👍 +1 👎 |
Доказать, что 1991^(1917)+1917^(1991) делится на 7…Подкину своих.
1)Доказать, что 1991^(1917)+1917^(1991) делится на 7. ( ^(a) — в степени a. 2)Найти все целочисленные a, при которых разрешимо уравнение sin(x)-sin(ax)= -2. 3)Доказать x+y+1/(xy)>=3, при x,y — положительных.
интересные задачки математика обучение
Соколв Андрей
|
👍 0 👎 |
1. Спасибо!
Это не к задаче. К задачам. 1. Вроде ясно и не ошибаюсь. 2. Вроде ясно и не ошибаюсь. 3. ... должно, конечно, получиться. |
👍 0 👎 |
Гггг, задача с историческим подтекстом.
|
👍 0 👎 |
Есть такое))))
|
👍 0 👎 |
ну, покороче не получилось:
[m]A=x+y+\frac{1}{xy}\geq x+2\sqrt{y\cdot \frac{1}{xy}}=x+2\sqrt{\frac{1}{x}}=t^{2}+2\frac{1}{t}\geq Y_{min}(t)=3[/m] |
👍 0 👎 |
Куда короче?
|
👍 0 👎 |
[m]1991^{1917}+1917^{1991}\vdots 7[/m]
что-то сразу н епокатила... |
👍 0 👎 |
Рамаль!
Как не катит? Ищем остатки от деления 1991 на 7... Или я ошибаюсь? 3 3*3*3 = 27 — очень хорошая цифра: 4*7 = 28 И так потихонечку. |
👍 0 👎 |
ну да, потом уже увидел:
первое слагаемое дает остаток 1, второе — 6 (период по троечке — 4, по 6-ке — 1) |
👍 0 👎 |
Но смотрится задачка приятно, согласитесь.
Спасибо Андрею. |
👍 0 👎 |
Тогда посложнее.
1.Найти все x из промежутка [0;2pi], для которых sin(x)<=sin(2x)<=sin(3x)<=sin(4x)<=sin(5x) 2.Какую максимальную площадь может иметь четырехугольник, стороны которого последовательно равны 1-7a, 7-6a, 5 — 3a, 14a+5. Найти все a, при которых оно достигается. |
👍 0 👎 |
1. На промежутке [0, 2pi] — еще ничего. Даже можно представить.
Важно не потерять две точечки. И проверить четвертую четверть. Но, вроде это можно сделать. А вот на все числовой оси... Или еще лучше, каждое под модуль засадить. 2. Пока нет идей. |
👍 0 👎 |
"Важно не потерять две точечки."
- и еще 2-е: [m]0,\frac{\pi }{10},\pi,2\pi[/m] "2. Пока нет идей." - воспользуйтесь утверждением: Пусть [m]a,b,c,d[/m] последовательные стороны 4-х угольника. Доказать, что если S — его площадь, то [m]S\leq (ac+bd)/2[/m], причем равенство имеет место только для вписанного 4-х угольника, диагонали которого перпендикулярны. |
👍 0 👎 |
2. Ну, так-то совсем просто.
Откуда pi/10? Вряд ли. Для нахождения граничных точек первого интервала [0, p], точка 0 получается хорошо, надо рассмотреть равенство sin(4x)=sin(5x), и, вроде получается другая точка. И еще надо рассмотреть интервал [3/4pi, 2pi]. Например, при x=5/3pi, sin(x)=sin(2x) и точечки ложатся на круг весьма мило. Это определит большую граничную точку интервала. Да, сейчас дошло, и меньшую. Так что она единственна. Итак, ответ должен вроде быть таким: [0, pi/9], pi, 5/3pi, 2pi. Если ошибся, Рамиль — извините пожалуйста, это устный счет. Лень писать. |
👍 0 👎 |
"Итак, ответ должен вроде быть таким:
[0, pi/9], pi, 5/3pi, 2pi." - по-видимому, так. Я не решал задачу, просто устно прикольнул к Вашим "2-м точечкам" еще парочку (обе точки входят в Ваше решение). |
👍 0 👎 |
Рамиль, о чем речь.
Тоже не решал. Тоже только прикинул. Вообще, если представить себе как ведут себя девочки, если рядом пи-пололам или три четверти пи-пополам — дух захватывает. Такое вытворяют. |
👍 0 👎 |
получилось так:
[m]a=\frac{4k+1}{4m-1}=-1 при k=m=0[/m] [m]при a=-1, x=-\frac{\pi }{2}[/m] наверно, еще есть решения? |
👍 0 👎 |
там была кириллица, убираю:
[m]a=\frac{4k+1}{4m-1}=-1 (k=m=0) a=-1 x=-\frac{\pi }{2}[/m] |
👍 0 👎 |
подправим:
[m]a=\frac{4k+1}{4m-1}=-1 (k=m=0)[/m] та ким образом: [m]a=-1 x=-\frac{\pi }{2}[/m] |
👍 0 👎 |
ну, еще раз подправим:
[m]a=\frac{4k+1}{4m-1}=-1[/m] при [m]k=m=0[/m] таким образом: при [m]a=-1[/m] [m]x=-\frac{\pi }{2}[/m] |
👍 0 👎 |
Рамиль, вот ведь, хотел придраться, но вовремя посмотрел, что речь идет о целочисленных решения.
Но придраться все же получилось!!! Ура, ура, ура! (Вот так вот Вам) k=2, m=1 и a=3 |
👍 0 👎 |
ответ к первой задаче промежуток [0; pi/9] и 3 точки pi, (5/3)pi, 2*pi
|
👍 0 👎 |
Да, отличная задача!
Даже не думал, что так хороша! С удовольствием помучился. И простенькая и достаточно красивая. Спасибо. Только, одна из точек не (5/3)pi, а (3/5)pi и находить ее — одно удовольствие. Еще раз спасибо. |
👍 0 👎 |
(5/3)pi — это точно
|
👍 0 👎 |
Андрей, ну что Вы.
Нельзя же понимать все так буквально! Конечно (5/3)pi. И, кстати, уточнять что это за точка — одно удовольствие. Точки на круге ведут себя довольно занимательно. |
👍 0 👎 |
Сорри, а так вообще суперская задача, ее хорошо достаточно продвинутым ученикам давать, развивает хорошее понимание тригонометрии.
|
👍 0 👎 |
Задача — очень хорошая.
Сбалансированная. Не слишком сложная достаточно непростая. И, может быть самое главное — не искусственная, как это обычно в задачах, требующих подобного исследования (подобные задачи решать — часто просто противно). Даже хороший ученик может чего-нибудь проспать. Ура составителю. И ему и Вам — большое спасибо. Один важный момент — задачу надо решать не торопясь. Целых три неожиданных изолированных точки, особенно труднонаходимая — в четвертой четверти. Сам не знаю, как на нее вывалился. |
👍 0 👎 |
Составителя точно не скажу, но ее давали на устном на мехмате в 2000 году.
|
👍 +2 👎 |
Доказать, что если два угла треугольника связаны равенством
|
👍 +1 👎 |
Решить неравенство
|
👍 +4 👎 |
Найти четырёхзначное число, равное четвёртой степени суммы своих цифр
|
👍 0 👎 |
Доказать, что из 25 различных положительных чисел можно выбрать два таких
|
👍 +1 👎 |
Сравнить (Pi) ^ (e) и е ^ (Pi). Сравнить sin cos1 и cos sin1.
|
👍 +2 👎 |
Какая последняя цифра числа 2017 в 4207-ой степени?
|