Упростить

Упростить [m]\sin 47+\sin 61-\sin 11-\sin 25[/m]

Ну, первое действие совсем банальное — преобразование сумм в произведения. Особенно с учетом

61-47=25-11=14

(насколько я понимаю, все аргументы приведены в градусах).

Второй этап формально сложнее, хотя и представляет из себя абсолютную тригонометрическую классику.

А чем хуже 47-11=36, 61-25 =36

А тем, что в первом случае после выноса множителя за скобки в них остается

sin 54 — sin 18,

а это значение равно 1/2, что должно быть известно каждому ребенку. А во втором случае в скобках остается

сos 29 + cos 43,

и с этим еще надо повозиться.

О том, что [m]\sin54-\sin 18=1/2[/m] у нас никто не знал. Я это использовал. Преподаватель не засчитал, я же это не доказывал.

И вообще эта задача была на геометрии.

Юрий, деление на геометрию, алгебру, мат. анализ и пр. условность — для удобства изложения материала, и не более того. Математика же — одна, и часто самые красивые решения случаются при переводе с языка геометрии на язык алгебры, с языка алгебры на язык комбинаторики, и так далее, и так далее.

Хочу добавить, что полвека назад в отечественных школах изучались ТРИ "отдельных" математических дисциплины: алгебра, геометрия и тригонометрия. В-)

У моей ученицы в 7 классе самой обычной школы изучают ТРИ отдельные математические дисциплины (с тремя отметками за каждую четверть): 1) алгебра; 2) геометрия; 3) основы теории вероятностей и математическая статистика.

Завидую я вам Игорь Владимирович. Хотела бы я оказаться там, где подобные факты известны "каждому ребенку". Но, конечно, получить их можно. Для этого нужно уметь получить значение sin 18. Например, из подобия в треугольника с углами 72, 72 и 36 и треугольника, отсекаемого биссектрисой угла при основании. Можно и алгебраически: заметив, что если 18 = а, то sin 3a = cos 2a; из этого уравнения находим все тот же sin a.
Но может вам известны более простые способы для доказательства факта, что sin 54 -sin 18 = 1/2? Тогда поделитесь, буду весьма признательна.

Да, есть еще интересный способ.
Нарисуем тригонометрический круг и отметим на нем углы [m]-162^o, -90^o, -18^o, 54^o,126^o[/m], которые являются углами правильного пятиугольника.
Сумма векторов, исходящих из начала координат к вершинам пятиугольника, равна 0. Так как нам необходима сумма синусов, то запишем равенство для вторых координат этих векторов:
[m]\sin(-162^o)+\sin(-90^o)+\sin(-18^o)+\sin54^o+\sin126^o=0.[/m]
Учитывая, что
[m]\sin(-162^o)=\sin(-18^o); \sin54^o=\sin126^o; \sin(-90^o)=-1,[/m]
получим
[m]\sin54^o+\sin(-18^o)=0,5.[/m]

Есть такой вариант:

[m]\sin54^\circ-\sin18^\circ=2\sin18^\circ\cos36^\circ=2\cos36^\circ\cos72^\circ=\frac{4\sin36^\circ\cos36^\circ\cos72^\circ}{2\sin36^\circ}=\frac{2\sin72^\circ\cos72^\circ}{2\sin36^\circ}=\frac{\sin144^\circ}{2\sin36^\circ}=\frac12[/m]

Способов много, выбор какого-то одного — дело вкуса.

1. sin 54 — sin 18 = 2sin 18 cos 36=4sin 18 cos 18 cos 36/ 2 cos 18= sin 72/ 2cos18 = 1/2.
Именно это обычно показывают в хороших школах.

2. Можно показать пару экзотических способов. Например, можно составить уравнение cos 5x=0 при условии сos x<>0 и получить из него уравнение относительно t=(sin x)^2 :

(1-t)^2-10t(1-t)+5t^2=0 ;
16t^2-12t+1=0 или [p=sin x] 16 p^4-12p^2+1=0 (*).

Разумеется, с помощью этого уравнения можно непосредственно найти sin 18 = (5^(1/2)-1)/4; sin 54 = (5^(1/2)+1)/4. Но это скучно.

Пусть u=sin 54; v=sin 18. Тогда по теореме Виета для (*) с корнями +/-u, +/- v получаем

u^2+v^2=3/4 ; (uv)^2=1/4,

откуда u-v=1/2 следует автоматом.

Приводим исходное выражение к виду[m]4\sin 18\cos 38\cos 7=4\sin 18(1-2{{\sin }^{2}}18)\cos 7[/m]. Используем теорему о хорде для правильного вписанного 10-угольника [m]{{L}_{10}}=2R\sin 18[/m]. Используем также следующий геометрический результат [m]{{L}_{10}}=R\frac{\sqrt{5}-1}{2}[/m]. Отсюда [m]\sin 18=\frac{\sqrt{5}-1}{4}[/m]. Ответ: [m]\cos 7[/m]

Борис Михайлович, какая разница, чтó считать обязательным для каждого школьника — значения синусов всех углов или этот Ваш "геометрический результат"?!

В принципе Вы правы. Но в школьной программе это есть, а также есть в справочнике по математике для школьников.
А знаете ли Вы простой способ выражения радиусов вписанной и описанной окружностей через хорду правильного многоугольника??

Через хорду — в смысле через сторону?
Я бы в общем случае выражал с помощью тригонометрических функций центрального угла, если только правильно понимаю, о чём Вы.

Надо без углов, только геометрия.

Ммм... если не сторону через радиусы, а радиусы через сторону — интересно, подумаю, спасибо за наводку!

Только не 38, а 36.

Помогите решить.Вместо звезд вставьте единицы величины,чтобы умножение было выполненно правильно.
5*17*45*30*×5
28*16*47*30*

Помогите упростить выражение:
sin^2 a/2 + tg^2 φ + cos^2 a/2

Дан треугольник ABC. Сторона a=61,b=13 корней из 3. Угол C =30 градусов. Найти надо сторону c.

Первую треть пути велосипедист проехал со скоростью 61 км в час, второй отрезок со скоростью 40 км в час, потратив одну треть всего времени, а последний отрезок со скоростью в три раза меньшей средней скорости по всему пути. Найти среднюю скорость.
У меня получилось квадатное уравнение, дискриминант которого неполный квадрат, потому сомнения.

В ООО Полиглот работают 76 сотрудников. Из них 47 знают итальянский язык,35 испанский и 23- оба языка. Сколько сотрудников не знают ни итальянского, ни испанского языков?

Упростить,используя формулы сокращённого уравнения:
3b3-3b/9b2+18b+9=