СПРОСИ ПРОФИ
👍
+4
👎 410

Найти четырёхзначное число, равное четвёртой степени суммы своих цифр

Вот совсем детская задачка, но, может быть, кому-нибудь будет полезна?
Найти четырёхзначное число, равное четвёртой степени суммы своих цифр.
интересные задачки математика обучение     #1   09 мар 2012 15:33   Увидели: 55 клиентов, 3 специалиста   Ответить
👍
0
👎 0
спасибо, Антон Маркович за задачу!
заношу ее в свою коллекцию (надеюсь, как и другие коллеги в свою)
👍
0
👎 0
"Квант", 1980г. , ох, прямо ностальжииииииииии...
👍
+2
👎 2
сопутствующие задачи:
а)Найдите трёхзначное число, равное кубу суммы его цифр.
б) Существует ли пятизначное число, равное пятой степени суммы его цифр?
(автор Ф.Бартенев)
👍
+2
👎 2
В ту же степь — найти все числа, равные сумме факториалов своих цифр.
  #5   29 мар 2012 17:32   Ответить
👍
0
👎 0
суперкрасиво по постановке!

(вот надо же — пропустил эту задачу, ну, разность времени 29марта — 9марта)

Уважаемые преподаватели, хотелось бы ознакомиться с вашими предложениями по решению.
👍
+4
👎 4
К сожалению, не вижу зацепок, кроме как некоторых фактов, упрощающих перебор. У меня есть версия, что задающий задачу забыл какое-то условие, скажем, на число цифр числа... Но я не поленился и сделал перебор. Ответы: 40585, 145, 1, 2.
Предположим, что есть 9.
Тогда сумма факториалов цифр, а значит и само число, не менее 362800.
Восьмизначным и более число быть не может, поскольку [m]10^{n-1}>362800*n[/m] при n>7.
Пусть оно семизначное. Тогда либо 9ок не менее 3, т.к. 9!*2+8!*5<10^6
9!*3 = 1088640, 9!*4 = 1451520, 9!*5 = 1814400, 9!*6 = 2177280, 7 девяток быть не может, т.к. первая цифра 1 или 2.
Если девяток 6, то первая цифра 2, вторая 1 или 2, но никак не 9. Противоречие.
Если девяток 5, то первая цифра заведомо 1. Тогда оставшийся факториал должен 1814401 превратить в число с 9 на конце (но факториалы на 8 не кончаются), либо в число 199999a, но это больше чем 8!.
Если девяток 4, то первая цифра заведомо 1, вторая — 4 (9!*4+1+8!+5! <1500000), так что прибавление одного факториала к 1451545 должно дать число с 4 девятками. Ясно, что 24 слишком мало, поэтому нужен факториал не меньше 47000, но это больше 8!.
Если девяток 3, то первая цифра 1, вторая — 0, 1 или 2, но 2 отметается, т.к. среди цифр не более 2 восьмерок.
Значит к 1088641 надо добавить еще 2 факториала и получить число с тремя девятками. 9 на конце мы получить не сможем, т.к. нет факториалов, кончающихся на 8, а 24+24 или 2+6 сразу отметаются.
Предположим, что одна из двух этих цифр больше 4. Тогда последняя цифра может остаться 1, тогда 1088642 + факториал должно заканчиваться на 1, что невозможно. Последняя цифра может стать 3, что отметается тем же путем. Может стать 7. Тогда оставшиеся цифры 3 и 7, что не подходит. Аналогично цифра 5 на конце означает, что оставшиеся две цифры 5 и 4, что тоже не подходит.
Значит обе оставшихся цифры не больше 4, но тогда сумма лежит между
1088643 и 1088800, то есть трех девяток там нет.

Значит число не более чем шестизначно. Если в нем все-таки есть девятка, то их 1 или 2. В первом случае число будет лежать между
362800 и 9!+5*8!=564800. При этом первая цифра будет 3, 4 или 5. Если первая цифра 5, то среди оставшихся цифр не более 3 восьмерок (5!+9!+4*8! не кончается на 8). На даже 9!+3*8!+5!+7!<500000. Так что первая цифра либо 3 или 4. Пусть 4. Тогда восьмерка среди цифр точно есть.
9!+8!+4! = 403224. Пусть восьмерок 3. Тогда 9!+8!*3+4! = 483864. К этому числу нужно добавить один факториал и получить число с тремя восьмерками и девяткой. На конце 9 возникнуть не может, 8 может возникнуть только при добавлении 24, но это нам не подходит. Значит надо добавить не менее 4000, то есть 7! Не подходит.
Пусть восьмерок 2. Тогда 9!+8!*2+4! = 443544. Два факториала должны сделать число с 9 и двумя восьмерками. Но вторую цифру не изменишь даже при 7!+7!, т.ч. один из них будет 4!. Имеем 443568. Но к этому числу надо добавлять 7!, чтобы сделать нужной третью цифру, что опять же не подходит.
Пусть восьмерок 1. Тогда 9!+8!+4! = 403224. Вторая цифра при этом останется 0 или станет 1, если будет хотя бы два 7!. 7!*2+8!+1!+9!+4! отметаем, значит 0. Имеем 9!+8!+4!+0! = 403225. Если там поучаствует 7!, то будет 408625. Последняя цифра не изменится, если только не добавлять не более 24, но тогда будет 6 на 4ой позиции, а 6 быть уже не может. Значит надо добавлять 5!, что опять же не подходит, нет девятки. Значит 7! там нет и будет третья цифра 3, 4 или 5. Случай 5 отметается, т.к. это бывает только если цифры 9, 8, 0, 6, 6, 6, что противоречит 5. Значит 3 или 4. Пусть 3. Тогда к 403231 надо добавить факториал и получить число с 9 и 8. Но это может быть только 6!, т.к. последняя цифра точно не 8 или 9, а третья станет одно из них только при 6!. 6! нам не подходит.
Остается случай, когда одна девятка, а восьмерок там вообще нет.
9!+3!=362886, 9!+3!+4*7! = 383046. Восьмерка нам не подходит, значит вторая цифра 6 или 7. Пусть 6.
9!+3!+6!=363606. Либо там есть 7!, тогда 9!+3!+6!+7!=368646. Третья цифра не должна быть 8, значит среди двух оставшихся цифр обязательно есть еще 6. Получаем 369366, из которого 7 можно получить только добавив 1, что не подходит.
Пусть вторая цифра 7. Тогда там минимум две 7. 9!+7!+3!+7!=372966. Либо там есть еще одна 7, тогда 9!+3!+7!+7!+7! = 378006, что не подходит, т.к. там есть 8. Значит больше 7 нет, а значит третья цифра будет не больше 3. Пусть 2. Тогда 9!+3!+7!+7!+2! = 372968, надо добавлять 6 или 2, но оба не подходят. Значит 3. Тогда 9!+3!+7!+7!+3! = 372972 и нужно добавлять 5 или 6, чтобы сделать тройку третьей. Оба не подходят.

УРА! Доказано, что девяток нет. Докажем, что тогда число от силы пятизначно. Пусть 6значно. Тогда восьмерок минимум 3, т.к. 8!*2+7!*4 начинается на 1, а 8!*2+7!*3+1<10000. Первая цифра либо 1, либо 2. Пусть 2. Тогда 8 нужно пять, т.к. 8!*4+7!+2<20000. Этот случай сразу отметается- последняя цифра не 8. Значит первая цифра 1 и получаем 8!*3+1 = 120961. Если есть еще 8, то получаем 161 281, которое не очень-то годится, т.к. вторая цифра будет 6, а 8!*4+1+6! не такое, какое нам нужно. Значит больше восьмерок нет и вторая цифра 2. Значит 2!+1+8!*3(=120963) + чей-то факториал должно содержать три восьмерки. Но это не выйдет, т.к. ни последняя, ни третья цифра точно не 8.

Итак, значит наше число не более чем пятизначно. Пусть пятизначно и в нем есть 8. Пусть восьмерок 2. Тогда 8!*2 = 80640. Пусть есть 7. Тогда 8!*2+7! = 85680. Больше семерок быть не может и вторая цифра будет либо 5, либо 6. Пусть 6. Тогда 86400+ чей-то факториал содержит среди последних трех цифр 8 и 7. Это не последняя цифра и не третья, приходим к противоречию. Значит вторая цифра 5. 85800 нам тоже не очень-то, поскольку 7 решительно неоткуда взять. Значит семерок нет, а значит вторая цифра 0 или 1. Пусть 1. Значит есть 6. Имеем 81361 + чей-то факториал. Но там никак не выходит 8 и 6, т.к. последняя цифра точно не 8 и не 6 и третья тоже.

Итак, значит восьмерка бывает только 1, 8!=40320. Первая цифра итогового числа будет 4 или 5. Пусть 5. Тогда есть две семерки. Имеем 50520. Последняя цифра не 8, не 7, предпоследняя тоже. Не сошлось. Значит 4. Если 7 все же есть, то имеем 8!+7!+4! = 45384. Вторая цифра 5 или 6. Если 6, то 46104 плюс факториал содержит 7 и 8, что опять же не получится, т.к. последняя цифра может быть 8 только при прибавлении 4!, что не подходит. Но вторая с конца тоже не 7 и не 8. Значит, вторая цифра 5 и имеем 45504. Те же проблемы. Значит семерок нет. Тогда 8!+4!=40344. Вторая цифра 0 или 1. Если 1, то есть 6, имеем 8!+4!+6!+1 = 41065. Но 8 и 6 сюда не вставить, третья цифра точно не 8 и не 6, последняя 6 только при добавлении 1, что не подходит. Значит вторая цифра 0. 8!+4!+0! = 40345. Третья цифра 3, 4 или 5, причем 5 только если две пятерки. Подставляем, видим, что 8!+4!+0!+5!+5! = 40585. Получилось! Если третья цифра 4, то есть одна пятерка, имеем 40489. Но теперь этой пятерке негде возникнуть. Остается третья цифра 3. Тогда 40351. Добавленный факториал должен создать 8, но это никак невозможно.

Итак, с 8 бывает только одно такое число — 40585.

Пусть 8 нет, но число 5значное. Тогда 7 не менее 2. 7!*2 = 10080. Пусть первая цифра не 1. Тогда 7 четыре. 7!*4+2 = 20162, не подходит. Значит первая цифра 1. Если есть еще 7, то число 15121. Оставшаяся цифра должна сделать три семерки, но на второе место 7 не сделать, значит 7 на последнем, а значит последняя цифра 3. Не сходится. Значит семерок ровно 2, 7!*2+1 = 10081. Вторую цифру можно изменить только двумя шестерками, что не подходит по последней цифре, значит вторая цифра 0. Но из 10082 не сделаешь числа с двумя семерками — последняя точно не 7, да и третью тоже не сделаешь 7.

Итак, число не более чем из четырех знаков. Пусть 7 есть среди них. Тогда 7!=5040, первая цифра либо 5, либо 6. При этом 6 только если есть две шестерки или две пятерки и 6. Второе отметаем сразу, т.к. 6000 не подходит, значит есть две шестерки. Получаем 6480. За оставшееся число нам надо сделать 7 и 6 на двух из трех последних мест, что не получается — последняя 6 нам не подходит, а предпоследнюю ни тем, ни тем не сделаешь. Значит первая цифра 5. 7!+5! = 5160. Вторая цифра железно не 7. Последняя семь только если 1+6, что не подходит. Значит нужно получить 5?7?. Цифры десятков в двух оставшихся факториалах при этом в сумме должны дать 0 или 1. Это возможно только если складывать два однозначных числа, при этом цифры десятков дадут в сумме 1, значит цифры единиц должны дать не меньше 10, то есть это 6 и 6. Не подходит. Вывод — семерок тоже нет. Раз семерок нет, то первая цифра 1 или 2. Если 2, то в число входит 3 шестерки и двойка. Убеждаемся, что не наш случай. Пусть 1. Тогда есть 1 и две 6, 1!+6!+6! = 1441. Шестерку сделать на двух местах нельзя, т.к. последняя цифра не 6 никак, а 22? добавить нельзя. Значит четырехзначных чисел не бывает.

Пусть наше число трехзначно. Если среди цифр есть 6, то первая цифра будет 7 или более, чего не бывает. Значит первая цифра 3 (если все цифры 5, что не бывает), 2 (тогда цифры 5,5,2, что не подходит), либо 1. К 121 нужно добавить факториал, чтобы получить число 1?? с пятеркой. Пятерку второй получить нельзя, значит добавляем 4!, то есть получаем 145. Подходит.

Остаются двухзначные и однозначные числа. Двухзначные должны состоять только из цифр 1,2,3,4. Если цифры 4 нет, то единственный вариант 3!+3!, но это не 33. Если есть 4, 48 не 44, 30 не из цифр 4,3, 26 не из цифр 4 и 2, а 25 — не из 4 и 1.

Однозначные очевидно подходят только когда это 1 или 2.
👍
0
👎 0
Александр Викторович,
просто великолепно!

снимаю шляпу
👍
−2
👎 -2
У меня есть версия, что задающий задачу забыл какое-то условие, скажем, на число цифр числа... — версия неверная, задающий задачу ничего не забыл и понимает геморройность перебора.

Собственно, задача потому и дана, что исходная задача из №17 не намного легче в плане перебора.
  #9   20 май 2012 01:34   Ответить
👍
−1
👎 -1
Если ее (задачу из №17) прочитать неправильно "равное сумме четвертых степеней своих цифр" :)
  #10   20 май 2012 01:39   Ответить
👍
0
👎 0
0000- уж и не знаю можно ли это считать числом , но 0+0+0+0 = 0; а нуль в 4 степени равен нулю!

Задайте свой вопрос по математике
профессионалам

Сейчас онлайн 75 репетиторов по математике
Получите ответ профи быстро и бесплатно

Другие вопросы на эту тему:

👍
+3
👎 33

Задача про котлеты   3 ответа

На сковородке помещается лишь две котлеты. Каждая сторона котлеты жарится 3 минуты. За какое минимальное время можно приготовить 3 котлеты и как?
Задача простая, но предлагаю задать её вашему ребёнку на кухне. За правильное решение можно предложить приз — что нибудь вкусненькое.
👍
+1
👎 10

Около каждой вершины треугольника поставьте какое-нибудь число   0 ответов

Около каждой вершины треугольника поставьте какое-нибудь число. Напишите возле каждой стороны этого треугольника число, равное сумме чисел, стоящих у ее концов. Теперь каждое число, стоящее около вершины, сложите с числом, стоящим около противоположной стороны. Почему равны все три получившиеся суммы?
👍
+1
👎 12

Решить неравенство   2 ответа

Решить неравенство f(f(x))>=(f(x))^2, где f(x)=2*x^2-1. (b^a — b в степени a)

👍
0
👎 03

Сколько надо взять слагаемых суммы 1 + 2 + 3 +   3 ответа

Сколько надо взять слагаемых суммы
[m]1 + 2 + 3 + ...[/m],
чтобы получить трехзначное число, состоящее из одинаковых цифр?

👍
+1
👎 127

Доказать, что 1991^(1917)+1917^(1991) делится на 7…   27 ответов

Подкину своих.
1)Доказать, что 1991^(1917)+1917^(1991) делится на 7. ( ^(a) — в степени a.
2)Найти все целочисленные a, при которых разрешимо уравнение
sin(x)-sin(ax)= -2.
3)Доказать x+y+1/(xy)>=3, при x,y — положительных.
  22 авг 2012 09:30  
👍
+2
👎 227

Какая последняя цифра числа 2017 в 4207-ой степени?   27 ответов

помогите, пожалуйста ответить на вопрос
  19 окт 2010 20:04  
ASK.PROFI.RU © 2020-2022