|
👍 +3 👎 |
Сколько корнейРешали уравнение, вопрос-сколько у него корней (х)^(2x^2)=1, в школе говорят один корень х=1. Преподаватель ВУЗа, у нас ведет дополнительные занятия,говорит: х=-1, х=1, х=0. Что правильно???
математика обучение
Малев Николай
|
|
👍 0 👎 |
Не правы ни тот, ни другой. Корни x=1, x=-1.
При x=0 получается неопределенность 0^0. |
|
👍 0 👎 |
Ой, Владислав Аркадьевич!
Пока я писала вопрос, чтобы Николай сам мог проверить, Вы уже дали ответ. |
|
👍 −2 👎 |
Если мне не изменяет память, 0^0=1
|
|
👍 +2 👎 |
Проверить, какие из названных чисел являются корнями уравнения, проще всего (как найти самому все корни -немного другой вопрос).
Николай! Что называется корнем уравнения? Напишите определение, пожалуйста. |
|
👍 +4 👎 |
Вообще-то сложная показательно-степенная функция F(x)=G(x) ^H(x) определяется во всех школьных учебниках и традиционных пособиях для поступающих в ВУЗ (начиная с М.Сканави) как функция, определенная при G(x)>0. При этом специально указывается, что значения х, приводящие к верным равенствам вроде :
(-1)^6=1 и (-3)^0=1, НЕ ЯВЛЯЮТСЯ корнями исходного уравнения. Разумеется, это вопрос конвенции. Возможно, причина в том, что основным методом решения таких уравнений (и аналогичных неравенств) является логарифмирование. Но это совсем другая история. УЧИТЕЛЬ ПРАВ. |
|
👍 0 👎 |
У меня, к сожалению, нет под рукой учебников за 10 класс.
Но под рукой классическое пособие Ершовой А.П. и Голобородько В.В. "Вся школьная математика в самостоятельных и контрольных работах. Алгебра 7-11". Самостоятельная работа 10-С28. Показательно-степенные уравнения и неравенства. Перед ответами стоит комментарий: "При решении задач данной работы предполагается, что основание степени может принимать неположительные значения". |
|
👍 +1 👎 |
Тем более прав Игорь Владимирович (в части конвенции), раз допущение неположительных оснований не подразумевается by default и относится к задачам данной работы.
|
|
👍 +1 👎 |
"раз допущение неположительных оснований не подразумевается by default и относится к задачам данной работы." оно должно специально оговариваться.
|
|
👍 0 👎 |
Этот комментарий приведен для учителей — там, где даются ответы и пояснения, предшествует им. В тексте самостоятельной работы ТС-28 его нет — там это подразумевается именно by default. (И это единственная в данной книге работа, в которой даются именно показательно-сстепенные уравнения и неравенства.)
(А у Сканави именно так, как пишет Игорь Владимирович.) |
|
👍 +4 👎 |
Значит ситуация следующая
Формально, если поставлена задача решить уравнение, то и 1, и -1 являются его корнями, так как число, превращающее уравнение в числовое равенство, является его корнем. Т.е., если это задание на экзамене в институт, на олимпиаде или ЕГЭ, сдаваемом при институте, то нужно указывать и отрицательные корни в том числе. Если это задание на ЕГЭ, которое пишется в школе, то благодаря бессмысленному барьеру, установленному, например, учебником Колмогорова, который озвучил Игорь Владимирович, нужно указывать условие положительности и не включать его в ответ. Этот вопрос был причиной непоступление многих абитуриентов в пору вузовских экзаменов. Дети, руководствуясь школьным условием, отметали отрицательные корни и получали на бал меньше. Есть здравый смысл, а есть глупый запрет для школьников, который в институте сразу же отменяется. И чтобы не наступить на грабли, приходиться в решении описывать, что можно и что нельзя, и подстраиваться под тех, кто проверяет. В последние годы я подобных уравнений в экзаменах не встречал, а если встречал, то в основании стоял модуль, позволяющий забыть об отрицательности. Видимо, до составителей наконец дошло, что подсовывать детям задания с двоякой трактовкой неэтично. Но правильным шагом было бы убрать эту ненужную фразу из учебника. Кстати, по другим программам этот вопрос вообще не обговаривается: как хочешь, так и решай. |
|
👍 +1 👎 |
Немного уточню понятие корня уравнения для учеников, которые задают нам вопросы (добавлю случайно пропущенное слов): число, превращающее уравнение в верное числовое равенство.
|
|
👍 0 👎 |
Конечно, конечно.
|
|
👍 +8 👎 |
Это не бессмысленный барьер. Попробуйте поставить себя на место школьника и ответить на пару вопросов.
1. Как обстоят дела с непрерывностью функции в левой части уравнения (в правой 1) в окрестности тех точек, которые Вы называете корнями. 2. Как корректно обращаться с показательной функцией при отрицательном основании, ведь, очевидно, (-1)^2 не равно ((-1)^(1/2))^4 Что касается ВУЗовских экзаменов, то Вы можете проанализировать ответы, к уравнениям и неравенствам соответствующего типа, скажем, из пятитысячника Куланина и Федина, а также методические указания к ним. Отдельно замечу, что при решении неравенств означенного типа описанный подход может привести к катастрофическому объему перебора, так как каждое значение х, при котором G(x) -целое отрицательное, зачастую требует отдельной проверки. Что касается меня, то каждому своему ученику, выходящему на ВУЗовский экзамен, особенно в малознакомое место, я советовал во избежание сюрпризов задавать уточняющие вопросы в случае появления таких задач. |
|
👍 0 👎 |
Последняя фраза верна на 100%. Именно так и следует поступать на консультации перед экзаменом, чтобы не нарваться.
1. Здесь, конечно, без комплексных чисел не обойтись. В профильных классах их изучают, а по базовой программе вообще не должны показывать уравнения с показательно-степенными функциями, дабы не давать ученику того, что объяснить не могут. 2. Ну а показательная функция и определяется только при положительном основании, так что и обращаться при отрицательном с ней нечего. |
|
👍 +1 👎 |
При указанных ограничениях такие задачи можно показывать кому угодно: хоть выпускникам сельских школ, хоть выпускникам обычных школ десятилетней "выдержки". Усвоение вместе с неравенствами — за 1-2 академических часа. Неоднократно проверялось.
Итак, логарифмируем исходное уравнение (или любое другое уравнение или неравенство этого типа) по любому основанию, большему 1 : 2*(x**2)*ln(x)=0 , и занавес опускается. |
|
👍 0 👎 |
в #18 вместо "G(x) — целое отрицательное" читать "G(x)<0; H(x) — целое четное"
|
|
👍 +1 👎 |
Это типа шутки:
Информация с опроса Ноль в нулевой степени? (чур не гуглить) 25.31% (243) Ноль 64.58% (620) Единица 10.1% (97) Не знаю Проголосовало 960 человек. Воздержался 81 человек. |
|
👍 +3 👎 |
Разговаривать об этом даже на уровне шутки бессмысленно. Это все равно, что голосовать по поводу ударения в слове "компас" на морском форуме.
Указанный форум известен как "гнездо" программистов и дискретчиков, которые, быть может забыли всю без исключения школьную математику, но еще помнят, что в дискретной математике действительно 0^0=1 по определению. СТОИТ НАПОМНИТЬ, ЧТО ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА — ЭТО НЕ ТОЛЬКО НЕ ВСЯ МАТЕМАТИКА, НО И, СТРОГО ГОВОРЯ, НЕ ВПОЛНЕ МАТЕМАТИКА. Рекомендую г. Кругликову обратиться на форум, популярный среди специалистов по функциональному анализу. |
|
👍 0 👎 |
И зачем мне обращаться на форум по функциональному анализу, когда я сдал экзамен по этому предмету Треногину В. А. -автору учебника.
|
|
👍 +1 👎 |
И что же, по Вашему мнению, он думает по поводу неопределенности 0^0 и ее сходстве и различии с пределом в нуле от х^x ?
|
|
👍 +4 👎 |
Логарифмировать нельзя, если не оговорено, что основание положительно. Решать нужно, исходя из следующего.
Число при возведении в степень может давать 1 в двух случаях: 1) если степень 0; 2) если оно само по модулю равно 1. Все, что происходит с рассматриваемой функцией в комплексных числах находится при x<=0. Но в точке -1 мнимая часть обращается в 0, поэтому школьник может указывать это число в качестве корня, если ему, конечно, изначально не поставили условие не указывать. А вот то, что 0 нельзя возводить в неположительную степень (здесь тоже мнимая часть нулевая) — это общепринятое правило. Все дело в несовершенстве конвенции, как уже правильно заметили. Вот взгляните на график обсуждаемой функции.  |
|
👍 +6 👎 |
Я, собственно, и писал, что логарифмируем "при указанных ограничениях", т.е. при положительном основании. К слову сказать, в комплексной области можно логарифмировать что угодно.
На мой взгляд, описанный алгоритм нахождения корней (без слов "по модулю") прямо вытекает из процедуры логарифмирования. Графики, которые Вы любезно предоставили, я себе более или менее представляю. Однако такие представления у меня появились где-то курсе на втором. Не думаю, что найдется много школьников хотя бы с поверхностными познаниями в ТФКП. Из всего сказанного можно сделать один из двух выводов: а) оставить школьникам задачи с положительным ограничениями, и пусть на них они отрабатывают полезную технику, предоставив задачи общего вида университетским студентам или b) забыть о задачах такого типа в школе навсегда. Не слишком великая, но потеря. |
|
👍 0 👎 |
Есть третий вариант, в чем-то близкий к Вашему б). Он нем написал Владислав Аркадьевич в № 10.
"В последние годы я подобных уравнений в экзаменах не встречал, а если встречал, то в основании стоял модуль, позволяющий забыть об отрицательности". То есть, если давать школьникам похожие уравнения, то ставить в основание модуль. |
|
👍 +1 👎 |
Похоже, что ближе к вечеру не все на форуме отличают "а)" от"b)"., т.е. наша дискуссия достигла хоть какого-то результата. Я бы продолжил "..., но это ни в коем случае не мешает нам выпить", но опасаюсь реакции администрации.
|
|
👍 +1 👎 |
Предлагаю разложить бином Ньютона (x+y)^n= (n!/n!0!)x^ny^0 при у=0 , вынуждены считать 0!=1 и 0^0=1.
|
|
👍 +2 👎 |
О господи! 0!=1 — да, а про 0^0 вы это откуда взяли?
Где в биноме 0^0 появляется? |
|
👍 +1 👎 |
Похоже обсуждение данной задачи подвело нас к тому, что соглашение следует дополнить равенством 0^0 = 1 ?
|
|
👍 +9 👎 |
Такое соглашение создаст новые проблемы:[m]\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + 0} \left( {e^{ — \frac{1}{x}} } \right)^x = ?,\quad \mathop {\lim }\limits_{x \to + 0} x^{\frac{1}{{1 + \ln x}}}=?\][/m]
Равенство [m]\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + 0} x^x = 1\][/m] показывает, что функция [m]\[y = \left[ \begin{gathered} x^x ,\;x > 0 \hfill \\ 1,\;x = 0 \hfill \\\end{gathered} \right.\][/m] непрерывна справа в точке 0. Это не даёт повода полагать, что [m]\[0^0 = 1.[/m] [m]0^0[/m] — неопределённость, подобная [m]\frac{0}{0},\;\;\frac{\infty }{\infty }[/m]. Ведь [m]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1\[/m] не означает [m]\frac{0}{0} = 1[/m] |
|
👍 −1 👎 |
Провели эксперимент: взяли японский научный калькулятор SHARP- 0^0= error, 0!=1, (-2)^(-2)=error.
Калькулятор Windows- 0^0= 1, 0!=1, (-2)^(-2)=0,25. Калькулятор Sitizen-0^0= 1, 0!=1, (-2)^(-2)=0,25. Разложил бином Ньютона (а+b)^n при а =0, чтобы получить b^n, деваться некуда, надо требовать, чтобы 0!=1 и 0^0=1. Все это мы проделали под руководством нашего дополнительного преподавателя – профессора ВЦ Академии наук России, профессора МФТИ. Я показал ему ответы на мой вопрос на сайте, он сказал, что думает по этому поводу- не буду пересказывать, вспомнил царя Петра: «как еще Петр 1 советовал — дабы глупость видна была» |
|
👍 +11 👎 |
Эти ваши эксперементы с калькуляторами — это всё равно, что изучать законы физики по фильмам Звёздные войны.
Калькулятор 0^0 вычисляет как предел, т.к. калькулятор всегда вычисляет с определённой погрешностью (машинные вычисления вообще не возможны без погрешностей). Для калькулятора 0 — это не математический 0. Читайте архитектуру ЭВМ, молодой человек. |
|
👍 −2 👎 |
А почему -2^-2 не может вычислить????Может с архитектурой у Вас неплохо, а вот с элементарной математикой-совсем плохо, про бином особенно
n!/ k!(n-k)! x^(n-k)y^k -общий член бинома Ньютона, а теперь у=0 и к=0. |
|
👍 +7 👎 |
Вы специально издеваетесь над здравым смыслом или у вас недержание?
Вы знаете, например, как вывести формулу для решения квадратного уравнения ax^2+bx+c=0? Надеюсь, что знаете. И знаете что получается х1,2=(......)/(2a). Так вот, следуя вашей традиции можно положить а равным нулю и доказать что линейное уравнение не имеет решения! Но! Давайте вспомним, что перед выводом решения квадратного уравнения мы положили что а не равно нулю! Т.е. я призываю помнить, что каджая формула имеет ограничения в использовании, а именно, работает только для тех чисел, для которых она выводилась. Да будет вам известно, что при выводе бинома Ньютона предполагается, что a и b не равны нулю! Занавес. |
|
👍 +4 👎 |
Нда....
(про комплексные числа молчим) Давайте рассмотрим выражение x^(2x^2): x^(2x^2)=(x^(x^2))^2. Очевидно, что (x^(x^2))^2>=0 т.к. мы возводим число в квадрат. Так же очевидно, что для выполнения тождества x^(2x^2)=1 необходимо, чтобы x^x^2=+-1 (т.к. из (x^(x^2))^2 число 1 мы больше никак поличить не сможем), откуда и получаем два корня x1=-1, x2=1. Какие здесь могут быть проблемы? Теперь давайте вспомним, как доказывается то обстоятельство, что на 0 делить нельзя? Все прекрасно помнят? Мы выкидываем из алгебры число 1/0, т.к. оно приводит к противоречиям в аксиомах, на которых эта алгебра строится (конкретно: а*0=0 и a/a=1). Так вот, доказать что 0^0 так же просто (даже не открывая Ван дер Вардена): 0^0=0^(a-a)=0^a*0^-a, при a>0 0^-a не существует, при a<0 0^a не существует, => 0^0 не существует. Quode erat demonstrandum. |
|
👍 +7 👎 |
Конечно, невежественные люди сейчас обложат меня матершиной с головы до ног, говоря что предел a^a при a->0 даёт 1. Да, предел даёт 1. Но, пердел — это предел, а число — это число. В таком случае, советую вспомнить что такое предел: если а->0 это значит что a не равно 0.
|
|
👍 +1 👎 |
Прекрасная аргументация, Алексей Алексеевич!
Давайте вернемся к исходной задаче. Сколько же корней имеет уравнение 1, 2 или 3? |
|
👍 +3 👎 |
Получается, 2 действительных корня: x1=-1, x2=1.
Комплексные искать будем? |
|
👍 +1 👎 |
Спасибо за исчерпывающий ответ, Алексей Алексеевич! Ваша позиция убедительна. Хотелось бы уточнить один момент. Прокомментируйте, пожалуйста, график в высказывании #25 Вуля В.А., где просматриваются три корня {-1, 0, +1}
|
|
👍 +3 👎 |
У меня, например, программа математика вообще отказалась строить эту функцию при x<0. Какой алгоритм там реализован — незнаю, поэтому сказать тут ничего не могу.
А на данном графике, в точке x=0 разрыв 1-го рода, что подтверждается левосторонним и правосторонним пределом, который мы уже обсудили. |
|
👍 0 👎 |
Согласен!
Однако, разрыв 1-ого рода — это устранимый разрыв. (Представим, что мы решаем важную задачу из теории «черных дыр», поиска бозонов или СПИДа хомячков, где крайне нежелательно пропустить корень). Устраним этот разрыв. Тогда, по Вашему мнению, х=0 будет корнем? |
|
👍 −1 👎 |
Прекрасная аргументация, Алексей Алексеевич!
Давайте вернемся к исходной задаче. Сколько же корней имеет уравнение 1, 2 или 3? И я присоединяюсь к вопросу: так сколько корней и какие именно. Мне это особенно интересно после графика, приведенного выше, где все видно. |
|
👍 −2 👎 |
А в нуле не видно? А вы еще с биномом Ньютона не разобрались
n!/ k!(n-k)! x^(n-k)y^k -общий член бинома Ньютона, а теперь у=0 и к=0. О господи! 0!=1 — да, а про 0^0 вы это откуда взяли? Где в биноме 0^0 появляется? |
|
👍 0 👎 |
С биномом разобрались. Читайте выше. В биноме (a+b)^n а и b должны быть не равны нулю, иначе приведённая формула разложения n!/ k!(n-k)! x^(n-k)y^k (там сумма по к от 0 до n) не работает.
У уравнения 2 действительных корня (-1 и +1). Теперь вопрос к вам: комплексные корни нужны? |
|
👍 −2 👎 |
И почему некоторые научные калькуляторы не вычисляют (-2)^(-2)? Вы написали , что калькулятор вычисляет через пределы а ведь это не так. Нам профессор ВЦ все подробно про это объяснил. Теперь то увидели, как в биноме, а также в многочленах появляется 0^0.
|
|
👍 +4 👎 |
ЧИТАЙТЕ ВЫШЕ!
Найдите в интернете вывод формулы бинома Ньютона (a+b)^n, или сами выведите. Поймёте почему там надо положить a и b не равными нулю. "И почему некоторые научные калькуляторы не вычисляют (-2)^(-2)?" А почему в звездных войнах лазеры в космосе бдзынькают, там же вакуум и звук нераспространяется? |
|
👍 −1 👎 |
Теорема. Для произвольных чисел а и b и натурального n справедлива формула бинома Ньютона : сумма по к от 0 до n n!/ k!(n-k)! x^(n-k)y^k
Пособие по математике для поступающих в ВУЗы под ред. Г.Н. Яковлева. Москва, наука, 1981 стр. 282. Так, что Вы не в курсе. Потом я спрашивал не про ноль, а про (-2)^(-2). Я то теперь знаю, есть совершенно математическое объяснение. А Вы и про калькуляторы не в курсе. |
|
👍 −2 👎 |
Тогда зачем вы здесь вопросы задаёте? Вы же самый умный, вот и отвечайте на все вопросы сами!
Ахинея! Неужели вы сами не видите, что если в формуле a^(n-k)b^k положить a или b равным нулю, тогда a^(n-k)b^k=0 (для всех показателей степени кроме случаев, когда n-k=0 или k=0) и как следствие сумма по к от 0 до n n!/ k!(n-k)! x^(n-k)y^k что даст? Шах и мат вам. На ваши вопросы я больше отвечать не буду. Подавитесь. |
|
👍 +3 👎 |
Читайте внимательно что я написал. Калькулятор работает с нулём не как с математическим нулём, а как с физическим. Вот предел и получается: 0.0000001^0.0000001=0.999998
Я понятно объясняю?) |
|
👍 0 👎 |
Борис Кругликов, я вас раскусил. Вы заканчивали МФТИ, и, предположительно, давно. Вы работаете с математическими величинами как с физическими. Это, конечно, правильно, но здесь метематическая задача а не физическая.
|
|
👍 +5 👎 |
На первой же лекции по мат анализу академик Никольский(ему 105 лет, кажется он продолжает работать) сказал 0^0=1, 0! =1 по определению. Это определение сделано по требованию прикладных математиков, чтобы не было проблем с записью многочленов, бинома Ньютона и других вещей, о которых вы узнаете к 3 курсу. Теперь я знаю о чем он умолчал — абстрактная алгебра.
Я сейчас занимаюсь со школьником из знаменитой гимназии 1543-у них в 9 классе теория чисел, комбинаторика, абстрактная алгебра- у них тоже дали эти определения. Без обсуждения с позиций теоретической математики- это просто так удобно считать. Занимаюсь также с первокурсником ИКСИ Академии ФСБ. У них там математики высшей квалификации, так тоже на первой лекции сказали то же самое. И не вводите молодого человека в заблуждение с биномом Ньютона, там нет требования, чтобы а и b были не равны 0. И в калькуляторе зашито разложение в ряд Тейлора, а т.к. функция х^x не определена при отрицательных х,то в старых моделях калькулятора не считается (-2)^(-2). |
|
👍 +1 👎 |
Мой калькулятор выдает:
(-2)^(-2)=0.25 0^0 E (ошибка, то же самое он выдает на 6/0). Калькулятор: CITIZEN scintific calculator |
|
👍 +3 👎 |
1. Золотые слова. У нас задача алгебры, а не численные методы обработки эксперементальных данных, где есть предел точности и доверительный интервал. Поэтому, здесь мы должны следовать правилам алгебры. Той самой абстрактно
2. Не надо мешать в кучу 0!=1 и 0^0=1. Введения 0!=1 не приводит к противоречиям. И вообще, 0!=1 — это отдельный разговор. 3. А разложение в ряд функции x^x как раз превращает математический 0 (x=0) в физический. |
|
👍 −1 👎 |
Я составил также свое мнение о Сайте, точнее, думаю, что только о тех, кто здесь участвовал. Я прислушался также к мнению , высказанному моим дополнительным преподавателем, он мне каждое высказывние разложил по... Ну а давиться я не собираюсь , все равно всех благодарю, все равно все было для меня полезно и интересно.
|
|
👍 +1 👎 |
в дипломе есть две графы(по крайней мере у меня) : квалификация и специальность. Вот они и определяют все. Ни у однгого выпускника технического ВУЗа (до90-х годов ) не было квалификации матемтика, физика, или соответственно инженера-математика, инженера-физика со всеми вытекающими последствиями. Эти последствия состоят в том, что на чем нибудь непрофессионал да проколется. Например, 0^0=1.
На сегодня в МИРЭА защита диплома с квалификацией инженер-математик. Ни один ни ответил на вопрос , что такое мат ожидание, дисперсия,. Удиленно: я же написал программу. Никто даже не слышал, что такое основная теорема арифметики, основная теорема алгебры, примеры можно продолжать.... |
|
👍 +2 👎 |
Решить уравнение-значит найти все его корни, удовлетворяющие ОДЗ. В уравнении х!=1 функция х! определяется как произведение последовательных натуральных чисел от 1 до х. Число 0 не является натуральным, потому данное уравнение имеет только один корень х=1.
И это школьная азбука. |
|
👍 +2 👎 |
Факториал определяется для натуральных чисел и 0 рекурентной формулой n!=Г(n+1), где Г(...) — гамма-функция.
В комбинаторике факториал определяется как количество перестановок внутри множества из n элементов, поэтому внутри пустого множества возможна одна перестановка — ничего не трогать, всё на своём месте (поэтому 0!=1). С другой стороны, определив что n!=1*2*...*n легко вывести рекурентную формулу n!=(n-1)!*n, откуда (n-1)!=n!/n — это эквивалентное определение факториала. Теперь, положим n=1: 0!=1!/1=1. Что и требовалось доказать. |
|
👍 +1 👎 |
Вот вам 3 варианта доказательства, что 0!=1. Это не определение, это обстоятельство строго доказывается! И прошу больше не мешать в одну кучу теоремы и аксиомы! Прям как на базаре!
|
|
👍 −2 👎 |
Блестящее "доказательство". Сначало вводится рекуррентное определение факториала n!=(n-1)!*n. Как известно в любой рекурренте надо задавать начальные условия, в данном случае начальным условием является 0! = 1. Затем из рекурренты "доказывается", что 0!=1. Если бы в качестве начального условия взять 0!=7, то мы "доказали" бы , что 0!=7. За такое "доказательство" меня бы из моей школы выгнали бы немедленно. Здесь все такие репетиторы?
|
|
👍 +2 👎 |
# 79.
n! определяется как сложное произведение n натуральных чисел от 1 до n. В свою очередь, сложное произведение по Б.Л.Ван дер Варедену определяется в том числе для нуля сомножителей: "пишут [m]\prod\limits_{i=1}^0 a_i=e[/m]" [КЦ], где e — единичный элемент группы (у нас 1). В случае 0! мы как раз и имеем дело с нулём натуральных сомножителей. |
|
👍 +2 👎 |
Похоже, кроме нас двоих Ван дер Вардена здесь никто даже не открывал...
|
|
👍 0 👎 |
Когда на третьем курсе я явился на семинар по теоретической физике только к концу семестра, меня тут же к доске вызвал нобелевский лауреат ак. Гинзбург. Я был совсем не в курсе, по пытался писать какие-то формулы. Так Гинзбург мне сказал, я думал вы ничего не знаете, а вы оказывается математик. 0!=1- так решили. Но в уравнении х!=1 этот корень не подходит по ОДЗ. Именно поэтому этого корня нет в ответе , когда эта задача разбиралась на олимпиаде для 8- классников.
|
|
👍 +2 👎 |
Откуда вы берёте такое ОДЗ? Из мешка с картошкой или морковкой?
|
|
👍 +2 👎 |
Факториал
[править] Материал из Википедии — свободной энциклопедии (Перенаправлено с !!) Факториа́л числа n (обозначается n!, произносится эн факториа́л) — произведение всех натуральных чисел до n включительно: Определение факториала Факториал натурального числа n равен произведению всех предшествующих натуральных чисел от 1 до n включительно. n! = 1•2•3•...•(n-1)•n Факториал нуля Теперь вернемся к вопросу о факториале нуля. Умножение на ноль дало бы в результате ноль. Но для задачи комбинаторики, решение которой рассмотрено выше, факториал нуля означает: сколько нользначных чисел можно составить из ниодной цифры? Ответ: одно (пустое) число. Исходя из этого, принято следующее определение факториала нуля: 0! = 1. Школьники должны знать это. |
|
👍 +1 👎 |
Да сколько можно одно и то же повторять? Если вы внимательно читали хотя бы одну книгу по алгебре, могли бы заметить, что натуральные числа — есть мощности счётных множеств. Это раз. Пустое множество — это счётное множество? Сколько там элементов? Сколько перестановок можно сделать из элементов счётного множества? Вот так можно догадаться до того, что такое сложное произведение.
Знать-это одно, а думать-совсем другое. Подумайте уже наконец! Математика — это вам не филология, где заучили и приняли! |
|
👍 +1 👎 |
Цитирую: "Факториал натурального числа n равен произведению всех предшествующих натуральных чисел от 1 до n включительно."
ДА!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! А 0 — не является натуральным числом!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Значит, для нуля формула n! = 1•2•3•...•(n-1)•n НЕРАБООООТАЕТ!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ЧИТАЙТЕ ВАН ДЕР ВАРДЕНА!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! |
|
👍 0 👎 |
Если бы было дано уравнение Г(n)=1, где Г( )-гамма-функция, тогда было бы два решения х1=0, х2=1. Но в школе не знают гамма-функции а знают только n!=1*2*...*n.
Именно поэтому в школьной задаче только один корень х=1. Именно такое решение дано в разборе олимпиадной задачи. Это не я придумал, а составители. |
|
👍 +2 👎 |
Тогда уж Г(n+1), т.к. n!=Г(n+1). Вот у уравнения Г(n+1)=1 как раз корни 0 и 1.
А какой был вопрос? Был вопрос-решить уравнение (предположительно-в действительных числах). Что и было сделано. |
|
👍 +2 👎 |
Алексей Алексеевич!
Вы можете сто раз быть правы, но подобный стиль не допустим ни по отношению к коллегам, ни по отношению к школьникам. Вы же преподаватель! И похоже, хороший преподаватель. Извините, пожалуйста, за резкость. |
|
👍 +1 👎 |
Борис Михайлович!
Я Вас не узнаю. Какая разница, что дано в разборе олимпийской задачи? Нашли критерий! Да там ошибки или, когда составители то ли задач, то ли ответов сами видят не все решения — направо, налево. Даже младшеклассники находят решения, которые не нашли их составители. |
|
👍 −2 👎 |
Так вопрос ставился иначе. Вы совершенно правы, что составители многих задач могут что- то упускать. Но ученики хотят понять, почему в ответе нет корня х=0, если они знают, что 0!=1.
По поводу качества образования. Реальность такова, что , когда я учился на Физтехе, если студент получал на 3-ем курсе на госэкзамене по физике 2, его переводили в технический ВУЗ, если получал 3, то его переводили в МГУ. Человека, имеющего диплом МФТИ, МИФИ берут на работу на Западе без проверок. Если диплом технического ВУЗа, то будут проверять . Если медицинский диплом, то в младший персонал. |
|
👍 +1 👎 |
А Вы уверены, что технические вузы принимали того, кого им переводили? И МГУ принимал?
|
|
👍 +1 👎 |
На сегодня могу сказать следующее. С 1-го и 2-го курсов ИКСИ отчисляют очень много, как раньше на Физтехе. Их всех (которые с двойкам) устраивают в разные ВУЗы, где есть нечто подобное защите информации или прикладной математике. И кто же их попробует не взять, они же проверенные.
|
|
👍 +1 👎 |
Проверенные — это как?
Как когда-то было с ведомственными больницами — "полы паркетные — врачи анкетные"? |
|
👍 0 👎 |
ИЗГНАННИК –получил тройку на госе по физике на Физтехе
Я брожу средь ненаших ребят По чужим коридорам физфака И теперь мне повсюду твердят, Что я неуч, лентяй и гуляка. На физфаке покоя мне нет. Здесь попал я в стихию чужую. А как вспомню родной институт, Так по нем еще больше тоскую. Я тоскую от этих потерь, На душе у меня нелегко. Долгопрудная, где ты теперь? Далеко-далеко. Здесь теорию свято блюдут, А науки живой сторонятся. Здесь по старым законам живут, Только зданием новым кичатся. Алиханов давно здесь забыт, О Ландау не скажут ни слова, Но зато Скобельцын здесь царит И Иваненко с Соколовым. Если б вновь на физтех я попал, И товарищей встретил своих, Я б Тулайкова даже обнял - Так мне грустно без них. Я тоскую от этих потерь, На душе у меня нелегко. Долгопрудная, где ты теперь? Далеко-далеко. На мотив эмигрантского танго "Тоска по родине" (музыка Ж. Ипсиланти, слова Г. Храпака, не позднее 1945, там же см. ноты) — этот же мотив использован в популярной лагерной песне "Не печалься, любимая". |
|
👍 +1 👎 |
Была задача: решить уравнение х!=1 для 8-го класса. Совершенно сознательно не указывалось на каком множестве, именно поэтому задача олимпиадная.
Функция f(x)=x! определена на множестве натуральных чисел. Функция f(x)= Г(х) определена даже на множестве комплексных чисел. Именно поэтому в первом случае корень один, а во втором больше. |
|
👍 0 👎 |
Функция x! определена на множестве x={0,1,2,3,4,...}.
Именно поэтому в первом случае два корня 0 и 1. В случае с гамма-функцией я даже думать ничего не буду, т.к. тут бесполезно делиться с кем то своими мыслями. Однако, намекну, что в точках 0,-1,-2,-3,... она имеет полюса. |
|
👍 −1 👎 |
Я хочу со своей стороны закончить эту дискуссию.
Если уж г. Капоский знает гамма-функцию, то почему он все равно решает поставленную задачу х!=1 неверно. Он дает два корня, но корней то больше. Посмотрите все желающие. http://www.wolframalpha.com/input/?i=%D1%85factorial%3D1 |
|
👍 0 👎 |
Опять повторюсь, функция x! определена на множестве x={0,1,2,3,4,...}.
Математика же строит её, используя какую то асимптотическую формулу (т.к. мы видим непрерывную функцию, а не набор точек). Какую? Незнаю. Например, если взять разложение Стирлинга, там есть множитель x^0.5 что ещё раз показывает что x не может быть отрицательным. Поэтому, этот график очень сомнителен. п.с. У меня математика построила такой же график. |
|
👍 +1 👎 |
Откройте , наконец, справочник по математике и посмотрите определение гамма-функции-Эйлеров интеграл второго рода.
|
|
👍 +5 👎 |
Задача, кажется, была для 8-го класса? Весьма занимательное чтиво для 8-классника!
|
|
👍 0 👎 |
Прочитал всю дискуссию, но так и не понял, сколько корней имеет уравнение (x^2)^(x^2)=1. Про уравнение x!=1 я понял, что оно имеет 1 корень x=1.
|
|
👍 +5 👎 |
Кто на новенького?
|
|
👍 0 👎 |
Приезжайте в Казань, я вам доступно объясню, что у уравнения x!=1 два корня 0 и 1, а у уравнения (x^2)^(x^2)=1 тоже 2 корня: 0 и 1.
А вот у уравнения Г(х+1)=1 корней больше, т.к. гамма-функция обобщает понятие факториала (который, в свою очередь, определён на множестве x={0,1,2,3,....} при помощи рекурентной формулы (х-1)!=х!/x) на множество комплексных чисел. Аминь!!!!!!!!!!!!!!!!!!! |
|
👍 +1 👎 |
Опечатка. Вместо
"у уравнения (x^2)^(x^2)=1 тоже 2 корня: 0 и 1." прошу читать: "у уравнения (x^2)^(x^2)=1 тоже 2 корня: -1 и 1." |
|
👍 +1 👎 |
Ой! А я уж испугался. Еще мне понравился отсыл к Ван дер Вардену, как к истине в последней инстанции.
|
|
👍 +1 👎 |
Ванд дер Варден не последняя инстанция, а просто хорошая книга для тех, кто хоче в алгебре разобраться. Я же не прошу принимать всё как там написанно, думать самому то же надо.
|
|
👍 +1 👎 |
Книга отличная. Я бы сказал первая книга по алгебре. Меня просто смешит та истерика, которая тут случилась у некоторых персонажей, и которые не видя за деревьями леса пытаются оперировать доморощенными определениями и научными калькуляторами.
|
|
👍 +1 👎 |
Существует книга , написанная русскими офицерами. Алгебра в двух томах .
Глухов, Елизаров, Нечаев |
|
👍 +4 👎 |
Предпочитаю книги написанные учеными, а не офицерами.
|
|
👍 −1 👎 |
|
|
👍 +4 👎 |
И что? Там специально для гениев написано:
Real solutions: x = -1 x = 1 |
|
👍 +1 👎 |
Объясните все же бедным родителю с учеником. Почему на графике (Wolfram alpha) y=x^x y(1)=1 и y(0)=1, но в ответе указан только один корень х=1. А то Вы так спорите между собой, что забыли про первичный вопрос.
|
|
👍 +2 👎 |
Об этом и идет спор: сколько корней.
Думаю, что правы те, кто утверждает, что действительных корней два: 1 и -1. |
|
👍 −4 👎 |
Конечно же Вы правы . Это нисколько не противоречит соглашению 0^0=1. Функция f(x)=x^x не становится от этого соглашения определенной в точке х=0.
|
|
👍 +2 👎 |
Борис Михайлович!
Мы снова начнем обсуждение? Я придерживаюсь "классической" точки зрения, что 0^0 не определено, Вы присоединились к соглашению, что это 1. И каждый из нас, полагаю, сколько бы ни обсуждали, останется при своем мнении в этом вопросе. (У меня есть четвероклассник (собирается в 1543), который тоже, как и Вы, не может смириться с неопределенностью 0^0 (впрочем, ему и невозможность делить на 0 тоже не очень нравится). Он неоднократно спрашивал меня, а нельзя ли в математике что-нибудь менять, например, не может ли он предложить свое определениеь 0^0, а заодно и результат деления на 0. В качестве результата деления на 0 он не прочь был бы предложить гуголплекс. Нужно будет спросить его, а как он определил бы 0^0.) |
|
👍 +1 👎 |
Потому, ЧТО ФУНКЦИЯ X^X НЕ ЯВЛЯЕТСЯ НЕПРЕРЫВНОЙ ПРИ X<0. ТЕПЕРЬ ОТКРОЙТЕ ХЕЛП В ПРОГРАММЕ МАТЕМАТИКА И ПРОЧИТАЙТЕ, КАКИЕ ФУНКЦИИ ОНА МОЖЕТ СТРОИТЬ ПО УМОЛЧИНИЮ.
(ДЛЯ ГЕНИЕВ: ПО УМОЛЧАНИЮ МАТЕМАТИКА СТРОИТ ТОЛЬКО НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ, ПО КРАЙНЕЙ МЕРЕ ВЕРСИИ 7) |
|
👍 −2 👎 |
Рекуррентные соотношения (Из любого учебника) специально для Капорского.
Если задано рекуррентное соотношение к-го порядка, то ему удовлетворяет бесконечно много последовательностей. Дело в том, что первые к элементов последовательности можно задать совершенно произвольно — между ними нет никаких соотношений. Но если первые элементов заданы, то все остальные элементы определяются совершенно однозначно. Для рекуррентного задания последовательности необходимо: 1) знать к членов последовательности 2) указать правило для вычисления следующих членов последовательности При рекуррентном определении факториала начальным условием является задание 0!=1, это не доказывается а просто задается. Сам же факториал определён только для целых неотрицательных чисел. |
|
👍 +3 👎 |
Учитель 1543!
Если Вам не трудно, назовитесь, пожалуйста. Мы же не скрываемся под безликими подписями. |
|
👍 +7 👎 |
Кругликов это, кто же ещё — как и все остальные его сообщники.
|
|
👍 −2 👎 |
Мартовский заяц-это кто???
|
|
👍 +5 👎 |
Это я. ;-)
P.S. Заяц в данном случае надо писать с большой буквы, а в #133 я пропустил кавычки: "сообщники". |
|
👍 0 👎 |
Уважаемый нулевой фактор Франка-Кондона! Повторю прошлый пост. Прочитайте его внимательно:
"Какие у вас претензии к способам 1 и 2? По способу 3 я объясню. В силу некоторых обстоятельств, для вас рекурретна это a(n+1)=f(a(n)), и вектор-это палочка со стрелочкой. И про рекурсивный анализ вы, очевидно, даже не слышали, поэтому навязчиво хотите положить здесь начальные условия, как базу индукции в методе мат. индукции. Как говорил один хороший человек, не спеши слепая в баню. Давайте забудем про слово рекурретна!!!!!!!!!!!!! Мы задаём n!=1*2*...*n как число перестановок внутри множества из n элементов, где n=1,2,3,4,5,....... Теперь, нас интересует вопрос, а что если n=0, как эту функцию (n!) обобщить? Мы берем определение введённое выше (n!=1*2*...*n) и переписываем его в виде n!=(n-1)!n, откуда выражаем (n-1)!=n!/n. Вместо n! подставляем 1*2*...*n и получаем (n-1)!=(1*2*...*n)/n. Вот мы и получили эквивалентное определение факториала. Однако, теперь, факториал можно определить и для нуля, так как n=0,1,2,3,... (n-1)!=(1*2*...*n)/n — это функция!!!!!!!!!!!! (а не рекуррента!!!!!!!!!!!!!!!!!) Понятно???????????????????????????????????????????????? |
|
👍 0 👎 |
Опечатка. Вместо "можно определить и для нуля, так как n=0,1,2,3,..."
прошу читать "можно определить и для нуля, так как n=1,2,3,..." Что, конечно, очевидно, но вдруг кто-то сомневается. |
|
👍 −3 👎 |
Нас учили разные математики в разных ВУЗах. А вот "мнение" Wolfram"
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^x%3D1 |
|
👍 −3 👎 |
Wolfram не захотел, можете сами попробовать, если интересно.
|
|
👍 +3 👎 |
Г. Капорский претендует на обобщение понятия факториала. Но такое обобщение сделано давно до него. Вот цитата из справочника по математике Бронштейн, Семендяев: "Понятие факториала n!, определенное сначала для целых положительных n, обобщается для любого действительного n в виде функции П(х)=Г(х+1). При х целом положительном: П(х)=х!=1*2*...*х, х=0: П(0)=Г(1)=1." При таком обобщении уравнение х!=1 имеет 4 корня.
|
|
👍 +3 👎 |
Не путайте желаемое с действительным. Я что, где то писал (или намекал) что претендую на приоритет введения гамма-функции? Или писал, что сам Эйлер ко мне заходил и спрашивал как её вывести?
Я писал, что гамма-функция обобщает понятие факториала — это было. Теперь вопрос к вам: "При таком обобщении уравнение х!=1 имеет 4 корня." Перечислите их. |
|
👍 0 👎 |
Посмотрите, пожалуйста
http://www.wolframalpha.com/input/?i=xfaktorial%3D1 |
|
👍 +1 👎 |
Опять вы всё мешаете в кучу. Вы показываете график гамма-функции, из которого видно, что у уравнения Г(х+1)=1 четыре действительных корня. А вот у уравнения х!=1 корня два, так как гамма-функция и факториал — это разные функции, просто гамма-функция включает в себя факториал как частный случай. Для гениев: потомственные учёные иногда, в разговорах, называют гамма-функцию обобщённым факториалом (подобно тому, как хорошии физики называют импульс колличеством движения). Это разные функции. Факториал это функция (x-1)!=(1*2*...*x)/x, где х={1,2,3,4}-натуральное число, а гамма-функция, как вы сами сказали выше- это интеграл, в котором х-действительное число.
Для особо гениальных гениев: решая уравнения не забывайте по О.Д.З..... |
|
👍 −2 👎 |
Я Гриша Горький торжественно объявляю себя Мартовским Котом и я тебя мартовского зайца выкурю из твоей норы.
|
|
👍 +4 👎 |
Руки прочь от Мартовского Зайца и от зайцев вообще!!
Дед Мазай. P.S. Спасибо, Илья! Эту ветку давно следовало разрядить чем-нибудь этаким. Складывается впечатление, что обсуждение развивается даже не по спирали, а по замкнутой орбите. Спасибо участникам за высказанные мнения, а читатели многократно имели возможность сделать свои выводы. |
Задайте свой вопрос по математике
профессионалам
● Сейчас онлайн
75
репетиторов по математике
Получите ответ профи быстро и бесплатно
Получите ответ профи быстро и бесплатно
Другие вопросы на эту тему:
|
👍 0 👎 |
Квадрат двучлена
|
|
👍 +1 👎 |
Проблемы с математикой, что делать
|
|
👍 0 👎 |
Подготовка к ГИА
|
|
👍 0 👎 |
Задача С5
|
|
👍 +5 👎 |
Коллеги-математики, подскажите!
|
|
👍 0 👎 |
Целые решения неравенства
|
ASK.PROFI.RU © 2020-2024