|
👍 +2 👎 |
Окружности.Даны 3 равные попарно касающиеся окружности радиуса 1. Чему равняется радиус окружности, касающейся их в различных точках?
математика обучение
Вуль Владислав Аркадьевич
|
|
👍 +1 👎 |
Лучше бы сразу спросили, сколько решений имеет данная задача
|
|
👍 0 👎 |
Так оно поинтереснее выглядит.
|
|
👍 0 👎 |
Возможно.
Но Ваша формулировка существенно снижает шансы получить правильный ответ. А зачем давать заведомо невыполнимые задания? |
|
👍 0 👎 |
Снижение шансов происходит не до 0, значит есть надежда. А почему Вы назвали это задание невыполнимым?
|
|
👍 0 👎 |
Про невыполнимые задания — это в общем, к конкретной задаче не относится.
На №6 — строго говоря, надо еще доказать, что никаких других патологических случаев нет. Иногда интуиция и здравый смысл дают неверные советы. |
|
👍 0 👎 |
Собственно, у этой задачи есть естественное логическое продолжение.
Его содержательная часть — определить, сколько решений будет при произвольных радиусах исходных окружностей (не для фиксированной тройки r1,r2,r3, а вообще). Неинтересная часть (после того, как успешно решена часть содержательная) — найти параметры (радиус и центр) этих решений. |
|
👍 0 👎 |
Маленькая и большая окружности из соображений симметрии имеют центр в центре равностороннего треугольника, образованного центрами. Отсюда радиус маленького есть радиус описанной около этого треугольника окружности минус 1, то есть [m]\frac{2\cdot \sqrt{3}}{2}\cdot \frac23-1 =\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}[/m]. Радиус большой, соответственно, на 2 больше, то есть [m]\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}[/m]
А больше я чего-то не вижу. |
|
👍 +1 👎 |
В задаче не говорилось о принадлежности 3 окружностей одной плоскости.
В пространстве задаче становится несколько интереснее, и значение радиуса уже может меняться в интервале. |
|
👍 +2 👎 |
Это уже казуистика — тогда в каждой задаче придется специально оговаривать размерность.
|
|
👍 0 👎 |
Вопрос очень интересный.
А, может, действительно стоит уточнять о плоскости или пространстве идет речь в задачах, где возможны расхождения. И не уточнять, если подразумевается рассмотрение в обеих размерностях. В большинстве планиметрических задач по условию понятно, что все происходит в плоскости и выхода в пространство быть не может, но встречаются и такие, где этот выход имеет место быть. Если задача не рассматривается в определенном курсе, где подразумевается ее принадлежность к определенной размерности, если она не стоит на экзамене в том месте, на котором должна стоять задача определенной размерности по КИМам, то, на мой взгляд, ее изначально нужно рассматривать, исходя из общих соображений, предполагая размерность неизвестной. Разумеется, размерность не превышает 3, если это, опять же, не оговорено. |
|
👍 +1 👎 |
Полагаю, надо уточнять в том случае, когда это не очевидно из контекста.
Почти всегда в школьной практике любая задача, заданная в курсе планиметрии (== внутренняя геометрия плоскости) не предусматривает выхода в пространство. Например, если говорят про четырехугольник, то не уточняют, что он плоский — предполагая это само собой разумеющимся. Это та же ситуация, как с количеством корней уравнения: как учитывать кратные корни, учитывать ли комплексные корни, и.т.д. Проблема не математики, а договоренностей. |
|
👍 0 👎 |
Тогда что такое в вашем случае касание?
|
|
👍 0 👎 |
То же, что и у всех.
Наличие в точке касания общей касательной. |
|
👍 0 👎 |
Владислав Аркадьевич!
Вы знаете задачу: Из четырех спичек сложить четыре треугольника? Задача старая и решается. Примечание: это не шпилька; с окружностями и интерпретацией условия задачи — я полностью на Вашей стороне. |
|
👍 0 👎 |
1. Не задача, а головоломка — к ним другие требования на формулировки.
2. Имеет не только стандартное решение (тетраэдр), но и плоское |
|
👍 0 👎 |
И не из 4-х спичек, а из шести
|
|
👍 0 👎 |
Приняв во внимание общественное мнение, соглашусь, что формулировка задачи не шибко удачная.
Тем не менее, в пространстве решение задачи содержит красивое обобщение возможных расположений окружностей. Советую порешать. |
|
👍 0 👎 |
Только надо пояснить, что подразумевается под "касанием двух окружностей в пространстве". Касание и пересечение в одной точке — это, вообще говоря, не одно и то же.
|
|
👍 0 👎 |
Это уже пояснялось в #13
|
|
👍 +1 👎 |
Не совсем удачно пояснялось — не сказано, что такое касательная к кривой в пространстве (какая-то конкретная прямая, любая прямая касательной плоскости, сама касательная плоскость, что-то еще).
Если есть две поверхности — тут и думать нечего — они касаются, если у них есть общая касательная ПЛОСКОСТЬ. Если две плоские кривые лежат в одной плоскости — тоже думать нечего. А вот если кривые не плоские и/или лежат не в одной плоскости — возможны варианты. Довольно много вариантов — неслучайно нет устоявшегося понятия "касается" в данном случае. |
|
👍 0 👎 |
Думаю все достаточно понятно. Окружности должны пересекаться ровно в 1 точке, причем касательные к каждой из окружностей (в плоскости этих окружностей) должны совпадать.
|
|
👍 +1 👎 |
Это нам с Вами понятно, а должно быть понятно детям. Которые редко оперируют с кривыми в пространстве.
|
|
👍 +1 👎 |
Ключевым моментом решения задачи является установление следующего факта. Вся конструкция может располагаться либо на сфере, либо на плоскости. Возможные значения искомого радиуса лежат в отрезке между уже приведенными значениями его на плоскости. Все промежуточные значения радиуса можно получить на сфере.
Решение должно содержать доказательство высказанного утверждения, а также доказательство того, что в случае касания 3 равных окружностей в одной точке невозможно провести окружность, касающуюся их в различных точках. |
|
👍 0 👎 |
Квадрат двучлена
|
|
👍 0 👎 |
Математика с5 касательная
|
|
👍 0 👎 |
НОК
|
|
👍 +1 👎 |
Геометрическая задачка
|
|
👍 0 👎 |
Задача о шести телах.
|
|
👍 +1 👎 |
Три окружности
|