СПРОСИ ПРОФИ
👍
0
👎 019

Пересечения в решении тригонометрического уравнения

Добрый день!
Помогите, пожалуйста, разобраться с решением уравнения
cos3x*cos7x=0
решения x= pi/6+pin/3; x=pi/14+pin/7 имеют пересечения.
Нужно ли на это обращать внимание на ЕГЭ? Или можно написать две этих формулы и все?
тригонометрия элементарная математика математика обучение     #1   29 окт 2012 21:26   Увидели: 24 клиента, 6 специалистов   Ответить
👍
0
👎 0
Удивлена отсутствием ответа... Что, никто не знает? Или вопрос слишком элементарный? Но разве трудно написать ответ в пару слов?

Может, я непонятно сформулировала? Мне интересно, если у двух решений есть пересечения при некоторых n, нужно ли это как-то исследовать и потом писать такой ответ, в котором пересечений не будет?
👍
0
👎 0
Для меня вопрос показался совсем простым, а в таком случае я, обычно, жду пока ответит кто-то другой. В результате наличие вопроса вылетело из головы. Простите, что никто не ответил.

Задания такого рода на ЕГЭ в С1 в 2013 году с огромной вероятностью не будет. Составителям нет смысла вставлять подобного рода сложности в задание, которое должны решать школьники стандартными приемами. Все сложности ожидайте в задачах С4-С6.
Для грамотного оформления решения такой задачи нужно записывать ответы в виде [m]x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},~ x=\frac{\pi}{14}+\frac{\pi k}{7}[/m], приравнивать их между собой и находить общие точки решением диофантового уравнения. Ответ не должен содержать повторяющихся точек. Их наличие в ответе будет указывать на неполноту исследования.
👍
0
👎 0
Владислав Аркадьевич, большое спасибо! Все ясно.
👍
+1
👎 1
Если задача только в том, чтобы решить предложенное уравнение, то я бы дал ответ такой же, как и в старт-посте. Ведь всё, что здесь нужно — это предъявить множество решений уравнения, а данные топикстартером формулы задают это множество верно. Множество решений задано в виде объединения двух множеств; ну и что с того, что эти множества пересекаются?

Вот простой пример. Допустим, мне нужно описать множество целых чисел, дающих при делении на 6 остатки, отличные от 1 и 5. Хочу — задаю это множество дизъюнктным объединением: x=6n, x=6n+2, x=6n+3, x=6n+4; а хочу — недизъюнктным: x=2n, x=3k. Оба способа эквивалентны, так как описывают одно и то же множество.

Конечно, в отдельных случаях целесообразно навести лоск и модифицировать запись решения тригонометрического уравнения с учётом пересечений (например, для уравнения sin x*sin 2x=0). Но делать это не имеет смысла, если новое представление окажется сложнее старого. А в случае уравнения из старт-поста так и получается. Здесь гнаться за дизъюнктным объединением — решать диофантово уравнение, описывать отдельно пересечение и отдельно те решения, которые в пересечении не лежат — это лекарство, которое страшнее болезни.
👍
0
👎 0
Множество решений задано в виде объединения двух множеств; ну и что с того, что эти множества пересекаются?

Если так ставить вопрос, то можно за правильный ответ принять и [m]x\in(1;3)\cup(2;4)[/m] при решении какого-нибудь неравенства.
Данной вопрос близок к вопросу о том, засчитывать ли за правильный ответ [m]\sqrt{4}[/m] или [m]\frac42[/m] вместо [m]2[/m].
В этом году, кстати говоря, у меня ученик в С2 дал ответ с корнем, который можно было извлечь, и получил 1 балл из 2.

Нам же нужно не просто получение правильного ответа, а получение максимального балла за представленное решение. Задаче из старт-поста настолько легка без решения диофантового уравнения, что ее, на мой взгляд, просто не за что оценивать в 2 балла.

До какого момента нужно наводить лоск, а до какого не стоит — вопрос достаточно скользкий. Здесь все зависит от предпочтений и интересов проверяющего. Если бы такое задание оценивалось, скажем не в 2, а в 4 балла, то выставление 3 было бы вполне приемлемой оценкой. Что делать, если оценка формируется из максимума 2 — сложный вопрос.
👍
0
👎 0
Ну так и я ратую исключительно за максимальный балл! :-)

Задача из старт-поста — не обязательно исходная формулировка условия. Предлагаю такую модель задачи С1.

а) Решить уравнение [m]\cos 4x+\cos10x=0[/m]. б) Найти все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [m]\left[0;\frac{\pi}{2}\right][/m].

В пункте а) будем решать диофантово уравнение и после этого выписывать формулы для решений, не входящих в пересечение? :-)
👍
+1
👎 1
В такой формулировке — не будем. Без пункта б) — будем. :-)

Решение принято на основе того, что пункт а) оценивается максимум в 1 балл. А отсутствие исключения повторяющихся корней на 0 никак не тянет.

Опять же, здесь речь идет о ЕГЭ, и я бы поступил так. А если бы речь шла, например, о вступительном экзамене МГУ, где бы задача оценивалась иным образом, то я бы, непременно, решил диофантово уравнение.
👍
+1
👎 1
Я не разбираюсь досконально во всех тонкостях ЕГЭ, тонкостях
начисления баллов и тонкостях прочих вступительных экзаменов.
Не берусь судить.

Но ОЧЕНЬ ХОЧУ (в поддержку #6) высказать своё мнение о том,
как правильно записывать ответ с точки зрения МАТЕМАТИКИ.

Ответ должен быть как можно более краток и понятен.
Ответ "x=pi/6+pin/3; x=pi/14+pin/7" удовлетворяет этим требованиям.
Превращать его в другой ответ, длинный и запутанный, — НЕ СЛЕДУЕТ.
(И не нужно ошибочно называть запутывание — наведением лоска.)

Ответы "Корень из 4" или "4/2" БЕЗУСЛОВНО должны быть заменены
ответом "2".
👍
0
👎 0
Юрий Анатольевич!
Простите меня, пожалуйста, пожалуйста за нескромность, но неправильный ответ вполне может быть и краток, и понятен.
👍
0
👎 0
Да, я не написал о том, что ответ должен быть обязательно правильным.
Но мне казалось, что всем это и так очевидно, и что это не повод для
дискуссии.
👍
0
👎 0
Повод.
Очевидные вещи далеко не всегда очевидны.
Аксиому параллельных, например, пытались доказать 2500 лет.
Хотя грекам, по-видимому, это было очевидно.
👍
+1
👎 1
Если говорить строго, то ответ [m]x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3};~ x=\frac{\pi}{14}+\frac{\pi n}{7}[/m] неверен.
Верен ответ [m]x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3};~ x=\frac{\pi}{14}+\frac{\pi k}{7};~ n\in Z;~ k\in Z[/m] . Добавка [m]n\neq 1+3l;~ l\in Z[/m] или замена [m]x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}[/m] на [m]x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n[/m], исключающие повторение корней, только улучшат его.

Представьте себе, что решается уравнение наборы корней которого пересекаются так, что после исключения повторений, один из наборов упрощается. Например, [m]\cos{7x}\sin{2x}=0[/m] . Будете ли Вы писать ответ сразу, как есть, или все напишите упрощенную версию, исключив повторы?

А если исследование даст полное исключение одного из наборов? Например, в уравнении [m]\cos{7x}\cos{x}=0[/m].

В итоге получается, что Вы думаете о пересечении множеств и выполняете какие-то операции для установления этого пересечения. Так почему же не отразить свои действия при оформлении решения.

Вообще говоря, в математике содержится огромная доля искусства. А вкусы и предпочтения могут во многом различаться. И если говорить о таком серьезном испытании как экзамен, то решение следует предоставлять таким, чтобы оно угодило максимально возможному количеству беспристрастных индивидов. :-)
👍
0
👎 0
Разумеется, что на ответственном экзамене нужно не забывать
писать "n \in Z". Это не будет лишним.
А в чём же именно неверен ответ "x=pi/6+pin/3; x=pi/14+pin/7" ?
В том, что забыли написать "n \in Z" ?
Или в том, что оба раза используется одна и та же буква n?
А если подняться на ещё более высокий уровень строгости:
[m]x\in\left\{\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3} \; \biggl| \; n\in{\mathbb Z}\right\} \bigcup \left\{\frac{\pi}{14}+\frac{\pi n}{7} \; \biggl| \; n\in{\mathbb Z}\right\}[/m]
Так будет правильно? Или нужно писать:
[m]x\in\left\{\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3} \; \biggl| \; n\in{\mathbb Z}\right\} \bigcup \left\{\frac{\pi}{14}+\frac{\pi k}{7} \; \biggl| \; k\in{\mathbb Z}\right\}[/m] ?
👍
+1
👎 1
Вы решили обсудить самую менее значимую часть моего вопроса, оставив в стороне все остальное, ради которого затевалась тема.
Разумеется, верны оба варианта. Просто в случае выбора корней на промежутке, лучше вводить разные буквы, чтобы в процессе решения не возникало путаницы.
👍
−1
👎 -1
"...менее значимую часть моего вопроса..."
А в чём был вопрос? Вы имеете в виду Ваши вопросы:

"...или ... напишите упрощенную версию, исключив повторы?"
"А если исследование даст полное исключение одного из наборов?"

Но на эти вопросы я дал ответ в #10 ещё до того, как Вы их задали:
"Ответ должен быть как можно более краток и понятен".
Хорошо, отвечу ещё раз.
Если исследование даёт полное исключение одного из наборов,
то ответ станет более кратким — эту более краткую запись
ответа и нужно использовать.
Если исследование даёт не полное исключение одного из наборов,
но позволяет сделать запись ответа более краткой, нужно этим
воспользоваться и записать краткий ответ.

А Вы так и не ответили, в чём же именно неверен ответ
"x=pi/6+pin/3; x=pi/14+pin/7"?
А если написать так
(без фигурных скобок и без знака объединения множеств):
"x=pi/6+pin/3; x=pi/14+pin/7, n \in Z" — это будет верным ответом?
(Только я здесь не спрашиваю, как легче избежать путаницы, как легче
выбирать корни на промежутке. . . Будет верным ответом? Или не будет
верным ответом?)
👍
0
👎 0
И мне тоже это стало интересно. Допустим, множества решений не пересекаются. Если ответ состоит из двух формул, то какой смысл писать в них разные буквы? Ведь даже используя одну букву, мы все равно описываем "множество всех его корней", то есть, перебирая все n, получаем все точки, являющиеся решениями.

Если надо проводить сравнения, нет ли пересечений в решениях, алгебраически — понятно, зачем разные буквы. А если пересечений нет?
👍
0
👎 0
1) А почему Вы пишете "Допустим, множества решений не пересекаются"?
Если два множества пересекаются, то всё равно, используя одну букву,
мы описываем множество всех корней.

2) "Если надо проводить сравнения. . ."
Здесь Вы путаете два процесса:
а) процесс решения уравнения, включая исследования, сравнения, и т.д.,
б) запись окончательного ответа.
Для проведения сравнения удобно использовать разные буквы.
При записи окончательного ответа, как я считаю, можно использовать и
одну букву.

3) Я ещё раз хочу предостеречь, что я отвечаю с точки зрения здравого
смысла и математической грамотности.
А как на всё это будут смотреть при проверке ЕГЭ — давайте лучше
дождёмся ответа Владислава Аркадьевича.
И я хотел бы получить ответ на мой вопрос, заданный во второй раз в #17.
👍
0
👎 0
Вы получили ответ на свой вопрос.
"Разумеется, верны оба варианта. Просто в случае выбора корней на промежутке, лучше вводить разные буквы, чтобы в процессе решения не возникало путаницы."
Повторю совсем явно.
Ответ [m]x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3};~ x=\frac{\pi}{14}+\frac{\pi n}{7};~ n\in Z[/m] верен. Указание принадлежности [m]n[/m] целым числам обязательно. Различные буквы в множествах делать не обязательно.

Но!
Если производится исключение повторяющихся решений, то нужно брать разные буквы.
Если производится исключение части решений за счет ОДЗ, то нужно брать разные буквы.
Если производится выбор корней из промежутка, то значительно лучше брать разные буквы, чтобы не возникала путаница при их поиске.

Поэтому я рекомендую ученикам всегда писать разные буквы, чтобы не думать о том, нужны они или нет. От записи меньше десятка лишних символов, и то если они будут лишними, рука не отвалится, а ненужные ошибки исключатся.
👍
0
👎 0
Наташа!
Несмотря на то, что Ваша задача довольно простая — она представляет некоторый интерес.

Задайте свой вопрос по математике
профессионалам

Сейчас онлайн 75 репетиторов по математике
Получите ответ профи быстро и бесплатно

Другие вопросы на эту тему:

👍
0
👎 05

Тригонометрия. Формулы приведения   5 ответов

Сравните sin(sin1) и cos(cos1).

Вот такое задание по теме "Формулы приведения". Не знаю, как решать. Подайте идею, пожалуйста. И как тут применить формулы приведения, понятия не имею.
  09 фев 2014 13:42  
👍
0
👎 08

Помогите с решением задачи   8 ответов

в треугольнике ABC угол С равен 90 градусов. sinA = 24/29. АС=корень из 265. найти АВ
👍
0
👎 017

Триг уравнение   17 ответов

Сколько решений уравнения
[m]{{\cos }^{2}}(2x)+{{\cos }^{2}}(4x)=ctgx+1[/m]
лежит на отрезке [Pi/4,5Pi/4]. Никак не сходится с ответом(разница на 1).
  11 дек 2012 12:40  
👍
+2
👎 213

Тангенсы.   13 ответов

В продолжение темы
https://ask.profi.ru/q/trigonometriya-vychislit-tg20tg40tg60tg80-33254/

Формулу
[m]\operatorname{tg}{3\alpha}=\operatorname{tg}{\alpha}\cdot\operatorname{tg}{(\frac{\pi}{3}-\alpha)}\cdot\operatorname{tg}{(\frac{\pi}{3}+\alpha)}[/m]
доказать несложно.

Формулу
[m]\operatorname{tg}{5\alpha}=\operatorname{tg}{\alpha}\cdot\operatorname{tg}{(\frac{\pi}{5}-\alpha)}\cdot\operatorname{tg}{(\frac{\pi}{5}+\alpha)}\cdot\operatorname{tg}{(\frac{2\pi}{5}-\alpha)}\cdot\operatorname{tg}{(\frac{2\pi}{5}+\alpha)}[/m]
доказать…
👍
+1
👎 111

Не понимаю значения тригонометрического выражения sinx*cosx   11 ответов

Откуда это выражение вообще берется, и что за ним стоит?
Например sin2x мне понятен — это когда sin(x+x) а что такое sinx*cosx.
Можно хотя бы графически как-то выразить?
И вообще не понимаю, как представить умножение двух углов sinA*sinB или sinA*cosB.
Будте добры дайте хоть какие-то наводки к объяснению. Уже пятую книгу читаю по тригонометрии — нигде подобных объяснений нет.
Посоветуйте что-нибудь.

  22 авг 2011 13:11  
👍
+1
👎 128

Тригонометрические уравнения   28 ответов

найти число корней уравнения на промежутке -пи до пи
cos3x + sin4x =1
  16 дек 2010 13:18  
ASK.PROFI.RU © 2020-2022