Задачи по теории гомотопических групп.

Здравствуйте. Возникла необходимость решить две задачи, который никак не могу осилить сама, поэтому прошу Вас о помощи.
1. Существует ли локально-тривиальное расслоение у которого база, слой и тотальное пространство гомотопически эквивалентно окружности.
2. Доказать, что пространства R1,R2, R3 гомотопически эквивалентны, но не гомеоморфны.
3.Доказать, что двумерная сфера без одной точки стягиваема, а без двух нет.

Что у меня получилось: по 1 вопросу предположила что таким расслоением может быть расслоение Хопфа — расслоение трехмерной сферой над двумерной со слоем окружность, но это было моим заблуждением, так как не доказано что сферы размерности 1,2 и 3 гомотопически эквивалентны. Может быть есть какой нибудь способ построить такое расслоение?

Судя по всему моя проблема в том, что я плохо понимаю основу того, что представляет из себя гомотопия. Как нам изначально объяснили, гомотопия это стягиваемость любой петли в точку, то есть на прямой, плоскости и в обычном трехмерном пространстве это сделать можно, но только как доказать? пользоваться тем что они все односвязны?

Про существование гомеоморфизма между прямой и плоскостью, я точно могу сказать что его нет так же как и с трехмерным пространством, но опять же проблема с объяснением. Прочитала про прямую и окружность в БСЭ, они не гомеоморфны, так как удаленные точки не нарушают связность окружности, но нарушают связность прямой, они пишут что по этой же причине прямая не гомеоморфна плоскости. Вроде бы вполне логично, если из плоскости выкинуть даже счетное множество точек. то она связность сохранит, а вот прямая нет. Но как тогда быть с трехмерным протранством, понятно что прямой оно не гомеоморфно по той же причине, что и плоскость, но гомеоморфны ли между собой плоскость и трехмерное пространство, наверное по аналогии надо из него выбрасывать не точки а прямую, ну или несколько, пусть даже счетное множество прямых, тогда связность плоскости нарушится а трехмерноего пространства нет. Это верно?

Не может быть никаких сомнений в том, что если из плоскости выбросить
прямую (одну, нет необходимости выбрасывать несколько прямых),
то останется несвязное множество.
И не может быть никаких сомнений в том, что если из трёхмерного
пространства выбросить прямую, то останется связное множество.

Но я не уверен, что из этих фактов можно делать вывод о том, что
R2 и R3 не гомеоморфны. Ведь здесь важную роль играют метрические
(или, если угодно, аффинные) свойства прямых и плоскости.
А если из плоскости выбросить не прямую, а интервал, который
гомеоморфен прямой? В этом случае остаток — связное множество.

Другой пример. На плоскости рассмотрим два множества:
(1) 0 <= y < e^(-x^2),
(2) -1+e^(-x^2) <= y < e^(-x^2).
Оба они гомеоморфны замкнутой полуплоскости, а также гомеоморфны между собой.
Но если из множества (1) выбросить прямую, то останется связное множество.
Если же из (2) выбросить прямую, то останется несвязное множество.
(В обоих случаях выбросить можно единственную прямую y=0.)

Я с вами абсолютно согласна, ведь выкидывая прямую из плоскости мы на самом деле должны выкидывать из пространства образ этой прямой полученный при каком-то отображении. но ведь образом то может оказаться что угодно, в том числе и целая плоскость, поэтому выкидывание прямой может нарушать и связность трехмерного пространства. Хотя для меня немного странным кажется, что такое может быть и при гомеоморфизме (это же непрерывное, биективное отображение). Преподаватель посоветовал мне опять же выкидывать точку и из плоскости и из пространства.

Гомеоморфизм — это взаимно-однозначное и непрерывное отображение, обратное к которому непрерывно. То есть нужно показать, что такого отображения не существует. Можно попоробовать доказать это сначала для отрезка, квадрата и куба, а дальше распространить на все пространства.

Чтобы не путать понятия гомотопии, гомотопных путей и гомотопной эквивалентности, вам стоит прочитать их формальные определения, посмотреть примеры. Может быть тогда и пути решения задач станут яснее

По третьему вопросу прочитала, что сфера без точки гомотопна плоскости. Это так? если это верно то плоскости любую петлю можно стянуть в точку и её класс эквивалентности 0, то есть это множество будет стягиваемо. В случае же с двумя точками, получается если одну выкинули получили плоскость, если выкинуть еще одну что получится? Мне кажется что из за образовавшейся дырки уже нельзя будет стянуть любую петлю в точку, то есть класс эквивалентности (если рассматривать эквивалентность по количеству дырок) будет 1. Ну и естественно это уже нестягиваемо. Только так ли это?

"сфера без точки гомотопна плоскости. Это так?"
- очевидно.

т.А — выколотая точка

Большое спасибо всем за помощь.

Сегодня окончательно разобралась с решением, все оказалось намного проще, чем я предполагала.

Вся сложность состояла в том, что я пыталась решить задачи по теории гомотопных групп, не вычисляя самих этих групп, в следствии чего это объяснения не были достаточно обоснованными. Теперь же я разобралась с обоснованием, поэтому данный вопрос можно считать закрытым.

Имеет ли смысл получать второе образование в школе анализа данных, если у меня есть техническое образование? У меня необходимость проводить статистические обработки данных с мешающими параметрами, распознавание образов.

Сопротивлением воздуха пренебречь, Земля — однородная идеальная сфера, камень бросает человек обычного физического развития.

Рассмотрим следующие свойства тетраэдра (тетраэдр — это произвольная треугольная пирамида):
• все грани равновелики, то есть имеют одну и ту же площадь;
• каждое ребро равно противоположному;
• все грани равны;
• центры описанной и вписанной сфер совпадают;
• для любой вершины тетраэдра сумма величин сходящихся в этой вершине плоских углов равна 180.
Докажите, что все эти свойства эквивалентны. Найдите ещё несколько равносильных им свойства тетраэдра.
(Н.Б.Васильев, А.Л. Тоом.)

Найти линейное преобразование z= Cx, если у = Ах, z= Ву, х принадлежит R2, у принадлежит R3. И даны матрицы А и В...
Как решать данное задание? Что делать с матрицами?

Здравствуйте, помогите пожалуйста справиться с задачей. Уже второй день пытаюсь ее осилить — ни как не получается.

y=log3(5x+2)
Требуется найти производную n-ного порядка.
Нашла первую производную: y'=5/(5x+2)ln3, а дальше никак не могу. Помогите пожалуйста, очень нужно для зачета.