|
👍 0 👎 |
Прогрессия и уравнениеНайти все значения a, при которых уравнение [m]x^8+\text{ax}^4+1 =0[/m] имеет ровно четыре корня и эти корни образуют арифметическую прогрессию.
в уравнение все корни в четной степени → при любом X они автоматом будут неотрицательны. → Значит [m]a[/m] будет неположительна. — я думаю от этих рассуждений и нужно плясать. можно сделать замену y = x^4 и будет квадратное уравнение y^2 + ay + 1 = 0. из этого уравнения получаем, что D = a^2 — 4. → нужно чтобы было два корня, поэтому D > 0, значит a > 2. ну вот и все. дальше не понятно. и причем тут прогрессии?(эта задача именно на них). скорее всего корни получатся что-то вроде -2, 2, -4, 4 — т.к. в заданном уравнение [m]x^8+\text{ax}^4+1 =0[/m] x — в четной степени. например, если корень x = 2, то (-2)^8 + a(-2)^4 + 1 <===> (2)^8 + a(2)^4 + 1. |
|
👍 +1 👎 |
1) Неравенство a^2-4>0 решено неправильно.
2) Прогрессия тут при том, что она требуется условием задачи. Дальше не всё, а нужно продолжать решать задачу. 3) Числа -2, 2, -4, 4 никак не образуют арифметическую прогрессию, даже если их расположить в порядке возрастания или в порядке убывания. |
|
👍 0 👎 |
1) a < -2 U a > 2
2) все равно не понятно как ее применить 3) ну это да. я просто выразил возможную идею корней. принцип. |
|
👍 0 👎 |
2) но.. т.к. в исходном уравнение все остальные члены неотрицательны, то a > 2 автоматом отпадает. → a < -2.
|
|
👍 +1 👎 |
Подумайте о том, как устроены корни этого уравнения.
Подумайте о том, когда так устроенные числа образуют прогрессию. |
|
👍 0 👎 |
С Вашей гипотезой о неотрицательности корней правильно подумать о том, как они устроены, не получится. Выражение в левой части — чётное при любом a, поэтому вместе с любым корнем x_0 число -x_0 тоже будет корнем.
|
|
👍 0 👎 |
А где вы нашли гипотезу о неотрицательности корней? Был тезис о неотрицательности чисел x^4, x^8 и 1, что действительно так.
|
|
👍 0 👎 |
Цитирую:
"в уравнение все корни в четной степени → при любом X они автоматом будут неотрицательны." |
|
👍 0 👎 |
Ошибка: степени корней будут неотрицательны.
Контрпример: x^2 — 1 = 0. Павел Борисович, на всякий случай, во избежание недопонимания (недоразумения): это ни о чем не говорящая оговорка. Со мной такое часто бывает. |
|
👍 +1 👎 |
Если прочитать весь абзац в целом, то совершенно понятно, что автор имеет ввиду, несмотря на то, что он здесь не вполне ясно выразился.
Совершенно не понимаю, как можно его не так понять, когда он чуть ниже приводит пример -4, -2, 2, 4. |
|
👍 0 👎 |
Раз. Сказано же, ничего не значащая оговорка.
Два. А вот то, что написано пером, не вырубишь топором. Три. Ошибку оставлять нельзя. Четыре. Если Павел Борисович на меня не обиделся, значит сделано правильно. Если Павел Борисович на меня обиделся (таки намерений не было и не могло быть), то смиренно прошу у него прощения за допущенную некорректность. |
|
👍 +1 👎 |
Виктор Евгеньевич, я с удовольствием на Вас обижусь, если Вы мне подскажете, за что
К сожалению, ошибка, когда путают причину и следствие, занимает далеко не последнюю позицию в моей коллекции учениковых ляпов, поэтому не лишне ещё раз об этом напомнить. Что до грамотного изложения математических фактов, то этот навык, я считаю, не менее важен, чем знание таблицы умножения. "Language of mathematics is precise, concise and universal" ((c) Е.В. Дорожкина, English for mathematicians, ч.1) |
|
👍 +1 👎 |
Спасибо!
|
|
👍 0 👎 |
да, и по теор.Виета сумма корней равна 0, произведение = 1, далее арифметика, всё просто, для сверки:
корни: [m]-\sqrt{3} , -\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}, \sqrt{3}[/m] [m]a=-\frac{82}{9}[/m] |
|
👍 +1 👎 |
В уравнении должно быть два положительных корня (их либо два, либо нет).
Для того, чтобы четыре корня образовывали арифметическую прогрессию — они должны быть устроены так: -1,5с; -0,5с; 0,5с; 1,5с; с>0. Возможно, этого вполне достаточно для решения задания.. |
|
👍 0 👎 |
почему именно такие числа — 1,5; 0,5 и тд? "с" — что это? как его получили?
"да, и по теор.Виета сумма корней равна 0, произведение = 1, " если сделать в уравнение x^8 + ax^4 + 1 = 0 замену y = x^4, то y^2 + ay + 1 = 0. y_1 * y_2 = -a y_1 + y_2 = 1 почему произведение = 1, а сумма корней = 0? не ясно с чего начать решать эту задачи. уравнение можно разложить на множители(решая в общем виде, принимая что a — известно). можно, как выше, попробовать поколдовать с т. Виета. |
|
👍 0 👎 |
я рассматривал исходное уравнение
|
|
👍 0 👎 |
ну, даже так — уравнение все-равно же надо привести к квадратному виду:
(x^4)^2 + ax^4 + 1 = 0 x^4 + x^4 = -a x^4 * x^4 = 1 почему сумма = 0, а произведение = 1? |
|
👍 0 👎 |
Было бы замечательно, если бы Вы познакомились с формулами Виета для общего случая — связь коэффициентов уравнения произвольной степени n с его корнями.
|
|
👍 0 👎 |
P.S. Специально для шутливого Виктора Евгеньевича: произвольной натуральной степени. :-]
|
|
👍 0 👎 |
Что такое натуральная степень???
|
|
👍 0 👎 |
Вы в этом уверены???
|
|
👍 0 👎 |
я тут чисто в роли переводчика, а уж верно ли утверждение я не знаю
|
|
👍 0 👎 |
Справка:
Если на продукте написано: "Высший сорт", то продукт — Высшего сорта. Если на продукте написано: "Сорт высший", то продукт — не высшего сорта. В этом случае сорт продукта обычно даже не первый. |
|
👍 0 👎 |
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%92%D0%B8%D0%B5%D1%82%D0%B0#.D0.A4.D0.BE.D1.80.D0.BC.D1.83.D0.BB.D0.B8.D1.80.D0.BE.D0.B2.D0.BA.D0.B0
это чтоли? википедию не осилил, гугл ничего для ума школьника не выдает. многочлен [m]x^8+\text{ax}^4+1[/m] надо расписать в виде [m]x^8+0x^7+0x^6+0x^5+\text{ax}^4+0x^3+0x^2+0x[/m] , а дальше что то с коэффициентами мудрить |
|
👍 0 👎 |
Есть теоремка.
Число положительных корней не больше числа перемен знака. то есть, x^2 + x + 1 = 0 — нет положительных корней. x^2 + x — 1 = 0 — не более одного положительного корня. x^2 — x — 1 = 0 — не более одного положительных корня. x^2 — x + 1 = 0 — не более двух положительных корней. В исходном уравнении, если а — положительно — корней — обыщешься, не найдешь. Значит а < 0 Итак, имеем, не более двух положительных корней. Вполне достаточно, требуется всего четыре. Корни будут симметричными, хоть тресни, а их квадраты — положительными и попарно одинаковыми. Тут остается только расположить их симметрично относительно начала координат, да еще так, чтобы они образовывали арифметическую прогрессию. Единственный способ — приведен. с — произвольная постоянная, которую надо найти. Вроде все. Дальше думать стало лень. Но если есть вопросы — можно и подумать. ВЕ. |
|
👍 0 👎 |
в общем, корни будут вида(в порядке возрастания):
x_1 = -x + d; x_2 = (-x + d) + d; x_3 = [(-x + d) + d] + d x_4 = {[(-x + d) + d] + d } + d причем |x_1| = |x_3| |x_2| = |x_4| |
|
👍 0 👎 |
Почему |x_1|=|x_3|, а |x_2|=|x_4|?
Вы представляете графически, что такое арифметическая прогрессия как множество точек на прямой? |
|
👍 0 👎 |
И куда, интересно надо поставить 0, чтобы первая и третья точки были от него равноудалены и вторая и четвертая тоже?
|
|
👍 0 👎 |
Почему |x_1|=|x_3|, а |x_2|=|x_4|?
потому что корни симметричны |
|
👍 0 👎 |
А почему |x_1| равно именно |x_3|, а не |x_2| или |x_4|?
|
|
👍 0 👎 |
прямая:
x_1------x_2---0---x_3------x_4 по модулю равны x_1 и х_4, х_2 и х_3. я ошибся выше. почему именно в таком порядке корни — потому что выше я добавил, что корни расположены в порядке возрастания |
|
👍 0 👎 |
Это другой разговор. Ну вот и выразите отсюда все x_i через d.
|
|
👍 0 👎 |
из каких именно уравнений?
есть это: x_1 = -x + d; x_2 = (-x + d) + d; x_3 = [(-x + d) + d] + d x_4 = {[(-x + d) + d] + d } + d и это: по модулю равны x_1 и х_4, х_2 и х_3. |
|
👍 +2 👎 |
Попробуйте чего-нибудь делать, а не только задавать вопросы. А то так вы сами ничего никогда не решите.
|
|
👍 +1 👎 |
из #8 используйте " произведение = 1"
|
|
👍 0 👎 |
Деление отрезка
|
|
👍 −1 👎 |
Производная
|
|
👍 0 👎 |
Прогрессия
|
|
👍 0 👎 |
Система из двух дробных уравнений
|
|
👍 +1 👎 |
Решение векторного уравнения
|
|
👍 +1 👎 |
Помогите решить задачу НЕ УРАВНЕНИЕМ..У любителей головоломок спросили: Сколько ему лет?
|