С5. Сложность зашкаливает.

Найти все значения [m]a[/m], при каждом из которых хотя бы для одного числа [m]b[/m] уравнение [m]|x^2-1|+ax=|x^2-8x+15|+b[/m] имеет не менее 5 корней.

Построить график разности модулей и повертеть прямую ax+b так, чтобы получить 5 пересечений. Границы для a найдутся из рассмотрения общей касательной, которая, в свою очередь получается как система из двух равных нулю дискриминантов (это проще, чем искать из уравнения касательных).

Мне тоже задача не нравится — потому, что не имеет совсем халявного "идейного" решения.

Мне-то как раз задача понравилась.
Решение можно упростить, если заметить одно свойство полученного графика.

Свойств у графика — дофига и больше. А так — прямая, возмущенная двумя параб. непересекающимися горбами вверх и вниз.

Но что можно упростить — не понимаю. Находить предельное нетривиальное значение углового коэффициента все равно придется из общей касательной.

Вполне симпатичная задача. Больше 5 корней- совсем просто, а вот ровно 5 по-сложнее будет.

Не понимаю утверждения. :-(
Чтобы найти когда больше 5 корней, нужно знать когда ровно 5.

Не обязательно. Бесконечно много — это больше, чем пять.

Не соглашусь.
5 решений получается при конкретном значении параметра. Более 5 решений получается, например, в интервале, у которого край является этим конкретным значением, которое должно быть предварительно найдено.
Указание неполного интервала значений параметра с учетом лишь случая бесконечного количества решений, не взяв во внимание случаев, где решений 6, 7 или другое количество, будет ошибкой.

Не спорю. В Вашей формулировке задачи именно так

Ну так здесь о других задачах речи и не было.
Посту #5 явно предшествовали ошибочные рассуждения.

Не обязательно!

Построим график [m]|x^2-1|-|x^2-8x+15|[/m]. Это три фрагмента прямой 8(x-2) и два участка парабол. График при этом симметричен относительно точки (2;0). a=8 запомним и отложим сразу же. Любая прямая кроме прямой y=8(x-2) пересекает прямую не более чем в одной точке, а каждую из парабол — не более чем в двух, значит, искомая прямая будет пересекать оба фрагмента парабол в двух точках и прямую в одной.
Пусть прямая удовлетворяет этому свойству. Рассмотрим точку, в которой она пересекает y=8(x-2). Если эта точка имеет абциссу больше 5, то участок прямой до точки 5 лежит в одной из полуплоскостей относительно прямой y=8(x-2), а параболические участки — в разных. Значит случай абциссы больше 3 отметается. Аналогично с абциссой меньше 1.
Заметим, что коэффициент наклона нашей прямой меньше 8, иначе аналогичные рассуждения приведут к тому, что пересечений не будет 5. Если сдвигать параллельно нашу прямую так, что абцисса точки пересечения с y=8(x-2) менялась от 1 до 3, то число пересечений с параболой на участке (3,5) будет монотонно неубывать, а на участке (-1,1) — монотонно невозрастать.
Наша прямая пересекает по 2 раза и ту и ту. При центральной симметрии около точки (2;0) она перейдет в параллельную, которая тоже пересекает обе по 2 раза из симметрии графика. Значит параллельные им прямые, лежащие между ними, тоже все пересекают оба графика по 2 раза.
Задача свелась к тому, чтобы определить, когда прямая, проходящая через точку 2;0 пересекает параболу [m]2(x^2-4x+7)[/m] в двух точках на промежутке (3,5)
Имеем уравнение
[m]2(x^2-4x+7)/(x-2) = 2(2x-4)[/m],
откуда [m]x=2+\sqrt{3}[/m] — точка касание, коэффициент наклона касательной при этом [m]4\sqrt{3}[/m]
Отсюда ответ: (4\sqrt{3};8],
если я, конечно, нигде не обсчитался.

У меня -8, если корней больше 5 и (-8; — 4sqrt3), если ровно 5.

Вот только вы промежуток для ( — a) нашли)

Если мы строим разность модулей, то в другой части равенства будет -ах+в. Тогда -а=8, т.е. а= -8.

Это, конечно, для -a :)

Это Anonimus Вас сбил с панталыку. :-)

Книга Козко А.И. C5 ЕГЭ 2011. Математика. параграф 8 № 12
Найдите все значения а, при каждом из которых система имеет единственное решение.
[m]\left\{\begin{matrix}
3\cdot 2^{x}+5|x|+4=3y+5x^{2}+3a\\
x^{2}+y^{2}=1
\end{matrix}\right[/m]

возможные значения а найдены: 4/3 и 10/3. вопрос в том, как из них выбрать тот, при котором будет единственное решение?

Предлагается обсуждать в этой теме задачи, которые представляли достаточную сложность и не были разобраны на просторах интернета или были разобраны достаточно плохо (громоздкое, непонятное или слишком сложное решение).
Приветствуется и публикация неясных задач, и обсуждение уже помещенных.

Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
|x^2-6x+8|+|x^2-6x+5|=a имеет ровно 3 решения.
С чего начать?

Найти все значения [m]a[/m], при которых уравнение
[m]\left|3x-|x+a|\right|=4x-9|x-1|[/m]
имеет хотя бы один корень.

Понятно, что задача несложная. Хотелось бы обсудить различные подходы к ее решению. Как Вы преподносите задачи такого типа своим ученикам? Какими способами решаете?

Найдите все значения b, при каждом из которых нерво имеет единственное решение e^(x+b+3)+x^2<=b-3x?
Перенес х в кв. вправо, парабола ветви вниз, вершина Х=-3/2, слева функция е в степени, для единственности нужна только одна точка их пересечения, как найти-не знаю. Даже производную брать пытался. Подскажите, пожалуйста.

Есть такая задача. Решить в целых числах 3^x+4^y=5^z. Скорее, думаю, сложность в доказательстве единственности решения, одно очевидно.