Найти минимум

Найти минимум выражения [m]Z=\sqrt{{{(x-9)}^{2}}+4}+\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\sqrt{{{(y-3)}^{2}}+9}[/m]. Это подготовка к олимпиаде.

Попробуйте подойти к этой задаче образно. Геометрически, так сказать :)

Хорошая задача. Подскажу пару шагов.
1) Представьте графически функцию в виде 3 отрезков на координатной плоскости.
2) Сделайте из них ломанную и подумайте, когда ее длина минимальна.
Скажите пожалуйста, эта задаче из подготовки к какой олимпиаде?

Очевидно, что проекции Z на Х:3+9=12, а на У:3+2=5. Далее Z по теореме Пифагора.

О каких проекциях идет речь? :)

На рисунке просто ВИДНО [m]{{Z}_{x}}=3+x+9-x,[/m] [m]{{Z}_{y}}=3-y+y+2[/m]. Вас  учили применять сложные методы для решения  даже простых задач, меня сложную задачу упростить до очевидного. Я вообще всегда удивлялся как же математики сложно думают. Это просто разные квалификации: математик и инженер-математик(исследователь). Вы можете себя представить в разработке, например, туалета для космической станции.

Это вы сейчас утверждаете, что [m]Z = \sqrt{12^2+5^2}=13[/m] для любых х, y?
Она стремится к бесконечности с ростом x.
Когда я слышу о проекции функции двух переменных, определенной на всей плоскости, на ось, заданную одной из этих переменных, то представляю себе собственно всю ось.

Меня вообще преимущественно учили думать, а не просто применять методы, этим математики обычно и отличаются от математиков-прикладников.

Ну, разумеется, это не для всех х,у, а только для тех, которые обеспечивают минимум. Конечно, их можно найти (причем элементарно из равенства  угловых коэффициентов  трех отрезков, составляющих Z), но их же не спрашивают.

Забавно.
Сначала я написал общую идею, полагая, что пока хватит.
Потом Владислав Аркадьевич ее расшифровал, пожалуй, что справедливо, ибо я совсем уж общо написал.
Затем вы написали то же самое, что Владислав Аркадьевич, еще раз чуть расшифровав, но настолько неумело, что проще было решить эту задачу, пользуясь постом 3 и понять, что это то же самое.

Вообще того, что вы написали недостаточно, надо еще проверять, что эти три отрезка вообще можно так расположить, см сообщение 11.

На самом деле, я писал сообщение одновременно с Вами, только очень долго, из-за телефонного разговора, меня оторвавшего. А в остальном Вы абсолютно правы. :-)

Сначала было сложно понять, помог брат(Юрий-любитель Вашего сайта) . Три отрезка, сумма их длин минимальна-значит они параллельны и тогда с проекциями стало понятно. Спасибо. Оказывается эта задача была на олимпиаде Покори воробьевы горы.

Слово параллельны мне не очень понравилось в этом абзаце :)
В целом да — задача на то, чтобы найти ломаную минимальной длины из точки (0,0) в точку (12,5).
Только надо проверить, что там все действительно получается, а то если я поставлю туда числа [m]\sqrt{(x-100)^2+97^2}+\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{96^2+(y-100)^2}[/m], то у меня числа 5 не получится, хотя рассуждения те же, казалось бы, ломаная из из точки (0,0) в точку (3,4) :)

Ломаная из точки (0,0) в точку (196,197). И все в порядке, проверяйте.

[m]{{Z}_{\min }}=\sqrt{{{(x-100)}^{2}}+{{97}^{2}}}+\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\sqrt{{{96}^{{{2}_{{}}}}}+{{(y-100)}^{2}}}=5\sqrt{3089}[/m] при [m]x=\frac{688}{197}y=\frac{172}{49}[/m] или [m]\sqrt{{{196}^{2}}+{{197}^{2}}}[/m]

Была поставлена задача: найти минимальное расстояние между двумя точками, Задача огурца выеденного не стоит. Но только не для мехмата.
О вреде огурцов
Упражнение в сравнительной логике и математической статистике

Огурцы вас погубят! Каждый съеденный огурец приближает вас к смерти. Удивительно, как думающие люди до сих пор не распознали смертоносности этого растительного продукта и даже прибегают к его названию для сравнения в положительном смысле («как огурчик!»). И несмотря ни на что, производство консервированных огурцов растет.
С огурцами связаны все главные телесные недуги и все вообще людские несчастья.
Практически все люди, страдающие хроническими заболеваниями, ели огурцы. Эффект явно кумулятивен.
99,9% всех людей, умерших от рака, при жизни ели огурцы.
100% всех солдат ели огурцы.
99,7% всех лиц, ставших жертвами автомобильных и авиационных катастроф, употребляли огурцы в пищу в течение двух недель, предшествовавших фатальному несчастному случаю.
93,1% всех малолетних преступников происходят из семей, где огурцы потребляли постоянно.
Есть данные и о том, что вредное действие огурцов сказывается очень долго: среди людей, родившихся в 1839 г. и питавшихся впоследствии огурцами, смертность равна 100%. Все лица рождения 1869...1879 гг. имеют дряблую морщинистую кожу, потеряли почти все зубы, практически ослепли (если болезни, вызванные потреблением огурцов, не свели их уже давно в могилу). Еще более убедителен результат, полученный известным коллективом ученых-медиков: морские свинки, которым принудительно скармливали по 20 фунтов огурцов в день в течение месяца, потеряли всякий аппетит!
Единственный способ избежать вредного действия огурцов – изменить диету. Ешьте, например, суп из болотных орхидей. От него, насколько нам известно, еще никто не умирал.

Не того минусуете.
Это из Пушкина.

Я родитель, дети учатся в экономико-математической школе МГУ. Мне совсем плохо стало от всего здесь прочитанного. И возникли вопросы:
1. Исходная задача имеет ответ13 или это неправильный ответ.
2. Решение этой задачи через проекции и теорему Пифагора "неправильное" и в каком смысле.
3. Какое же "правильное" решение. Это вопрос прежде всего к Шкляеву А.В.

1. Ответ 13 — правильный.
2. В том смысле что оно неполное.
3. Правильное решение использует теорему Пифагора, обобщённое неравенство треугольника, правило суммирования векторов, а так же особый вид рассуждения, называемый "оценка+пример", когда мы доказываем, что Z не может быть меньше 13, и приводим пример, когда Z=13. Если хотя бы одно из перечисленных звеньев пропущено, решение не полное.

Хочу встать на защиту Бориса Кругликова.
Но только с небольшой добавкой: в чем-то Борис Круглков, безусловно, прав.
Решенная задача — есть решенная задача, тут спору нет и быть не может.
Но вот вывод, который делает Борис Кругликов — совершенно неверен.
Из того, что удалось решить одну задачу, совершенно не следует, что удастся решить хотя бы еще одну задачу, в том числе идентичную решенной.

По-видимому спор сводится к следующему.
Теория без практики мертва, практика же без теории невозможна или пагубна. Для теории нужны знания, для практики, сверх того, умения.
(Цитата не точна, привожу по памяти).
15 января Российский Марсопроект рухнул в Тихий океан со скоростью около 30 километров в секунду (при входе в атмосферу).

Вы, также как и Борис Михайлович, видимо, не поняли, что задачу он не решил. Дать правильный ответ и решить — это две разные вещи.

Владислав Аркадьевич!
Зря я ввязался, но "Сказавши А, говори Б".
Что делать и как говорить, если даже Вы (нередко) не понимаете сказанного?
Речь должна идти, в частности о том, что подход Бориса Михайловича, одной стороны, и Ваш подход и подход Георгия Семеновича, с другой — существенно разный, настолько, что между ними, может оказать даже так, может не быть вообще ничего общего. Поэтому всякая дискуссия может быть полностью бесполезной.
Используются разные понятия, слова в разных значениях, другими словами, сказанное одним — понимается другим иначе, причем, невозможно сказать, как и насколько понятое отличается от сказанного.

Например: Вы говорите: "Дать правильный ответ и решить — это две разные вещи".
Среди понятий Бориса Михайловича, скорее всего, отсутствует понятие "дать правильный ответ," и совершенно точно отсутствует в том виде, в котором это понятие используете Вы.
То же относится к понятию "решить".

Повторю еще раз, что я хотел сказать предыдущим постом, поподробнее, может быть Вы с этим, все же согласитесь (до известной степени).

Подход Бориса Михайловича имеет право на существование (без уточнения причин), но требует особо осторожного подхода, поскольку может привести к любым последствиям, в том числе, крайне тяжелым.
В свое время мне очень понравилась фраза, которая расставляет многие точки над и при привальном прочтении — приведу ее еще раз: "Теория без практики мертва, практика же без теории невозможна или пагубна. Для теории нужны знания, для практики, сверх того, умения".

Проверьте, пожалуйста, насколько сказанное далее соответствует истине и Вашим представлениям:
1. Вне зависимости ни от чего, верный ответ — есть верный ответ (в данном случае, ни в коем случае не решение) и верный ответ должен быть оценен как верный ответ.
2. Верный ответ — не означает, что удастся получить хотя бы еще один верный ответ.
3. Верный ответ также не означает что этим ответом можно пользоваться, в частности в рамках задачи, для которой был получен верный ответ, тем более для любой другой задачи.

В качестве подтверждения сказанного привел пример:
15 января Российский Марсопроект рухнул в Тихий океан со скоростью около 30 километров в секунду (при входе в атмосферу).
Сообщение об этом приведено на внутреннем форуме.

С уважением,
ВЕ.

Мой ученик нашел решение исходной задачи в книге Аю И. Козко, В. Г. Чирский "Задачи с параметром...."
http://narod.ru/disk/38679246001/%D0%97%D0%90%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0%20%D0%BC%D0%B8%D0%BD%20%D0%92%D0%BE%D1%80%20%D0%93%D0%BE%D1%80%D1%8B.docx.html
А вот мои решения
http://narod.ru/disk/38665017001/%D0%9C%D0%BE%D0%B8%20%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%D0%BC%D0%B8%D0%BD.jpeg.html
Метод из книги не решает вариант задачи, предложенный Мутафяном.
И насколько же он "правильный"?

Уважаемые преподаватели-репетиторы! Кому-то из Вас очевидно решение задачи и даже ответ. Но скажите, как должен правильно оформить решение этой задачи школьник, если бы он принимал участие в олимпиаде, чтобы ему засчитали.

По-моему, на этот вопрос уже знают ответ все. Возможно, кроме Вас.

Пусть векторы а(|х-9|,2) b(|x|,|y|), c(3,|y-3|). Тогда

|a|+|b|+|c|>=|a+b+c|= ((|x-9|+|x|+3)^2+(2+|y|+|y-3|)^2)^(1/2)>=((9+3)^2+(3+2)^2)^(1/2)=13.

Чтобы получить это значение, необходимо и достаточно, чтобы
а) векторы a,b,c были соноправленны;
b) были выполнены условия 0<=x<=9; 0<=y<=3.

Тогда (9-x):2=x:y=3:(3-y). Система уравнений

2х=у(9-х)
3у=х(3-у)

решается "на раз" : (21/5,7/4).

Ну вот, собственно, и все. Разумеется, "решения" Б.М. Кругликова под девизом "Отец Федор плюнул и тоже попал" внесли некоторое оживление в обсуждение, но надолго отвлекли форумчан от основной темы. Хотелось бы видеть "боковые" дискусии в других ветках форума.

Игорь Владимирович! Почти всё правильно, кроме:

1) В третьей строчке Вашего решения не хватает буквы Z. Должно быть:
Z=|a|+|b|+|c|>=|a+b+c|=. . . и т.д., далее как у Вас.
Был задан вопрос: "как должен правильно оформить решение этой задачи
школьник, если бы он принимал участие в олимпиаде, чтобы ему засчитали."
По-моему, отсутствие в указанном месте буквы Z в работе участника
олимпиады может существенно повлиять на оценку этой работы.

Кроме того, мы сейчас находимся на открытом форуме, на котором могут
присутствовать не только квалифицированные математики, но и школьники
старших классов, школьники нестарших классов, родители школьников старших
классов, родители школьников нестарших классов. . .
Желательно, чтобы всем было понятно, о чём идёт речь.

2) Хорошо было бы ещё упомянуть, что Вы поместили решение задачи
старт-поста. На этой ветке уже много раз переходили от обсуждения
одной задачи к обсуждению то другой, то третьей. . .

3) И по выше изложенным причинам, очень сомнительной является Ваша
фраза "на этот вопрос уже знают ответ все".

Полмесяца продолжалась бурная дискуссия.
Участники спорили, чьё решение — правильное, чьё решение — неправильное.
Чьё решение — лучше, чьё решение — хуже. Казус в том, что самих решений
при этом не было. Идеи — были. Подсказки — были. Ответ был. Но не было
решений. Игорь Владимирович, Вы — первый, кто разместил на этой ветке
решение задачи старт-поста.

Юрий Анатольевич. Примените метод Игоря Владимировича к варианту Мутафяна. Ответ получится неверный.

Здесь происходит какая-то путаница с терминологией. Слово "метод" является
(до некоторой степени) синонимом слова "алгоритм". Алгоритмы, как правило,
предназначаются для решения не одной конкретной задачи, а для решения класса
задач, или, как говорят, для решения массовой проблемы.
В решении Игоря Владимировича (#84) нет описания алгоритма и нет описания
класса задач, для которых предназначался бы алгоритм. Но это и не требовалось
в условии. Требовалось решить одну конкретную задачу. Задача решена.

Я не получу, как Вы хотите, неверный ответ, потому что я не собираюсь
совершать математических ошибок. Применять неизвестно какой метод для
решения всех подряд задач — это математическая ошибка. К сожалению, это
довольно распространённая ошибка. Эту ошибку постоянно совершают нерадивые
школьники и при этом оправдываются: "Ведь вы же сами меня так учили".

Здесь это метод не работает.

Z=|a|+|b|+|c|>=|a+b+c|=((x-9|+|x|+3)^2+(7+|y|+|y-2|)^2)^(1/2)>=((9+3)^2+(7+2)^2)^(1/2)=15.
Это решение названо методом Игорем Владимировичем. Действительно, так можно решать множество задач, подобных исходной. Но есть исключения, пример такого исключения — вариант Мутафяна.

РЕШЕНИЕ ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ.
Отмечаем на плоскости точку А(9,2) из первого корня, точку В(3,3) из третьего корня. Отмечаем точку С(9,-2)-зеркальное отражение точки А относительно оси ОХ, отмечаем точку D(-3,3)- зеркальное отражение точки В относительно оси ОУ. Находим длину СD-это ответ при условии, что эта прямая пересекает оси ОХ и ОУ в положительных точках. В противном случае минимум Z достигается при х=у=0. Доказательство вполне доступно школьнику непосредственно по рисунку геометрически.

Борис Михайлович! Я прошу прощения, но на открытом форуме, к которому имеют
доступ школьники, не хочется оставлять без комментариев Ваше решение.
Оно озаглавлено "РЕШЕНИЕ ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ", но на самом деле, пост #88
является для школьников образцом того, как не следует оформлять решения задач.

Замечания:

1) " . . . точку А(9,2) из первого корня, точку В(3,3) из третьего корня . . ."
В математике нет такого понятия "точка из корня". По какому такому алгоритму
корню [m]\sqrt{{{(x-9)}^2}+4}[/m] ставится в соответствие точка (9,2)?

2) Если Вам не нужны точки A и B, а нужны их зеркальные отражения C и D, то
зачем вообще упоминать про A и B?

3) " . . . это ответ при условии, что эта прямая пересекает оси ОХ и ОУ
в положительных точках. В противном случае . . . "
Напрашивается вопрос: "По каким дням недели прямая пересекает оси ОХ и ОУ
в положительных точках, а по каким дням это не так? Какие ответы имеет
задача в разные дни?"

Идея решения — правильная, и она с самого начала была подсказана
Александром Викторовичем (#2) и Владиславом Аркадьевичем (#3).
Хочется, наконец-то, правильно изложить и само решение.

Ветка разрослась, появились другие задачи. Чтобы никто не запутался,
начинаем с напоминания условия задачи — нужно уважительно относиться
к читателям форума.

ЗАДАЧА. Найти минимум выражения
[m]Z=\sqrt{{(x-9)}^2+4}+\sqrt{{x}^2+y^2}+\sqrt{{(y-3)}^2+9}[/m].

РЕШЕНИЕ.

Исходное выражение для Z равно длине ломаной линии, последовательно
соединяющей точки (9,-2), (x,0), (0,y), (-3,3) на координатной плоскости.
Ломаная линия не может быть короче, чем отрезок, соединяющий начальную
точку (9,-2) и конечную точку (-3,3), расстояние между которыми равно 13.

Достигается ли значение 13? Другими словами, существуют ли такие x и y,
при которых Z=13? Докажем, что существуют. Соединим отрезком точки (9,-2)
и (-3,3). Так как эти точки расположены по разные стороны от оси Ox, то
отрезок обязательно пересечёт ось Ox в некоторой точке (x,0). А так как
соединяемые точки расположены и по разные стороны от оси Oy, то отрезок
пересечёт и ось Oy в некоторой точке (0,y). Получающиеся x и y — искомые.
Но здесь важно обратить внимание на то, что при движении по отрезку
от точки (9,-2) к точке (-3,3) сначала будет пройдена точка (x,0),
а потом — (0,y). Другими словами, при движении вдоль ломаной линии,
последовательно соединяющей точки (9,-2), (x,0), (0,y), (-3,3),
нам не придётся какие-то части отрезка проходить дважды или трижды.
То, что это действительно так,
"вполне доступно школьнику непосредственно по рисунку геометрически".

КОНЕЦ РЕШЕНИЯ.

ОТВЕТ: 13.

Слабым местом (или достоинством?) этого решения является то, что мы взываем
к наглядности и к рисунку. Как обойтись без рисунка? Нам нужно будет
вычислениями доказать, что векторы
а(х-9,2) (вектор, идущий от точки (9,-2) к точке (x,0)),
b(-x,y) (вектор, идущий от точки (x,0) к точке (0,y)),
c(-3,3-y) (вектор, идущий от точки (0,y) к точке (-3,3)) сонаправлены.
Для этого нам придётся проделать выкладки,
которые проделал Игорь Владимирович в #84.

Анекдот в тему.
Математик и физик спорят являются ли все нечетные числа простыми.
Математик: 3,5,7 — простые, 9 — составное. Значит, теорема не верна.
Физик: 3,5,7-верно, 9 — ошибка эксперимента, Возьмем еще несколько случайно выбранных чисел: 11, 17, 23 — простые. Теорема доказана.

[m]Z=\sqrt{(x+2)^2-2y^2}+2\sqrt{2y^2-12x+2}+4\sqrt{y^2-(x-1)^2}[/m].

Найти минимум [m]Z=\sqrt{{{(x-)}^{2}}+49}+\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\sqrt{{{(y-p)}^{2}}+9}[/m]
При р>2,4 минимум находится моим «угадыванием»(способом мышления инженера-исследователя, а не «математика»).
Например, p=5 [m]Z=12\sqrt{2}[/m]. Я совершенно сознательно не буду указывать область применимости моего угадывания.