Задача для 7 класса

Найти все целые n , при которых [math]\frac{19n+7}{7n+11}]/math] -целое число. Хотя задача для 7 класса, ничего пока не получается.

Найти все целые n , при которых [m]\frac{19n+7}{7n+11}[/m] -целое число

Оцените это целое число сверху, оцените снизу и посмотрите каждый из случаев между :)

ну, ход решения уже есть, осталось только помочь Юрию ответом(для сверки): n=-3, -2, 1.
И предложить Юрию решить аналогичную задачку (6-10кл.):
Доказать, что дробь [m]\frac{12n+1}{30n+2}[/m] — несократима.
;))

о, поторопился: n=-3, -1.

ха-ха, а есть и еще n=3.

сколько раз говорил себе не считать устно...

претенденты n=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3.

А чем не годятся 3 и -13? Вроде все сходится?
(Я пошла другим путем — выделяла целую часть).

да, Ваша правда: n=-13 — решение

ну, мы все наверно выделяли целую часть и рассматривали "плохие" n:
[math]-1<\frac{2n+26}{7n+11}<1{/math]

но, я, при этом, упустил возможность равенству нулю этой дроби...

[m]-1<\frac{2n+26}{7n+11}<1[/m] 

Спасибо. Дробь несократима, если НОД(числитель,знаменатель) равен 1, а он равен1.

Юрий!
Мне кажется, что задание в том и состоит, чтобы доказать, что здесь НОД(числитель,знаменатель) равен 1.

Это просто доказать, я знаю теорему НОД (а,в)=НОД(а, а-в)

Вообще-то "по классике" задача решается иначе.

19n+7=k(7n+11)
7nk-19n+11k=7
(7k-19)(n+11/7)=7-209/7
(7k-19)(7n+11)=-160

Cтало быть, нам требуется разложить число -160 на множители с остатками 2 и (-3) при делении на 7. Таких разложений три :

2*(-80)=-160; k=3 ;n=-13
16*(-10)=-160; k=5; n=-3
(-5)*32=-160 ; k=-2;n=3.

ну, "Вообще-то "по классике" " (с) необходимо доказать, что найдены все возможные k,n. Например, для аналогичной задачи:
[m]\frac{17n+6048}{5n+3}[/m] (составляется в ноль секунд)
можно до потери пульса искать одно из решений n=2012.


а решая(элементарно) неравенство из #9, Вы исключаете неподходящие n (ессно, оставив n=-13) и подбираете методом исключения из диапазона:
-4<=n<=3

Ну что ж, проверим свой пульс.

17n+6048=k(5n+3)
5nk-17n+3k=6048
(5k-17)(n+3/5)=6048-51/5
(5k-17)(5n+3)=30189 [=3*29*147]

Стало быть, нам надо разложить число 30189 на множители с остатками 3 при делении на 5. Запишем полный перебор

1*30189,(-1)(-30189) не подходят ;
3*10063 подходит, (-3)(-10063) не подходят ;
29*10,(-29)*(-1041) не подходят;
87*347 не подходит, (-87)(-347) подходит.

Вторая строчка порождает решения n=0 и =2012 , четвертая — n=-18 и n=-70.

Пульс в норме, проблем нет. Все решение заняло 17 минут вместе с записью и проверкой текста.

Поздравляю, Игорь Владимирович! (ну, с тем, что здраво живы :) )

А теперь объясните свой метод решения 7-ми класснику и дайте ему несколько подобных примеров для закрепления. Надеюсь/уверен, что он справится, и тогда смело можете готовить его к олимпиадам.

И Вам не хворать, Рамиль Зинатуллович !

Во-первых, эта задача не для "стандартного" седьмого класса. Это задача либо из хорошей школы. либо из какого-то кружка. Потому что семиклассник из обычной школы еще как следует не проходил в первом полугодии разложения на множители, а словосочетания "оценка сверху/снизу" и вовсе не слыхал.

Что же касается учеников из хороших школ, то достаточно посмотреть, например, в задачник Галицкого (для ВОСЬМОГО класса) и обнаружить там задания 3.115-3.119 и 3.126-3.128. И становится очевидно, что :
а) излагаемый в ##13,15 метод — это вовсе не мой метод ;
b) этот метод, по крайней мере начиная со второй строки выкладок, детям уже рассказали и, видимо, дали несколько подобных примеров для закрепления.

Я не верю, что эти дети неспособны ввести обозначение k для значения дроби, а затем домножить ее на знаменатель, чтобы привести исходное задание к стандартному для них виду. С аппаратом сравнения может быть по-разному, но замечу, что в том же задачнике Галицкого задач на делимость около сотни.

Что же касается олимпиад, то дети из хороших школ и без того поголовно участвуют в районных турах, а ученики из элитных классов этих школ — и в городских. Так что и с этим у них все в порядке.

 Игорь Владимирович,
извините, но Вы не поняли, что я хотел сказать: метод ##13,15 не эффективен всилу своей трудоемкости.

вернитесь к #15 : это удачно сложилось, что 30189 раскладывается ТОЛЬКО на три простых числа. А если было бы: (5k-17)(5n+3)=4096
Сколько систем для k,n необходимо было бы рассмотреть:
(5k-17)(5n+3)=4096=M*L, отсюда "можно до потери пульса искать одно из решений".

то, что метод ##13,15 — классика, спору нет.

Рамиль Зинатуллович,
я отношусь к Вам с огромным уважением как к автору множества содержательных постов на форуме. По этой причине хотелось бы избежать ненужной пикировки. Но...

Пример, который Вы привели, решается РОВНО в ноль минут. Очевидно, что решений нет, ибо 4096=2^12 невозможно разложить на два сомножителя с остатками 3 при делении на 5 (т.е. оканчивающихся на 8). Это я о том, что придумать задачу "с листа" легко, а сделать ее такой, чтобы один из способов решения был заведомо эффективнее другого — не очень. Если этого не учитывать, можно рано или поздно нарваться на неглупого и занудливого ученика, с котрым проблем не оберешься.

Если же исправить Ваше условие с числом, например, 16384 в правой части, то и здесь с "классикой" нет проблем. Приведем устраивающие нас разложения :

16384=(-2)(-8192), что порождает решения n=-1639 и n=-1;
16384=(-32)(-512), что порождает решения n=-103 и n=-7;
16384=8*2048 ,что порождает решения n=1 и n=409;
16384=128*128 ,что порождает решение n=25.

А теперь хотелось бы увидеть более экономное (и, разумеется, понятное семикласснику) решение задачи о целочисленности выражения

(17n+3287)/(5n+3)

(понятно, что она была получено "обратным прогоном" из нашего диофантового уравнения).

абсолютно с Вами согласен — открытый форум(да и внутренний) не место для пикировок. Лично я здесь, в частности, для получения полезной инфы по методам решения, постановкам задач — учиться необходимо непрерывно.
Ну, и в этом плане, мне было интересно ознакомиться с Вашими постами ##13,15, 19. Способы решения, представленные как и в ##3, так и в ##13,15, 19 — классика, и каждый выбирает себе что более нравится. Мне более нравится решение по #9:
1. рассматривается полезная для школьников тема решение неравенств
2. также затрагивается способ перебора из претендентов по n

Ну, и чтобы Вы не считали, что я отвергаю ##13,15, 19 и из уважения к Вам (как любому участнику форума), и по случаю Рождества, я возьму на себя приятную обязанность порешать по ##13,15, 19:

(5k-17)(5n+3) = 1 * 16384 = 16384 * 1, нет решения
(5k-17)(5n+3) = (-1) * (-16384) = (-16384) * (-1), нет решения
(5k-17)(5n+3) = 2 * 8192 = 8192 * 2, нет решения
(5k-17)(5n+3) = (-2) *(- 8192) = (-8192) *(- 2), k=-1635, n=-1, k=3, n=-1639
(5k-17)(5n+3) = 4 * 4096 = 4096 * 4, нет решения
(5k-17)(5n+3) = (-4) *(-4096) = (-4096) *(- 4), нет решения
(5k-17)(5n+3) = 8 * 2048 = 2048 * 8, k=5, n=409 k=413,n=1
(5k-17)(5n+3) = 16 * 1024 = 1024 * 16, нет решения
(5k-17)(5n+3) = (-16) *(-1024) = (-1024) * (-16), нет решения
(5k-17)(5n+3) = 32 *512 = 512 * 32, нет решения
(5k-17)(5n+3) = (-32) *(-512) = (-512) * (-32), k=-3, n=-103 k=-99, n=-7
(5k-17)(5n+3) = 64 *256 = 256 * 64, нет решения
(5k-17)(5n+3) = (-64) *(-256) = (-256) *(-64), нет решения
(5k-17)(5n+3) = 128 *128 k=29, n=25
(5k-17)(5n+3) = (-128) *(-128), нет решения

решать то же самое по #9 я уж не буду — считайте, что получится менее экономно. Тему для себя закрываю.

С Рождеством и всех благ!

ps. да, я зарегился — Рамиль (это чтобы, в частности, народ не искажал мое отчество — Зинятуллович)

Заканчиваю оформлять дипломную рпаботу. Текст математический с множеством формул. Формулы набирал в Math Type, приходилось много править текст. Теперь обнаружил, что часть формул самопроизвольно прератились в рисунки. Как это объясняется и как с этим бороться.

Ну как мне выложить? Упростить
Сумма от j до l минус один в степени( l-i), число сочетаний из l по i, (число сочетаний из i по j) ^m.
Набираю в Math Type, перевожу в латех. получаю: ваша страница заблокирована. Что все это значит?

[math]S=\int_{1}^{4}(5-x-\frac{4}{x})dx=5x-\frac{x^{2}}{2}-4lnx

Как решать уравнение, не представляю.

[math]ctg\frac{\sqrt{2}}{2}-\cos 2x=0[/ma

Дан равнобедренный треугольник с основанием ВС. Угол А равен 80 градусов. В нутри треугольника взята точка М так, что угол МИС равен 30 градусовЮ а угол ЬСИ равен 10 градусов. Найти угол АМС. Задача для 7 класса. Пока не получается, нужна помощь.

Мы из МИРЭА(информационная безопасность) почитали "вопрос по алгебре" , Там очень похожие на наш типовик вопрсы. Может кто-то из преподавателей нам поможет. Нам так преподают, что почти ничего не понимаем или мы такие. Вот ссылка на наш типовик.
http://vyshka.math.ru/pspdf/1112/algebra-1/sam_rab_1.pdf