S[/m] (по определению множество [m]A[/m] рано множеству [m]B[/m] если [m]A\subseteq B[/m] и [m]B\subseteq A[/m]).

Если множество [m]M[/m] пусто, то утверждение очевидно, пусть [m]M[/m] не пусто.

Возьмем произвольный элемент [m](x,y)\in M^2[/m], тогда существует элемент [m]z\in M[/m] (на самом деле нам вообще любой [m]z[/m] подходит), такой, что [m](x,z)\in R[/m] и [m](z,y)\in S[/m], тогда, по определению композиции, [m](x,y)\in R\circ S[/m], т.е. [m]M^2 \subseteq R\circ S[/m] и все доказано.

Если Вы путаете символы принадлежности и не понимаете как решать такого уровня задачи, то, я думаю, Вам не надо использовать записи с логикой предикатов (вообще эти записи практически никто кроме самих логиков не использует), лучше написать словами.

Отрывок из учебника "f и g — постоянные отображения из X в X, т.е. значения f(x) и g(x) не зависят от x. Тогда f ≠ g => f○g ≠ g○f" (композиция двух отображений)

Вопрос: что такое "постоянные отображения, не зависящие от x"? Если возможно, то приведите пример, пожалуйста.
Заранее спасибо.

Корректно ли я, используя символы математической логики, доказала, что для любой функции f и для любых множеств A и B: f(A⋂B) = f(A) ⋂ f(B).

x Є f(A⋂B) ⇔ Ǝy Є (A⋂B) [x=f(y)] ⇔ Ǝy Є (A⋂B) [(x Є f(A)) & (x Є f(B))] ⇔ x Є (f(A) ⋂ f(B))

Или же кое где вместо символа Є следовало написать знак равенства?

P.S. Доказательство, использующее простейшие логические операции – это так красиво!

1) Доказать, что мн-во М матриц (а,0//0,а), где а∈R, a!=0, есть подгруппа мультипликативной группы G всех невырожденных матриц 2-го порядка.

2)Доказать, что мн-во четных подстановок 3-го порядка образует не коммутативную группу относительно операции композиции подстановок.

3)Доказать, что мн-во матриц вида (а,b//-b,a), a,b∈R, является полем относительно операций сложения и умножения.

Случайные величины кси_1,кси_2...кси_n независимы и равномерно распределены на отрезке [0,1]. Пусть эта(греч.символ) — случайная величина,равная тому k, при котором сумма S_k=кси_1+кси_2+...кси_k
впервые превосходит 1. Найти среднее значение эта.