Христофоров Игорь Владимирович

Ответ на «Теория вероятностей»

А по-моему, надо сначала двигаться в сторону центрирования и нормирования случайной величины.

Если X~N(a,s), то Y=(X-a)/s~N(0,1). При этом, разумеется,

P{A<X<B}=P{(A-a)/s<Y<(B-a)/s)}.

"Скелет" решения, таким образом, будет выглядеть так :

1. Вводится случайная величина Y=(X-3)/s, где стандартное отклонение s пока неизвестно. Интервалы (-12,18) и (30,35) преобразуются в (-5/s,5/s) и (27/s,32/s) соответственно.

2. Ввиду симметрии первого интервала относительно нуля ищем в таблице #6 значение х, соответствующее Ф(х)=0.4986.

3. Приравниваем полученное значение х к 5/s, после чего определяем s.

4. Определяем границы второго интервала, используем формулу

P{A<Y<B}=Ф(В)-Ф(А), и дело в шляпе.

Замечу, что в условии задачи, возможно, содержится опечатка : уж слишком близкой к нулю получается искомая вероятность.

Ответ на «Найти минимум»

По-моему, на этот вопрос уже знают ответ все. Возможно, кроме Вас.

Пусть векторы а(|х-9|,2) b(|x|,|y|), c(3,|y-3|). Тогда

|a|+|b|+|c|>=|a+b+c|= ((|x-9|+|x|+3)^2+(2+|y|+|y-3|)^2)^(1/2)>=((9+3)^2+(3+2)^2)^(1/2)=13.

Чтобы получить это значение, необходимо и достаточно, чтобы
а) векторы a,b,c были соноправленны;
b) были выполнены условия 0<=x<=9; 0<=y<=3.

Тогда (9-x):2=x:y=3:(3-y). Система уравнений

2х=у(9-х)
3у=х(3-у)

решается "на раз" : (21/5,7/4).

Ну вот, собственно, и все. Разумеется, "решения" Б.М. Кругликова под девизом "Отец Федор плюнул и тоже попал" внесли некоторое оживление в обсуждение, но надолго отвлекли форумчан от основной темы. Хотелось бы видеть "боковые" дискусии в других ветках форума.

Ответ на «Найти максимум»

Мне представляется, что после переформулирования задачи в виде :

"Найти максимум

Z=U+2V+4W при условиях

2U^2+V^2+2W^2=8 (*) ; U,V,W>=0."

от нее мало что остается. Потому что условие

2U/1=V/2=2W/4

в сочетании со (*) быстро приводит к ответу, правда, весьма корявому. Арифметические выкладки я не буду приводить в надежде на более внимательных, чем я, форумчан.

Ответ на «Вычислить тригонометрия»

Ну, например, для первого задания

3(1+соs 2x)+5 sin 2x=8
3 cos 2x+5 sin 2x=5
3(cos^2 (x)-sin^2( x))=(cos x-sin x)^2.

Тогда либо сos x=sin x ; tg x=1; 2x+П/4=3П/4+2Пk; tg(2x+П/4)=-1,
либо 2cos x=4sin x; tg x=1/2 ; tg 2x= 1/(1-1/4)=4/3; tg(2x+П/4)=(4/3+1)/(1-4/3)=-7.

Второе задание проще. В нем тоже лучше переходить к двойному аргументу. Тогда константы "уходящие", и мы остаемся с однородным уравнением относительно sin 2x, cos 2x, после чего tg 2x находится моментально.

Ответ на «Помогите,пожалуйста, решить задание.»

Я, разумеется, имел в виду числитель

ln(sin x+cos x),

после чего получается относительго разумное задание на оба замечательных предела.

Ответ на «Помогите,пожалуйста, решить задание.»

А у меня есть ощущение, что в числителе предела не хватает ln.

Ответ на «Упростить»

Способов много, выбор какого-то одного — дело вкуса.

1. sin 54 — sin 18 = 2sin 18 cos 36=4sin 18 cos 18 cos 36/ 2 cos 18= sin 72/ 2cos18 = 1/2.
Именно это обычно показывают в хороших школах.

2. Можно показать пару экзотических способов. Например, можно составить уравнение cos 5x=0 при условии сos x<>0 и получить из него уравнение относительно t=(sin x)^2 :

(1-t)^2-10t(1-t)+5t^2=0 ;
16t^2-12t+1=0 или [p=sin x] 16 p^4-12p^2+1=0 (*).

Разумеется, с помощью этого уравнения можно непосредственно найти sin 18 = (5^(1/2)-1)/4; sin 54 = (5^(1/2)+1)/4. Но это скучно.

Пусть u=sin 54; v=sin 18. Тогда по теореме Виета для (*) с корнями +/-u, +/- v получаем

u^2+v^2=3/4 ; (uv)^2=1/4,

откуда u-v=1/2 следует автоматом.

Ответ на «Упростить»

А тем, что в первом случае после выноса множителя за скобки в них остается

sin 54 — sin 18,

а это значение равно 1/2, что должно быть известно каждому ребенку. А во втором случае в скобках остается

сos 29 + cos 43,

и с этим еще надо повозиться.

Ответ на «Задача для 7 класса»

Рамиль Зинатуллович,
я отношусь к Вам с огромным уважением как к автору множества содержательных постов на форуме. По этой причине хотелось бы избежать ненужной пикировки. Но...

Пример, который Вы привели, решается РОВНО в ноль минут. Очевидно, что решений нет, ибо 4096=2^12 невозможно разложить на два сомножителя с остатками 3 при делении на 5 (т.е. оканчивающихся на 8). Это я о том, что придумать задачу "с листа" легко, а сделать ее такой, чтобы один из способов решения был заведомо эффективнее другого — не очень. Если этого не учитывать, можно рано или поздно нарваться на неглупого и занудливого ученика, с котрым проблем не оберешься.

Если же исправить Ваше условие с числом, например, 16384 в правой части, то и здесь с "классикой" нет проблем. Приведем устраивающие нас разложения :

16384=(-2)(-8192), что порождает решения n=-1639 и n=-1;
16384=(-32)(-512), что порождает решения n=-103 и n=-7;
16384=8*2048 ,что порождает решения n=1 и n=409;
16384=128*128 ,что порождает решение n=25.

А теперь хотелось бы увидеть более экономное (и, разумеется, понятное семикласснику) решение задачи о целочисленности выражения

(17n+3287)/(5n+3)

(понятно, что она была получено "обратным прогоном" из нашего диофантового уравнения).

Ответ на «Задача для 7 класса»

И Вам не хворать, Рамиль Зинатуллович !

Во-первых, эта задача не для "стандартного" седьмого класса. Это задача либо из хорошей школы. либо из какого-то кружка. Потому что семиклассник из обычной школы еще как следует не проходил в первом полугодии разложения на множители, а словосочетания "оценка сверху/снизу" и вовсе не слыхал.

Что же касается учеников из хороших школ, то достаточно посмотреть, например, в задачник Галицкого (для ВОСЬМОГО класса) и обнаружить там задания 3.115-3.119 и 3.126-3.128. И становится очевидно, что :
а) излагаемый в ##13,15 метод — это вовсе не мой метод ;
b) этот метод, по крайней мере начиная со второй строки выкладок, детям уже рассказали и, видимо, дали несколько подобных примеров для закрепления.

Я не верю, что эти дети неспособны ввести обозначение k для значения дроби, а затем домножить ее на знаменатель, чтобы привести исходное задание к стандартному для них виду. С аппаратом сравнения может быть по-разному, но замечу, что в том же задачнике Галицкого задач на делимость около сотни.

Что же касается олимпиад, то дети из хороших школ и без того поголовно участвуют в районных турах, а ученики из элитных классов этих школ — и в городских. Так что и с этим у них все в порядке.