Решить в целых числах 3^x+4^y=5^z

Есть такая задача. Решить в целых числах 3^x+4^y=5^z. Скорее, думаю, сложность в доказательстве единственности решения, одно очевидно.

По модулю 3 получаем четность z.
Потом по модулю 4 получаем четность x.
Следовательно имеем уравнение 3^{2x}+2^{2y}=5^{2z}
2^{2y}=5^{2z}-3^{2x}
2^{2y}=(5^{z}-3^{x})(5^{z}+3^{x})
Поскольку оба выражения в скобках должны быть степенями двойки, а их сумма делится на 2, но не на 4, получаем что в одной из скобок написана ровно двойка.

5^z-3^x=2
5^z+3^x=2^{2y-1}
Складываем и делим пополам.

5^z=1+2^{2y-2}
По модулю 8 получаем, что либо y не больше двух (перебор дает y=2 и решение 9+16=25), либо z четно, но тогда точные квадраты 5^z и 2^{2y-2} отличаются на 1, что невозможно.

Как-то так.

Но можно через пифагоровы тройки, раз уж здесь про них стали говорить. Их ровно одна.

Предлагается обсуждать в этой теме задачи, которые представляли достаточную сложность и не были разобраны на просторах интернета или были разобраны достаточно плохо (громоздкое, непонятное или слишком сложное решение).
Приветствуется и публикация неясных задач, и обсуждение уже помещенных.

96/(x+y)+96/(x-y)=14
24/y=96/(x+y)+72/(x-y)

Уважаемые репетиторы, помогите решить эту систему. Пробовала прямое выражение одной переменной, но это приводит к каким-то диким корням, складывала — тот же результат. Я нашла подбором ответ (2,14) в целых числах (рассмотрела целые делители 96). А теперь думаю как решить.

Найти все значения [m]a[/m], при каждом из которых хотя бы для одного числа [m]b[/m] уравнение [m]|x^2-1|+ax=|x^2-8x+15|+b[/m] имеет не менее 5 корней.

Найдите все значения b, при каждом из которых нерво имеет единственное решение e^(x+b+3)+x^2<=b-3x?
Перенес х в кв. вправо, парабола ветви вниз, вершина Х=-3/2, слева функция е в степени, для единственности нужна только одна точка их пересечения, как найти-не знаю. Даже производную брать пытался. Подскажите, пожалуйста.

Объясните, пожалуйста, корректно ли условие задачи:

Дано, что сумма кубов двух чисел равна их разности.
Доказать, что сумма их квадратов меньше 1.

Вроде, очевидно, что лажа в условии.

Взято отсюда http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=2021
Там тоже выясняют корректность условия.

Может быть так надо:

Доказать, что найдутся два таких числа x,y>0 (или x,y<0) с суммой кубов, равной их разности, что с их сумма квадратов будет меньше единицы.