👍 +1 👎 |
Уравнение касательной плоскости и нормалинайти уравнение касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке М0(х0,у0,z0)
S: x^2+y^2+z^2+6z-4x+8=0 M0(2,1,-1).
стереометрия геометрия математика обучение
Алленова Елена
|
👍 +2 👎 |
Решение:
S: f=x^2+y^2+z^2+6z-4x+8=0 M0(2,1,-1). df/dx=2x-4 df/dy=2y df/dz=2z+6 df/dx(M0)=2*2-4=0 df/dy(M0)=2*1=2 df/dz(M0)=2*(-1)+6=4 Уравнение касательной плоскости: 0*(х-2)+2(у-1)+4(z+1)=0 2y+4z+2=0 Уравнение нормали: (x-2)/0=(y-1)/2=(z+1)/4 Верно ли решение? |
👍 0 👎 |
Сначала мне показалось, что что-то не то.
Стал писать ответ, но пока писал и проверял, вроде бы всё сошлось. "В малом", в маленькой окрестности точки M0, поверхность и касательная плоскость должны "совпадать", хорошо прилегать друг к другу. Должны совпадать все их частные производные первого порядка. Для поверхности Вы ввели обозначение f. Давайте для плоскости, которая у Вас получилась, 2(у-1)+4(z+1)=0 введём обозначение P: P=2(у-1)+4(z+1)=0. Тогда dP/dx=0 dP/dy=2 dP/dz=4 Да, все производные совпали. Через точку M0(2,1,-1) плоскость проходит, значит уравнение касательной плоскости составлено правильно. |
👍 0 👎 |
а уравнение нормали правильно???
|
👍 +1 👎 |
(x-2)/0=(y-1)/2=(z+1)/4???
или его записать в таком виде (y-1)/2=(z+1)/4 |
👍 0 👎 |
... при х=2
|
👍 +2 👎 |
Если уравнение записать в виде (y-1)/2=(z+1)/4, то это будет ОДНО
уравнение. Одно уравнение задаёт в трёхмерном пространстве плоскость. Нормаль — это прямая линия. Прямую линию в пространстве нельзя задать одним линейным уравнением. Поэтому уравнений должно быть два, каждое задаёт какую-то плоскость, в пересечении двух плоскостей и получается прямая. Можно добавить уравнение x=2. Можно оставить, как у Вас было первоначально. На ноль делить нельзя. Но в учебниках по аналитической геометрии встречается именно такая запись. Её можно рассматривать как условную запись, понимать как x-2=0 или x=2. |
👍 0 👎 |
Значит оставляем как есть))
|
👍 +4 👎 |
Если интересно, то ваша задача легко решается без привлечения матанализа — методами одной лишь аналитической геометрии.
Выделяя полные квадраты, запишем уравнение поверхности в виде: [m](x-2)^2+y^2+(z+3)^2=5[/m]. Это сфера с центром в точке [m]C(2,0,-3)[/m]. Искомой нормалью будет прямая [m]CM_0[/m] с направляющим вектором [m]\overrightarrow{CM_0}=(0,1,2)[/m]. Отсюда сразу получаем канонические уравнения нормали: [m]\frac{x-2}{0}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+1}{2}[/m]. Вектор [m]\overrightarrow{CM_0}[/m] является в то же время нормальным вектором касательной плоскости. Следовательно, уравнение этой плоскости будет иметь вид: [m]0\cdot x+1\cdot y+2\cdot z+d=0[/m]. Свободный член [m]d[/m] находим, подставляя в данное уравнение координаты точки [m]M_0[/m]. Получим [m]d=1[/m], откуда искомое уравнение плоскости: [m]y+2z+1=0[/m]. |
👍 +1 👎 |
при помощи мат анализа у меня получилось уравнение нормали:
(x-2)/0=(y-1)/2=(z+1)/4 А вашим методом [m]\frac{x-2}{0}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+1}{2}[/m] они разные так какое правильно? |
👍 +2 👎 |
Они одинаковые. Ваши уравнения имеют вид a=b=c, а мои получаются из ваших умножением на 2: 2a=2b=2c.
|
👍 +1 👎 |
ааа)))понятно.спасибо
|
👍 0 👎 |
Поверхность задана уравнением x^2+y^2. Требуется составить уравнение касательной к плоскости в точке М(1.1.2)
|