Найти наименьшее значение

Среди всех решений (x,y,z,w) системы
x^2 +y^2 +2y -63 = 0
z^2 +w^2 +4z -2w -220 =0
xw +yz +2y +z -x -118>=0
найти такие, при которых выражение y + w принимает наименьшее значение.
Выделяли полные квадраты, но ничего дальше не придумали.

Первое, что приходит в голову.

Обозначения : A=x; B=y+1; C=z+2; D=w-1. Тогда

(1) A^2+B^2= 8^2;
(2) C^2+D^2=15^2;
(3) AC+BD>=120 [=8*15]

Дальше все очевидно. (1)+(2)+2(3) дает :

(A+C)^2+(B+D)^2>=(8+15)^2=23^2.

Ясно, что (B+D) >=-23, аналогичная оценка и для (y+w).

Извините, в последней строке — "липа". Я надеюсь, что ее Вы исправите сами. В конце концов, и Вам должна достаться какая-то часть работы.

Запишем систему в виде:
(y+1)^2 + x^2=64
(z+2)^2 + (w-1)^2 =225
(y+1)(z+2) +(w-1)x>=120
А теперь можно использовать тригонометрические замены: x=cosa? y+1=8sina. Остальные писать не буду, делай сам. Для контроля укажу , получится y+w >= -17. Далее смотришь, когда достигается равенство, обратная замена и ответ.

Можно векторно

a(x; y + 1);
b(w -1; z +2);

|a| = 8
|b| = 15
(a, b) = 120

a = kb

y + w = (y + 1) + (w — 1) = 8sinA + 15cosA = 17sinB ≥ -17

S: x^2+y^2-xz-yz=0 Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0)

Мила и Женя придумали по числу и выписали на доску все натуральные делители своих чисел.Мила написала 10 чисел,женя-9,а число 6 оказалось написано дважды .сколько всего различных чисел на доске

1. Найти z, при котором выражение x^2+y^2 достигает наибольшего значения, если дана система:
x+1=z+y
xy+z^2+14-7z=0

Выделял полные квадраты, решал получилось:
x^2+y^2=-(z-6)^2+9
т.е. мой ответ 6. В ответе 5. Не понимаю где я ошибся.

2. Диагонали вписанного в окружность четырехугольника ABCD пересекаются в точке Е. Найти периметр и площадь ABC, если BC=CD=6, AB=7, CE=3.
Тут ничего в голову не приходит. Может дадите подсказку?

Найти минимум выражения sqrt(169x^2-676x+169y^2-676y+1352) +sqrt(169x^2-156x+169y^2-182y+85) при условии 39у-26х+69=0
Выделял полные квадраты под корнями, а что делать дальше ума не приложу: sqrt((x-2)^2+(y-2)^2)+sqrt((x-6\13)^2+(y-7\13)^2), множитель 13 убрал.

Появилась еще одна задача из серии похожих. Решить систему:
sqrt(4x^2+4y^2+28x-60y+274)+sqrt(4x^2+4y^2-44x+36y+220)-30=0
2xy-15x+12=0
Полные квадраты опять под корнями выделяются, а что дальше???