СПРОСИ ПРОФИ
👍
0
👎 04

Эйлеровы интегралы

Подскажите, пожалуйста, в каком направлении двигаться?

Определить область существования и выразить через Эйлеровы интегралы

1) [m]\displaystyle\int_0^1\dfrac{dx}{\sqrt[m]{1-x^n}}\;\;\;\;\;\;\;m>0[/m]

Выразить через Эйлеровы интегралы — жто записать так?

[m]\displaystyle\int_0^1(1-x^n)^{-m}dx[/m]

Сразу вспоминаю интеграл [m]\displaystyle\int_0^1\dfrac{dx}{x^\alpha}[/m], который сходится при [m]\alpha<1[/m]

А что еще нужно сделать?

2) [m]\displaystyle\int_0^1\dfrac{\sin^{n-1}x }{(1+k\cos x)^n} dx\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0<|k|<1[/m]

А тут с чего начать?

3) [m]\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-x^n}dx[/m]

Знаю, что при [m]n=2[/m]-- точно сходится, а как при остальных исследовать?

математика обучение     #1   13 окт 2012 22:36   Увидели: 10 клиентов, 2 специалиста   Ответить
👍
0
👎 0

[m]\displaystyle\int_0^1\dfrac{\sin^{n-1}x }{(1+k\cos x)^n} dx=\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0<|k|<1[/m]

[m]=-\dfrac{n}{k^n}\displaystyle\int_0^1\dfrac{d(1+k\cos x)^n}{(1+k\cos x)^n} dx=[/m]
[m]=-\dfrac{n}{k^n}\ln\Big(1+k\cos x\Big)^n\Bigg|_0^1=[/m]
[m]-\dfrac{n^2}{k^n}\ln\Big(1+k\cos x\Big)\Bigg|_0^1[/m]

Сходится при всех n?

  #2   13 окт 2012 23:47   Ответить
👍
0
👎 0


2) [m]\displaystyle\int_0^\pi\dfrac{\sin^{n-1}x }{(1+k\cos x)^n} dx\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0<|k|<1[/m]

[m]t=\operatorname{tg}\Big(\dfrac{x}{2}\Big)[/m]

[m]x=2\operatorname{arctg}(t)[/m]

[m]dx=\dfrac{2dt}{1+t^2}[/m]

[m]\sin x =\dfrac{2\sin\Big(\dfrac{x}{2}\Big)\cos\Big(\dfrac{x}{2}\Big)}{\sin^2\Big(\dfrac{x}{2}\Big)+\cos^2\Big(\dfrac{x}{2}\Big)}=\dfrac{2\operatorname{tg}\Big(\dfrac{x}{2}\Big)}{1+\operatorname{tg}^2\Big(\dfrac{x}{2}\Big)}=\dfrac{2t}{1+t^2}[/m]

[m]\cos x =\dfrac{\cos^2\Big(\dfrac{x}{2}\Big)-\sin^2\Big(\dfrac{x}{2}\Big)}{\sin^2\Big(\dfrac{x}{2}\Big)+\cos^2\Big(\dfrac{x}{2}\Big)}=\dfrac{1-\operatorname{tg}^2\Big(\dfrac{x}{2}\Big)}{1+\operatorname{tg}^2\Big(\dfrac{x}{2}\Big)}=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}[/m]

[m]\displaystyle\int_0^\pi\dfrac{\sin^{n-1}x }{(1+k\cos x)^n} dx=\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{\Big(\dfrac{2t}{1+t^2}\Big)^{n-1}\cdot \dfrac{2dt}{1+t^2}}{\Big(1+k\cdot \dfrac{1-t^2}{1+t^2}\Big)^n}=[/m]
[m]=2^{n}\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{t^{n-1}dt}{\Big(1+t^2+k(1-t^2)\Big)^n}=[/m]

[m]=2^{n}\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{t^{n-1}dt}{\Big(1+k+(1-k)t^2)\Big)^n}=[/m]
[m]=\dfrac{2^{n}}{(1+k)^n}\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{t^{n-1}dt}{\Big(1+\frac{(1-k)t^2}{1+k})\Big)^n}=[/m]

[m]=\Bigg|a^2=\frac{(1-k)}{1+k}\Bigg|=\dfrac{2^{n}}{(1+k)^n}\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{t^{n-1}dt}{\Big(1+(at)^2\Big)^n}=[/m]

[m]=\Bigg|y=at\Bigg|=\dfrac{2^{n}\cdot a^{1-n}\cdot a^{-1}}{(1+k)^n}\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{y^{n-1}dy}{\Big(1+y^2\Big)^n}=[/m]

[m]=\dfrac{2^{n}}{(1+k)^n}\cdot \Big(\dfrac{1+k}{1-k}\Big)^{n|2}\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{y^{n-1}dy}{\Big(1+y^2\Big)^n}=[/m]
[m]=\dfrac{2^{n}}{(1-k^2)^{n|2}}\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{y^{n-1}dy}{\Big(1+y^2\Big)^{n}}=[/m]

А как дальше? А как с первой задачей?

  #3   14 окт 2012 03:01   Ответить
👍
0
👎 0

1) [m]\displaystyle\int_0^1\dfrac{dx}{\sqrt[m]{1-x^n}}\;\;\;\;\;\;\;m>0[/m]

[m]\displaystyle\int_0^1(1-x^n)^{\frac{1}{m}}dx[/m]

[m]x=t^{\frac 1n}[/m], [m]dx={\frac 1n}t^{\frac 1n-1}dt[/m]

[m]\displaystyle\int_0^1(1-x^n)^{\frac{1}{m}}dx=\dfrac{1}{n}\displaystyle\int_0^1(1-t)^{\frac{1}{m}}t^{\frac 1n-1}dt=[/m]
[m]=\dfrac{1}{n}\displaystyle\int_0^1(1-t)^{1-\frac{1}{m}-1}t^{\frac 1n-1}dt=\dfrac{1}{n}B\Big(1-\dfrac{1}{m},\dfrac{1}{n}\Big)[/m]

  #4   14 окт 2012 03:54   Ответить
👍
0
👎 0
С точностью до глупых ошибок, которые вы, наверное, отыщете при внимательном перепрочтении, идею вы уловили.

Задайте свой вопрос по математике
профессионалам

Сейчас онлайн 75 репетиторов по математике
Получите ответ профи быстро и бесплатно

Другие вопросы на эту тему:

👍
0
👎 018

Сократить дробь   18 ответов

[m] \dfrac{x + 169}{\sqrt{-x} + 13} [/m]

догадываюсь что, чтобы сократить эту дробь нужно числитель привести к такому же виду, как и знаменатель. (ну или чтобы числитель содержал знаменатель — в любом случаи чтобы была возможность сократить знаменатель)

[m] sqrt(-X) [/m] смущает эта часть. как мне положительный Х трансформировать в подкоренное отрицательное число..?
пробовал по разному умножать выражение на (-1) что-то тоже успехов не принесло :) сабж
  07 ноя 2011 17:57  
👍
0
👎 01

Определение обратной функции   1 ответ

Вопрос 1: скажите, пожалуйста, используя кванторы всеобщности и существования, правильно ли я дала определение обратной функции:

(∀y ∈ Y) (∃!x ∈ X) [f(x)=y]

т.е. для любой y ∈ Y существует и притом единственная x ∈ X, такая что f(x)=y

Вопрос 2: Доказывается ли такое определение? Или же определения, как и аксиомы вообще не доказываются?

Заранее Всем спасибо за помощь!
  06 апр 2018 15:03  
👍
0
👎 05

Срочно!!!   5 ответов

На расстоянии 150 км. друг от друга находятся два электровоза.Они начинают двигаться навстречу друг другу по одному и тому же пути,первый со скоростью 60 км/ч,второй со скоростью 120 км/ч. В тот момент,когда электровозы начинают движение с лобового стекла первого электровоза взлетает муха и летит навстречу второму электровозу со скоростью 200 км/ч.Она касается второго электровоза,сразу же разворачивается и летит навстречу первому.Касается первого…
  16 ноя 2012 15:22  
👍
0
👎 04

Даны две окружности и точка. Построить отрезок, концы которого лежат на…   4 ответа

Даны две окружности и точка. Построить отрезок, концы которого лежат на данных окружностях, а середина в данной точке.

(я так понимаю, что расположение окружностей и точки таковы, что решение существует. В более общем случае надо, ессно, исследовать условия существования решения)
👍
+1
👎 117

Вычисление объёмов и площадей с помощью интегралов   17 ответов

http://s09.radikal.ru/i182/1205/f6/5959a551ce02.jpg

3997

Подойдет замена [m]t=xy[/m] или есть удобнее?

4007

Правильно ли я понимаю, что нужно взять [m]\int_0^1dx\int_{0}^{1-x}dy\int_{xy}^{1-x-y}[/m] ?

4012

Правильно ли я понимаю, что нужно взять тот же интеграл [m]\int_0^1dx\int_{0}^{1-x}dy\int_{xy}^{1-x-y}[/m] ?

4013

[m]x=r\cos\varphi[/m]

[m]y=r\sin\varphi[/m]

[m]z=\pm\sqrt{0,5r^2\sin2\varphi}[/m]

Так что нужно вот такой интеграл брать? [m]\int_{0}^{2\pi}d\varphi\int_0^ardr\int_{-0,5r^2\sin2\varphi}^{+0,5r^2\sin2\varphi}dz[/m]
  08 май 2012 13:37  
👍
+3
👎 311

Иррациональное уравнение с модулем и параметром — проверьте решение   11 ответов

Здравствуйте, подскажите, пожалуйста, правильный ответ, решение не обязательно:

[m]a\left|x+\sqrt{1-x^2}\right|+2x^2-1=0[/m]

У меня один ответ, в книге другой, а здесь http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=50&t=1337 не уверенно дали ещё пару вариантов.

Ответ в книге дан следующий:

[m]\begin{array}{|c|c|}\hline{a}&{x}\\\hline(-\infty;-\sqrt{2})&-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\\hline[-\sqrt{2};0]&-\dfrac{1}{\sqrt{2}};\dfrac{-a+\sqrt{2-a^2}}{2};\dfrac{a-\sqrt{2-a^2}}{2}\\\hline(0;\sqrt{2}]&-\dfrac{1}{\sqrt{2}};\dfrac{-a+\sqrt{2-a^2}}{2}\\\hline(\sqrt{2};+\infty)&-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\\hline\end{array}[/m]

Но…
  08 ноя 2010 21:58  
ASK.PROFI.RU © 2020-2022