Найти минимум при условии

Найти минимум выражения sqrt(169x^2-676x+169y^2-676y+1352) +sqrt(169x^2-156x+169y^2-182y+85) при условии 39у-26х+69=0
Выделял полные квадраты под корнями, а что делать дальше ума не приложу: sqrt((x-2)^2+(y-2)^2)+sqrt((x-6\13)^2+(y-7\13)^2), множитель 13 убрал.

Как я понял, задача состоит в том, что нужно найти минимум функции z=sqrt(169x^2-676x+169y^2-676y+1352) +sqrt(169x^2-156x+169y^2-182y+85) при условии 39у-26х+69=0. Выражаем из 39у-26х+69=0 х или y и подставляем в z. Получаем функицию одной переменной. Дальше, найти минимум — тривиальное дело: каждое выражение под корнем должно быть больше либо равно нулю — это О.Д.З, далее смотрим как ведёт себя z.

А как я понял, речь идет о поиске на прямой

3y-2x=-69/13

точки, сумма расстояний которых до двух точек : А(2,2) и В(6/13,7/13) минимальна. Вообще-то это задача по геометрии для 7-го класса.

Какие же у Вас одарённые семикласники, Игорь Владимирович! Даже завидно стало)))

Хочу заметить, что задачи вроде:

"Найти место на прямом шоссе, где должен быть расположен магазин, в который заходит местный житель по дороге на рыбалку при том, что, кроме шоссе, в этой местности нет дорог, а есть только направления. Рассмотреть два случая :
а) шоссе между домом и речкой ;
б) дом и речка по одну сторону от шоссе"

присутствуют в программе ШЕСТОГО класса

Завтра у меня на уроке будет семиклассник (у них в школе как раз проходят графики линейных функций). Попробую предложить ему задачу в своей формулировке и расскажу, что получится.

Такой вариан очень сомнителен, так как явно сказанно "найти минимум выражения sqrt......". Мне кажется, речь идёт о поиске условного экстремума поверхности z(x,y) на плоскости 3y-2x=-69/13.

Не понимаю, в чем Ваши сомнения. Вы что, не видите, что корни в выражении для z(x,y) — это расстояния между двумя точками ???

Это ежу понятно. Более того, если здесь ещё был метрический тензор, я бы вам геодезическую выписал. Мои сомнения состоят не в решении, а в подходе. Мне кажется, эта задача по анализу функции 2-х действительных переменных, и преподаватель который её дал потребует решение без привлечения аналитической геометрии.

А по-моему, это задача по аналитической геометрии. Специально для любителей умножать сущности переформулируем ее так :

"Найти уравнение эллипса с фокусами в точках А и В, который касается заданной прямой L".

Удивительно, но в задачниках по аналитической геометрии такого, похоже, нет.

ИМХО, если считать как условный экстремум — получится громоздко.

Брависсимо, Игорь Владимирович!

Алексей Алексеевич, Вы меня, наверное, покритиковали минусом за поддержку метода Игоря Владимировича. Но Вы же тоже упрощаете задачу на условный экстремум, сведя её к задаче на исследование функции одной переменной. А почему тогда не по Лагранжу?
Мне просто понравилась красота и простота решения в подходе, предложенном Игорем Владимировичем. В контексте того, что уже начал делать Илья Немцов, это очень понятное и доходчивое объяснение. А уж предполагать, что требовалось и как,- это задача постановщика задачи. По условию задачи очень похоже, что речь идет об "условном экстремуме". Но вполне вероятно, что задача вообще школьно-олимпийская, и решаться должна вовсе бз производных (тем более частных!), а здесь остроумие и наблюдательность в цене.

Мне тоже очень понравился метод, предложенный Игорем Владимировичем. Откуда уверенность что я минус поставил?
Метод Лагранжа здесь не рационально использовать, т.к. есть ограничения, наложенные О.Д.З. Поэтому я и предложил свести к функции одной переменной. Это стандартный подход к таким задачам.

А вот когда выписанная О.Д.З. ничего не даёт — тогда уже нужно пускать в ход метод Лагранжа.

Это действительно школьно-олимпиадная задача 10-112 класс. И совсем точно без производных. Олимпиада не чисто математическая, а физико-математическая. Составитель-Новосибирский университет.

10-11 класс

А где же умненькие семиклассники? А то я уже получил новую задачу, а с этой не справился.

Извините за позднюю информацию о занятии с семиклассником. Сразу оговорюсь, что этот ребенок пришел не из Компании. Несмотря на то, что у него есть реальные шансы на поступление в 239 с сентября, мальчик далеко не "звездный". Однако получасовое общение с ним по поводу похожей задачи скорее можно записать ему в актив. Были предложены две задачи :

1. Найти на прямой

у=2х-1

точку, сумма расстояний которой до точек А(3,2) и В(-3,1) минимальна.

2. То же, если В(3,5).

Первая задача прошла совершенно таранно менее чем за 10 минут. Постановка задачи была очевидна, проблем с написанием уравнения второй прямой и решением системы линейных уравнений не было никаких. Правда, само уравнение прямой, проходящей через две точки, было написано буквально "по клеточкам", но зато абсолютно верно.

Со второй задачей было заметно хуже. Во-первых, метод зеркальной симметрии несчастный ребенок вспоминал минут пять. Во-вторых, точку, симметричную А относительно прямой, он, конечно, нашел, но слова, которые при этом произносились, имели мало общего с реальностью. Пришлось минут 5 потратить на ликбез по этому поводу. Более сложная линейная система с дробным ответом была правильно решена с третьей попытки.

В целом мальчику такое времяпрепровождение очень понравилось, тем более что в качестве заранее оговоренного спецприза он унес домой честно заработанный ананас. Думаю, что он готов к следующим подвигам.

речь идет о поиске на прямой

3y-2x=-69/13

точки, сумма расстояний которых до двух точек : А(2,2) и В(6/13,7/13) минимальна.
Так это хорошо известная задача по физике, точнее по оптике: угол падения равен углу отражения.
В одной точке находится глаз, из которого исходит луч, попадает на зеркало 3y-2x=-69/13и отражается в другую точку. Решением задачи является расстояние от одной точки до зеркального изображения другой точки. Вторую точку передвинул в начало координат. Тогда координаты глаза (20/13; 19/13), а координаты зеркального изображения(24/13;-36/13). Осталось найти расстояние между этими точками: sqrt(3041).

Полный квадрат во втором корне выделяется только при 202. И тогда Игорь Владимирович абсолютно прав — это уравнение отрезка. Тогда исходная задача равносильна следующей-решить систему:
8х+6у=17,
2ху-15х+12=0, при условии, что х и у лежат в пределах отрезка. Далее арифметика.

Спасибо за исправленную арифметическую ошибку.

До ВМК МГУ эта задача была в МГЛУ.

Появилась еще одна задача из серии похожих. Решить систему:
sqrt(4x^2+4y^2+28x-60y+274)+sqrt(4x^2+4y^2-44x+36y+220)-30=0
2xy-15x+12=0
Полные квадраты опять под корнями выделяются, а что дальше???