Уравнение касательной плоскости и нормали

найти уравнение касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке М0(х0,у0,z0)
S: x^2+y^2+z^2+6z-4x+8=0 M0(2,1,-1).

Решение:
S: f=x^2+y^2+z^2+6z-4x+8=0 M0(2,1,-1).
df/dx=2x-4
df/dy=2y
df/dz=2z+6

df/dx(M0)=2*2-4=0
df/dy(M0)=2*1=2
df/dz(M0)=2*(-1)+6=4

Уравнение касательной плоскости:
0*(х-2)+2(у-1)+4(z+1)=0
2y+4z+2=0

Уравнение нормали:
(x-2)/0=(y-1)/2=(z+1)/4
Верно ли решение?

Сначала мне показалось, что что-то не то.
Стал писать ответ, но пока писал и проверял, вроде бы всё сошлось.

"В малом", в маленькой окрестности точки M0, поверхность
и касательная плоскость должны "совпадать", хорошо прилегать друг к
другу. Должны совпадать все их частные производные первого порядка.

Для поверхности Вы ввели обозначение f.
Давайте для плоскости, которая у Вас получилась, 2(у-1)+4(z+1)=0
введём обозначение P: P=2(у-1)+4(z+1)=0.
Тогда
dP/dx=0
dP/dy=2
dP/dz=4
Да, все производные совпали. Через точку M0(2,1,-1) плоскость проходит,
значит уравнение касательной плоскости составлено правильно.

а уравнение нормали правильно???

(x-2)/0=(y-1)/2=(z+1)/4???
или его записать в таком виде
(y-1)/2=(z+1)/4

... при х=2

Если уравнение записать в виде (y-1)/2=(z+1)/4, то это будет ОДНО
уравнение. Одно уравнение задаёт в трёхмерном пространстве плоскость.

Нормаль — это прямая линия. Прямую линию в пространстве нельзя задать
одним линейным уравнением. Поэтому уравнений должно быть два, каждое
задаёт какую-то плоскость, в пересечении двух плоскостей и получается
прямая.

Можно добавить уравнение x=2.

Можно оставить, как у Вас было первоначально. На ноль делить нельзя.
Но в учебниках по аналитической геометрии встречается именно такая
запись. Её можно рассматривать как условную запись, понимать как x-2=0
или x=2.

Значит оставляем как есть))

Если интересно, то ваша задача легко решается без привлечения матанализа — методами одной лишь аналитической геометрии.

Выделяя полные квадраты, запишем уравнение поверхности в виде:

[m](x-2)^2+y^2+(z+3)^2=5[/m].

Это сфера с центром в точке [m]C(2,0,-3)[/m].

Искомой нормалью будет прямая [m]CM_0[/m] с направляющим вектором [m]\overrightarrow{CM_0}=(0,1,2)[/m]. Отсюда сразу получаем канонические уравнения нормали:

[m]\frac{x-2}{0}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+1}{2}[/m].

Вектор [m]\overrightarrow{CM_0}[/m] является в то же время нормальным вектором касательной плоскости. Следовательно, уравнение этой плоскости будет иметь вид:

[m]0\cdot x+1\cdot y+2\cdot z+d=0[/m].

Свободный член [m]d[/m] находим, подставляя в данное уравнение координаты точки [m]M_0[/m]. Получим [m]d=1[/m], откуда искомое уравнение плоскости:

[m]y+2z+1=0[/m].

при помощи мат анализа у меня получилось уравнение нормали:
(x-2)/0=(y-1)/2=(z+1)/4
А вашим методом
[m]\frac{x-2}{0}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+1}{2}[/m]
они разные так какое правильно?

Они одинаковые. Ваши уравнения имеют вид a=b=c, а мои получаются из ваших умножением на 2: 2a=2b=2c.

ааа)))понятно.спасибо

Помогите с решением.
Поверхность задана уравнением x^2+y^2. Требуется составить уравнение касательной к плоскости в точке М(1.1.2)