Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0)

S: x^2+y^2-xz-yz=0 Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0)

В качестве вектора нормали можно взять градиент функции, стоящей в левой части уравнения. Он же будет нормальным вектором касательной плоскости.

Не имею возможности ответить TC, поэтому напишу сюда)

Для нормали тоже нужно уравнение? Что тогда под нормалью понимается, вся прямая чтоли? Обычно нормаль — это какой-нибудь единичный вектор, перпендикулярный касательной плоскости.

Вам ещё надо проследить, чтобы точка M0 лежала на S. При этом в случае M0 = (0; 0; 0) требуется сказать ещё некоторые слова, в этой точке поверхность перестаёт быть регулярной.

Да, и не только в (0,0,0). На прямой x+y=0 уходит в бесконечность.
В полярных координатах [m]z=\frac{r}{\cos(\phi-\pi/4)}[/m]
Как следствие формулы, образующие — прямые, выходящие из начала координат.
То есть это — коническая поверхность, и любая касательная плоскость будет соприкасаться с ней вдоль одной из этих прямых, по обе стороны от начала.
За исключением самого начала, это да.

Совсем не понял, что Вы имеете в виду. Кто уходит в бесконечность на прямой x + y = 0 и зачем это вообще надо смотреть?

У функции в левой части дифференциал вырождается только в точке (0; 0; 0), которая лежит на S. В окрестности любой другой точки поверхность регулярна.

[m]z\to\infty[/m], если: [m]x+y\to 0[/m], [m]x\ne 0[/m]

Да, но это совершенно никакого отношения к вопросу не имеет. Почему Вы об этом заговорили?

Соглашусь, Вы правы.
Я рассматривал z как ф-цию x,y. Впрочем, этот подход позволил понять, что поверхность коническая, а след-но, соприкосновение происходит не в одной точке, а по всей прямой, с выколотой точкой.

Дана точка M0 с положительными координатами (X0 ,Y0 ,Z0 ) (X0>0,Y0>0,Z0>0). Через точку M0 проведена плоскость. Найти наименьший возможный объем треугольной пирамиды, ограниченной этой плоскостью и координатными плоскостями.

z=x*y^2 в т.М(1;2;4)

записать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности z=f(x,y) в заданной точке А.

z=x^2/y+x A(2,2,1)

4*x^2+2*y^2+4*z^2-x*y+3*x*z+3*y*z-x+3*y+3*z=0
В точке(x0=5,yo=3,z0=1)

найти уравнение касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке М0(х0,у0,z0)
S: x^2+y^2+z^2+6z-4x+8=0 M0(2,1,-1).

найти величину и направление градиента данной функции f(x,y,z) в точке М0(x0,y0,z0)
f(x,y,z)=(z)/(корень квадратный из (x^2)+(y^2)), M0(0,-1,1)

подскажите пожалуйста ход решения