СПРОСИ ПРОФИ
👍
0
👎 038

Прогрессия и уравнение

Найти все значения a, при которых уравнение [m]x^8+\text{ax}^4+1 =0[/m] имеет ровно четыре корня и эти корни образуют арифметическую прогрессию.

в уравнение все корни в четной степени → при любом X они автоматом будут неотрицательны. → Значит [m]a[/m] будет неположительна. — я думаю от этих рассуждений и нужно плясать. можно сделать замену y = x^4 и будет квадратное уравнение y^2 + ay + 1 = 0. из этого уравнения получаем, что D = a^2 — 4. → нужно чтобы было два корня, поэтому D > 0, значит a > 2.
ну вот и все. дальше не понятно. и причем тут прогрессии?(эта задача именно на них).

скорее всего корни получатся что-то вроде -2, 2, -4, 4 — т.к. в заданном уравнение [m]x^8+\text{ax}^4+1 =0[/m] x — в четной степени. например, если корень x = 2, то (-2)^8 + a(-2)^4 + 1 <===> (2)^8 + a(2)^4 + 1.
математика обучение     #1   27 фев 2012 02:10   Увидели: 26 клиентов, 8 специалистов   Ответить
👍
+1
👎 1
1) Неравенство a^2-4>0 решено неправильно.

2) Прогрессия тут при том, что она требуется условием задачи. Дальше не всё,
а нужно продолжать решать задачу.

3) Числа -2, 2, -4, 4 никак не образуют арифметическую прогрессию, даже
если их расположить в порядке возрастания или в порядке убывания.
👍
0
👎 0
1) a < -2 U a > 2
2) все равно не понятно как ее применить
3) ну это да. я просто выразил возможную идею корней. принцип.
  #3   27 фев 2012 05:21   Ответить
👍
0
👎 0
2) но.. т.к. в исходном уравнение все остальные члены неотрицательны, то a > 2 автоматом отпадает. → a < -2.
  #4   27 фев 2012 05:28   Ответить
👍
0
👎 0
точнее не 2), а 1)
  #5   27 фев 2012 05:29   Ответить
👍
+1
👎 1
Подумайте о том, как устроены корни этого уравнения.
Подумайте о том, когда так устроенные числа образуют прогрессию.
👍
0
👎 0
С Вашей гипотезой о неотрицательности корней правильно подумать о том, как они устроены, не получится. Выражение в левой части — чётное при любом a, поэтому вместе с любым корнем x_0 число -x_0 тоже будет корнем.
👍
0
👎 0
А где вы нашли гипотезу о неотрицательности корней? Был тезис о неотрицательности чисел x^4, x^8 и 1, что действительно так.
👍
0
👎 0
Цитирую:
"в уравнение все корни в четной степени → при любом X они автоматом будут неотрицательны."
👍
0
👎 0
Ошибка: степени корней будут неотрицательны.
Контрпример: x^2 — 1 = 0.

Павел Борисович, на всякий случай, во избежание недопонимания (недоразумения): это ни о чем не говорящая оговорка. Со мной такое часто бывает.
👍
+1
👎 1
Если прочитать весь абзац в целом, то совершенно понятно, что автор имеет ввиду, несмотря на то, что он здесь не вполне ясно выразился.
Совершенно не понимаю, как можно его не так понять, когда он чуть ниже приводит пример -4, -2, 2, 4.
👍
0
👎 0
Раз. Сказано же, ничего не значащая оговорка.

Два. А вот то, что написано пером, не вырубишь топором.

Три. Ошибку оставлять нельзя.

Четыре. Если Павел Борисович на меня не обиделся, значит сделано правильно.

Если Павел Борисович на меня обиделся (таки намерений не было и не могло быть), то смиренно прошу у него прощения за допущенную некорректность.
👍
+1
👎 1
Виктор Евгеньевич, я с удовольствием на Вас обижусь, если Вы мне подскажете, за что :-))

К сожалению, ошибка, когда путают причину и следствие, занимает далеко не последнюю позицию в моей коллекции учениковых ляпов, поэтому не лишне ещё раз об этом напомнить.

Что до грамотного изложения математических фактов, то этот навык, я считаю, не менее важен, чем знание таблицы умножения. "Language of mathematics is precise, concise and universal" ((c) Е.В. Дорожкина, English for mathematicians, ч.1)
👍
+1
👎 1
Спасибо!
👍
0
👎 0
да, и по теор.Виета сумма корней равна 0, произведение = 1, далее арифметика, всё просто, для сверки:
корни: [m]-\sqrt{3} , -\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}, \sqrt{3}[/m]
[m]a=-\frac{82}{9}[/m]
👍
+1
👎 1
В уравнении должно быть два положительных корня (их либо два, либо нет).
Для того, чтобы четыре корня образовывали арифметическую прогрессию — они должны быть устроены так:
-1,5с; -0,5с; 0,5с; 1,5с; с>0.
Возможно, этого вполне достаточно для решения задания..
👍
0
👎 0
почему именно такие числа — 1,5; 0,5 и тд? "с" — что это? как его получили?

"да, и по теор.Виета сумма корней равна 0, произведение = 1, "
если сделать в уравнение x^8 + ax^4 + 1 = 0 замену y = x^4, то y^2 + ay + 1 = 0.
y_1 * y_2 = -a
y_1 + y_2 = 1

почему произведение = 1, а сумма корней = 0?

не ясно с чего начать решать эту задачи. уравнение можно разложить на множители(решая в общем виде, принимая что a — известно). можно, как выше, попробовать поколдовать с т. Виета.
  #15   27 фев 2012 13:52   Ответить
👍
0
👎 0
я рассматривал исходное уравнение
👍
0
👎 0
ну, даже так — уравнение все-равно же надо привести к квадратному виду:
(x^4)^2 + ax^4 + 1 = 0
x^4 + x^4 = -a
x^4 * x^4 = 1

почему сумма = 0, а произведение = 1?
  #17   27 фев 2012 14:26   Ответить
👍
0
👎 0
Было бы замечательно, если бы Вы познакомились с формулами Виета для общего случая — связь коэффициентов уравнения произвольной степени n с его корнями.
👍
0
👎 0
P.S. Специально для шутливого Виктора Евгеньевича: произвольной натуральной степени. :-]
👍
0
👎 0
Что такое натуральная степень???
👍
0
👎 0
степень с натуральным показателем-)
  #23   27 фев 2012 15:37   Ответить
👍
0
👎 0
Вы в этом уверены???
👍
0
👎 0
я тут чисто в роли переводчика, а уж верно ли утверждение я не знаю
  #26   27 фев 2012 15:49   Ответить
👍
0
👎 0
Справка:
Если на продукте написано: "Высший сорт", то продукт — Высшего сорта.
Если на продукте написано: "Сорт высший", то продукт — не высшего сорта.
В этом случае сорт продукта обычно даже не первый.
👍
0
👎 0
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%92%D0%B8%D0%B5%D1%82%D0%B0#.D0.A4.D0.BE.D1.80.D0.BC.D1.83.D0.BB.D0.B8.D1.80.D0.BE.D0.B2.D0.BA.D0.B0

это чтоли? википедию не осилил, гугл ничего для ума школьника не выдает.

многочлен [m]x^8+\text{ax}^4+1[/m] надо расписать в виде [m]x^8+0x^7+0x^6+0x^5+\text{ax}^4+0x^3+0x^2+0x[/m] , а дальше что то с коэффициентами мудрить
  #22   27 фев 2012 15:27   Ответить
👍
0
👎 0
Есть теоремка.
Число положительных корней не больше числа перемен знака.
то есть,
x^2 + x + 1 = 0 — нет положительных корней.
x^2 + x — 1 = 0 — не более одного положительного корня.
x^2 — x — 1 = 0 — не более одного положительных корня.
x^2 — x + 1 = 0 — не более двух положительных корней.

В исходном уравнении, если а — положительно — корней — обыщешься, не найдешь.
Значит а < 0

Итак, имеем, не более двух положительных корней.
Вполне достаточно, требуется всего четыре.
Корни будут симметричными, хоть тресни, а их квадраты — положительными и попарно одинаковыми.

Тут остается только расположить их симметрично относительно начала координат, да еще так, чтобы они образовывали арифметическую прогрессию.

Единственный способ — приведен.
с — произвольная постоянная, которую надо найти.

Вроде все.

Дальше думать стало лень.

Но если есть вопросы — можно и подумать.

ВЕ.
👍
0
👎 0
в общем, корни будут вида(в порядке возрастания):

x_1 = -x + d;
x_2 = (-x + d) + d;
x_3 = [(-x + d) + d] + d
x_4 = {[(-x + d) + d] + d } + d

причем
|x_1| = |x_3|
|x_2| = |x_4|
  #25   27 фев 2012 15:46   Ответить
👍
0
👎 0
Почему |x_1|=|x_3|, а |x_2|=|x_4|?
Вы представляете графически, что такое арифметическая прогрессия как множество точек на прямой?
👍
0
👎 0
последовательность точек с равным промежутком
  #28   27 фев 2012 15:50   Ответить
👍
0
👎 0
И куда, интересно надо поставить 0, чтобы первая и третья точки были от него равноудалены и вторая и четвертая тоже?
👍
0
👎 0
Почему |x_1|=|x_3|, а |x_2|=|x_4|?

потому что корни симметричны
  #29   27 фев 2012 15:51   Ответить
👍
0
👎 0
А почему |x_1| равно именно |x_3|, а не |x_2| или |x_4|?
👍
0
👎 0
прямая:

x_1------x_2---0---x_3------x_4

по модулю равны x_1 и х_4, х_2 и х_3. я ошибся выше.

почему именно в таком порядке корни — потому что выше я добавил, что корни расположены в порядке возрастания
  #32   27 фев 2012 16:11   Ответить
👍
0
👎 0
Это другой разговор. Ну вот и выразите отсюда все x_i через d.
👍
0
👎 0
из каких именно уравнений?
есть это:
x_1 = -x + d;
x_2 = (-x + d) + d;
x_3 = [(-x + d) + d] + d
x_4 = {[(-x + d) + d] + d } + d

и это:
по модулю равны x_1 и х_4, х_2 и х_3.
  #34   27 фев 2012 16:24   Ответить
👍
+2
👎 2
Попробуйте чего-нибудь делать, а не только задавать вопросы. А то так вы сами ничего никогда не решите.
👍
+1
👎 1
из #8 используйте " произведение = 1"

Задайте свой вопрос по математике
профессионалам

Сейчас онлайн 75 репетиторов по математике
Получите ответ профи быстро и бесплатно

Другие вопросы на эту тему:

👍
0
👎 02

Деление отрезка   2 ответа

Как выводятся формулы деления отрезка в заданном отношении. А то на лекции никто не понял.
  16 окт 2018 10:49  
👍
0
👎 03

Производная   3 ответа

Найти формулу для производной n-го порядка, n>=3, если y=2(x-1)^2 cos^2(x-1).
Никак не получатся формула для произвольного n/
  02 янв 2014 19:07  
👍
0
👎 021

Прогрессия   21 ответ

Найти трехзначное число, цифры которого образуют (в том порядке, в котором они стоят в числе) возрастающую арифметическую прогрессию и которое делится на 45.

множество трехзначных чисел, делящихся на 45, задаются формулой
x = 45*n
n_{min} = 3 → первое число 45*3 = 135
n_{max} = 22 → последнее число 45*22 = 990

если n = 3, то x = 135 → 1, 3, 5 — это ар. пр. с разностью d = 2.

Я знаю, как с помощью арифметической…
  24 фев 2012 04:22  
👍
0
👎 09

Система из двух дробных уравнений   9 ответов

Система:

[m]\frac{\frac{3 x}{8}+\frac{2x}{5}}{\frac{5 x}{8}+\frac{y}{3}}=\frac{3}{5}[/m]

[m]\frac{\frac{3 x}{8}+\frac{2 z}{5}}{\frac{2x}{3}+\frac{3z}{5}}=\frac{3}{2}[/m]

найти: [m]\frac{\text{xz}}{y^2}[/m]

что-то у меня даже идей нету.. я думаю тут нужно как-то сделать замену типа x/y = a; z/y = b.
  20 фев 2012 13:22  
👍
+1
👎 12

Решение векторного уравнения   2 ответа

1. Объяснить геометрический смысл всех решений векторного уравнения (x, a) = p, а также его частного решения, коллинеарного вектору а:
1) на плосктости;
2) в пространстве.

Ну если расписать скалярное произведение по определиню
[m](x, a) = |x| \cdot |a| \cdot \cos phi = p[/m] и выразить отсюда |x| то получится [m] |x| = \frac{p}{|a| \cdot \cos phi} [/m]
И как мне это представить в геометрической интерпретации??
И может плясать от того что скалярное произведение это число, а значит точка. и все решения этого уравнения множество точек. Только вот какое?
  08 окт 2011 17:20  
👍
+1
👎 12

Помогите решить задачу НЕ УРАВНЕНИЕМ..У любителей головоломок спросили: Сколько ему лет?   2 ответа

У любителей головоломок спросили: Сколько ему лет он дал такой ответ: Возьмите трижды мои годы три года назад и у Вас как раз получатся мои годы. Сколько ему лет?
  11 апр 2011 21:06  
ASK.PROFI.RU © 2020-2022