|
👍 +1 👎 |
Вычисление объёмов и площадей с помощью интеграловhttp://s09.radikal.ru/i182/1205/f6/5959a551ce02.jpg
3997 Подойдет замена [m]t=xy[/m] или есть удобнее? 4007 Правильно ли я понимаю, что нужно взять [m]\int_0^1dx\int_{0}^{1-x}dy\int_{xy}^{1-x-y}[/m] ? 4012 Правильно ли я понимаю, что нужно взять тот же интеграл [m]\int_0^1dx\int_{0}^{1-x}dy\int_{xy}^{1-x-y}[/m] ? 4013 [m]x=r\cos\varphi[/m] [m]y=r\sin\varphi[/m] [m]z=\pm\sqrt{0,5r^2\sin2\varphi}[/m] Так что нужно вот такой интеграл брать? [m]\int_{0}^{2\pi}d\varphi\int_0^ardr\int_{-0,5r^2\sin2\varphi}^{+0,5r^2\sin2\varphi}dz[/m] |
|
👍 0 👎 |
Идеи по поводу 3987
[m]r^4=2a^2r^2\cos 2\varphi[/m] [m]r=\pm \sqrt{2a^2\cos 2\varphi}[/m] [m]r^2\geqslant a^2[/m] [m]S=\int_0^{2\pi}d\varphi\int_{-\sqrt{2a^2\cos 2\varphi}}^{+\sqrt{2a^2\cos 2\varphi}}rdr=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}2a^2\cos 2\varphid\varphi[/m] |
|
👍 0 👎 |
Ой, вот так точнее...
Идеи по поводу 3987 [m]r^4=2a^2r^2\cos 2\varphi[/m] [m]r=\pm \sqrt{2a^2\cos 2\varphi}[/m] [m]r^2\geqslant a^2[/m] [m]S=\int_0^{2\pi}d\varphi\int_{0}^{+\sqrt{2a^2\cos 2\varphi}}rdr=\frac{1}{4}\int_0^{2\pi}2a^2\cos 2\varphi d\varphi[/m] |
|
👍 +1 👎 |
№3997
Переменных 2, значит и замены нужно сделать 2. Первая правильно, вторую сообразите. №4007 Пределы в последнем интеграле расставлены неверно. №4012 Здесь нужно обратить внимание на то, что при интегрировании по переменной z сверху объем ограничен разными поверхностями, и интегрировать придется 2 отдельных части фигуры. №4013 Все правильно. Можно упростить решение, взяв интеграл по [m]\varphi[/m] в пределах 0, [m]\pi/2[/m], а интеграл по z начинать от 0. И не забыть все умножить на 4. №3987 Правильная идея. |
|
👍 0 👎 |
Спасибо.
3997 Что-то не пойму как догадаться. Есть только одно предположение [m]s=x^2[/m], оно следует из того, что [m]\frac{t}{x}=x[/m], чтобы было [m]t=s^2[/m]. Правильно? А потом нужно сосчитать [m]S=\int_{a^2}^{2a^2}dt\int_{0,5t}^{t}Jds[/m] Если так, то каким образом вычислить якобиан перехода? Он какой-то кривой... |
|
👍 0 👎 |
4007
от [math]0[/math] до [m]1-x-y[/m] ? 4012 Я понимаю, что [m]z=1-x-y[/m] — плоскость, а [m]z=xy[/m] --гиперболический параболоид, но картинку не представить, воображения не хватает( Про последние две — все понятно, спасибо. |
|
👍 0 👎 |
№3997
Нет, так плохо. Вы сделали замену для первой пары кривых, превратив пределы интегрирования в константы. Попробуйте повторить то же самое и для второй пары. №4007 Не понятно, откуда берете [m]1-x-y[/m]. Возможно, снова невнимательность. №4012 Представлять в пространстве не обязательно. Достаточно написать уравнение проекции линии пересечения двух поверхностей на плоскость Oxy. Эта линия и будет служить разделителем для объемов. |
|
👍 0 👎 |
№3997
[m]t={y}\cdot {x}[/m] [m]s=\frac{y}{x}[/m] Вот так? [m]S=\int_{a^2}^{2a^2}dt\int_{1}^{2}|J|ds[/m] Но тут возникла небольшая загвоздка... [m]|J|=\det \begin{pmatrix}{\partial t \over \partial x}& {\partial t \over \partial y}\\{\partial s \over \partial x}& {\partial s \over\partial y}\\ \end{pmatrix}=\det \begin{pmatrix} y& x\\ -{y \over x^2}& {1 \over x}\\ \end{pmatrix}=\frac{y}{x}-\frac{y}{x}=0[/m] |
|
👍 0 👎 |
ОО! Вот оно как должно быть!
[m]|J|=\det \begin{pmatrix}{\partial t \over \partial x}& {\partial t \over \partial y}\\{\partial s \over \partial x}& {\partial s \over\partial y}\\ \end{pmatrix}=\det \begin{pmatrix} y& x\\ -{y \over x^2}& {1 \over x}\\ \end{pmatrix}=\frac{y}{x}-\frac{y}{x}=2s[/m] Если теперь правильно, то интеграл возьму ! 4007 От [m]z=0[/m] до [m]z=x+y+1[/m]? |
|
👍 0 👎 |
Да, так.
|
|
👍 0 👎 |
Там минус на плюс забыл исправить в Якобиане*
|
|
👍 0 👎 |
3997
Только с ответом не совпадает [m]S=\int_{a^2}^{2a^2}dt\int_1^2 2sds=3a^2[/m] В ответе [m]S=\frac{a^2}{2}\cdot \ln 2[/m] |
|
👍 0 👎 |
Вы неправильно осуществляете переход от старых координат к новым, правильно так:
[m]|J|=\det \begin{pmatrix}{\partial x \over \partial t}& {\partial x \over \partial s}\\{\partial y \over \partial t}& {\partial y \over\partial s}\\ \end{pmatrix}[/m]. Или можно воспользоваться тем, что якобиан, который нужно вычислить, дает 1 в произведении с тем, который Вы нашли. |
|
👍 0 👎 |
ок, тут все ясно, теперь совпало
|
|
👍 0 👎 |
№4012
[m]y=1-x[/m] эта линия? |
|
👍 0 👎 |
Эта прямая в плоскости Oxy и так лежит, она является одной из границ фигуры.
Подумайте, как найти линию пересечения двух поверхностей, которая бы проецировалась на Oxy, а значит ее уравнение не зависело бы от z. |
|
👍 0 👎 |
xy=1-x-y ?
|
|
👍 0 👎 |
Верно.
|
|
👍 −1 👎 |
Треугольники
|
|
👍 0 👎 |
Просьба помочь
|
|
👍 +3 👎 |
Геометрии 7 класс!
|
|
👍 0 👎 |
Эйлеровы интегралы
|
|
👍 +1 👎 |
Теорема о вписанном угле
|
|
👍 +1 👎 |
Исследование на экстремум функции
|
