СПРОСИ ПРОФИ
👍
+1
👎 127

Доказать, что 1991^(1917)+1917^(1991) делится на 7…

Подкину своих.
1)Доказать, что 1991^(1917)+1917^(1991) делится на 7. ( ^(a) — в степени a.
2)Найти все целочисленные a, при которых разрешимо уравнение
sin(x)-sin(ax)= -2.
3)Доказать x+y+1/(xy)>=3, при x,y — положительных.
интересные задачки математика обучение     #1   22 авг 2012 09:30   Увидели: 18 клиентов, 4 специалиста   Ответить
👍
0
👎 0
1. Спасибо!
Это не к задаче.

К задачам.
1. Вроде ясно и не ошибаюсь.
2. Вроде ясно и не ошибаюсь.
3. ... должно, конечно, получиться.
👍
0
👎 0
Гггг, задача с историческим подтекстом.
👍
0
👎 0
Есть такое))))
  #10   22 авг 2012 16:16   Ответить
👍
0
👎 0
ну, покороче не получилось:
[m]A=x+y+\frac{1}{xy}\geq x+2\sqrt{y\cdot \frac{1}{xy}}=x+2\sqrt{\frac{1}{x}}=t^{2}+2\frac{1}{t}\geq Y_{min}(t)=3[/m]
👍
0
👎 0
Куда короче?
👍
0
👎 0
[m]1991^{1917}+1917^{1991}\vdots 7[/m]

что-то сразу н епокатила...
👍
0
👎 0
Рамаль!
Как не катит?
Ищем остатки от деления 1991 на 7...
Или я ошибаюсь?
3
3*3*3 = 27 — очень хорошая цифра: 4*7 = 28
И так потихонечку.
👍
0
👎 0
ну да, потом уже увидел:
первое слагаемое дает остаток 1, второе — 6 (период по троечке — 4, по 6-ке — 1)
👍
0
👎 0
Но смотрится задачка приятно, согласитесь.
Спасибо Андрею.
👍
0
👎 0
Тогда посложнее.
1.Найти все x из промежутка [0;2pi], для которых sin(x)<=sin(2x)<=sin(3x)<=sin(4x)<=sin(5x)
2.Какую максимальную площадь может иметь четырехугольник, стороны которого последовательно равны 1-7a, 7-6a, 5 — 3a, 14a+5. Найти все a, при которых оно достигается.
  #9   22 авг 2012 13:12   Ответить
👍
0
👎 0
1. На промежутке [0, 2pi] — еще ничего. Даже можно представить.
Важно не потерять две точечки. И проверить четвертую четверть. Но, вроде это можно сделать.
А вот на все числовой оси...
Или еще лучше, каждое под модуль засадить.

2. Пока нет идей.
👍
0
👎 0
"Важно не потерять две точечки."
- и еще 2-е:
[m]0,\frac{\pi }{10},\pi,2\pi[/m]

"2. Пока нет идей."
- воспользуйтесь утверждением:
Пусть [m]a,b,c,d[/m] последовательные стороны 4-х угольника. Доказать, что если S — его площадь, то [m]S\leq (ac+bd)/2[/m], причем равенство имеет место только для вписанного 4-х угольника, диагонали которого перпендикулярны.
👍
0
👎 0
2. Ну, так-то совсем просто.

Откуда pi/10? Вряд ли. Для нахождения граничных точек первого интервала [0, p], точка 0 получается хорошо, надо рассмотреть равенство sin(4x)=sin(5x), и, вроде получается другая точка.

И еще надо рассмотреть интервал [3/4pi, 2pi]. Например, при x=5/3pi, sin(x)=sin(2x) и точечки ложатся на круг весьма мило. Это определит большую граничную точку интервала. Да, сейчас дошло, и меньшую. Так что она единственна.

Итак, ответ должен вроде быть таким:
[0, pi/9], pi, 5/3pi, 2pi.

Если ошибся, Рамиль — извините пожалуйста, это устный счет. Лень писать.
👍
0
👎 0
"Итак, ответ должен вроде быть таким:
[0, pi/9], pi, 5/3pi, 2pi."

- по-видимому, так. Я не решал задачу, просто устно прикольнул к Вашим "2-м точечкам" еще парочку (обе точки входят в Ваше решение).
👍
0
👎 0
Рамиль, о чем речь.
Тоже не решал.
Тоже только прикинул.

Вообще, если представить себе как ведут себя девочки, если рядом пи-пололам или три четверти пи-пополам — дух захватывает. Такое вытворяют.
👍
0
👎 0
получилось так:
[m]a=\frac{4k+1}{4m-1}=-1 при k=m=0[/m]

[m]при a=-1, x=-\frac{\pi }{2}[/m]

наверно, еще есть решения?
👍
0
👎 0
там была кириллица, убираю:

[m]a=\frac{4k+1}{4m-1}=-1 (k=m=0)
a=-1 x=-\frac{\pi }{2}[/m]
👍
0
👎 0
подправим:

[m]a=\frac{4k+1}{4m-1}=-1 (k=m=0)[/m]

та ким образом:
[m]a=-1 x=-\frac{\pi }{2}[/m]
👍
0
👎 0
ну, еще раз подправим:

[m]a=\frac{4k+1}{4m-1}=-1[/m] при [m]k=m=0[/m]

таким образом:
при [m]a=-1[/m] [m]x=-\frac{\pi }{2}[/m]
👍
0
👎 0
Рамиль, вот ведь, хотел придраться, но вовремя посмотрел, что речь идет о целочисленных решения.
Но придраться все же получилось!!!
Ура, ура, ура!
(Вот так вот Вам)

k=2, m=1 и a=3
👍
0
👎 0
ответ к первой задаче промежуток [0; pi/9] и 3 точки pi, (5/3)pi, 2*pi
  #22   22 авг 2012 19:05   Ответить
👍
0
👎 0
Да, отличная задача!
Даже не думал, что так хороша!
С удовольствием помучился.
И простенькая и достаточно красивая.
Спасибо.

Только, одна из точек не (5/3)pi, а (3/5)pi и находить ее — одно удовольствие.
Еще раз спасибо.
👍
0
👎 0
(5/3)pi — это точно
  #24   22 авг 2012 20:35   Ответить
👍
0
👎 0
Андрей, ну что Вы.
Нельзя же понимать все так буквально!
Конечно (5/3)pi. И, кстати, уточнять что это за точка — одно удовольствие.
Точки на круге ведут себя довольно занимательно.
👍
0
👎 0
Сорри, а так вообще суперская задача, ее хорошо достаточно продвинутым ученикам давать, развивает хорошее понимание тригонометрии.
  #26   22 авг 2012 20:52   Ответить
👍
0
👎 0
Задача — очень хорошая.
Сбалансированная.
Не слишком сложная достаточно непростая.
И, может быть самое главное — не искусственная, как это обычно в задачах, требующих подобного исследования (подобные задачи решать — часто просто противно).
Даже хороший ученик может чего-нибудь проспать.
Ура составителю.
И ему и Вам — большое спасибо.

Один важный момент — задачу надо решать не торопясь. Целых три неожиданных изолированных точки, особенно труднонаходимая — в четвертой четверти.
Сам не знаю, как на нее вывалился.
👍
0
👎 0
Составителя точно не скажу, но ее давали на устном на мехмате в 2000 году.
  #28   22 авг 2012 22:42   Ответить

Задайте свой вопрос по математике
профессионалам

Сейчас онлайн 75 репетиторов по математике
Получите ответ профи быстро и бесплатно

Другие вопросы на эту тему:

👍
+2
👎 21

Доказать, что если два угла треугольника связаны равенством   1 ответ

Доказать, что если два угла треугольника связаны равенством
[m]\sin A + \sin B = \cos A + \cos B[/m]
то треугольник прямоугольный.
👍
+1
👎 12

Решить неравенство   2 ответа

Решить неравенство f(f(x))>=(f(x))^2, где f(x)=2*x^2-1. (b^a — b в степени a)

👍
+4
👎 410

Найти четырёхзначное число, равное четвёртой степени суммы своих цифр   10 ответов

Вот совсем детская задачка, но, может быть, кому-нибудь будет полезна?
Найти четырёхзначное число, равное четвёртой степени суммы своих цифр.
👍
0
👎 01

Доказать, что из 25 различных положительных чисел можно выбрать два таких   1 ответ

Доказать, что из 25 различных положительных чисел можно выбрать два таких числа, что ни одно из оставшихся не равно ни сумме, ни разности (между большим и меньшим) выбранных чисел.
👍
+1
👎 15

Сравнить (Pi) ^ (e) и е ^ (Pi). Сравнить sin cos1 и cos sin1.   5 ответов

И от меня парочка.
1.Сравнить (Pi) ^ (e) и е ^ (Pi)
2.Сравнить sin cos1 и cos sin1
3.Сравнить 2^(1/200) и 1,006
4.Через точку А внутри окружности проводятся всевозможные хорды.Найти ГМТ середин этих хорд.
  06 сен 2012 12:41  
👍
+2
👎 227

Какая последняя цифра числа 2017 в 4207-ой степени?   27 ответов

помогите, пожалуйста ответить на вопрос
  19 окт 2010 20:04  
ASK.PROFI.RU © 2020-2022